8. 2 立方根（教学课件） 2025--2026学年人教版七年级数学下册

8.2立方根 1．什么是一个数 a 的平方根？如何用符号表示数 a(a≥0)的平方根？ 2．正数的平方根有几个？它们之间的关系是什么？ 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根或二次方根． 正数有两个平方根，它们互为相反数． 数 a(a≥0)的平方根用符号表示为± ． 3．负数有没有平方根？0 的平方根是什么？ 负数没有平方根，0 的平方根是 0． 4．练一练 ＝______； ＝____； 25 的平方根是______；－9 是_____的一个平方根． 7.2 5 ±5 81 　　如果一个数的平方等于 ，那么这个数就叫做　的平方根（也叫做二次方根）.即 若 那么 叫做 的平方根． 1. 立方根的定义：如果一个数的 等于 ，那么这个数就叫做 的 （也叫做三次方根）． 即若 那么 叫做 的立方根． 立方 立方根 你能类比平方根的定义给出立方根的定义吗？ 探究新知 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根)， 这就是说，如果 x3=a，那么x叫做a的立方根． 求一个数a的立方根的运算叫做开立方． 开立方与立方也互为逆运算． 概念总结 一个数a的立方根，记作 ， 读作：“三次根号a”， 其中a叫被开方数，3叫根指数，3不能省略． 2. 立方根的表示： 什么数的立方等于-8? 【想一想】 因为2的立方等于8,那么2就叫做8的立方根. 因为-2的立方等于-8,那么-2就叫作-8的立方根. = -8 探究新知 23 探究新知 立方根的定义 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x叫作a的立方根或三次方根． 【思考】如何表示一个数的立方根? 一个数a的立方根可以表示为: 根指数 被开方数 读作:三次根号 a 其中a是被开方数，3是根指数，3不能省略. 4．立方根的性质 新知讲解 每一个数都有立方根吗？ 一个数有几个立方根呢？ 每个数都有立方根． 一个数有1个立方根 开立方数包括正数，零，负数． 的立方根是； 的立方根为． 的立方根是； 立方根的性质： 正数的立方根是正数； 负数的立方根是负数； 0的立方根是0． 5．立方根小数点移动法则 提示：被开方数的小数点移动的位数必须是的倍数． 新知讲解 实际上，很多有理数的立方根是无限不循环小数，如 ， 等都是无限不循环小数． 要求一个数的立方根(或近似值)，我们可以利用计算器的键来计算． 例如， 表示 8 的立方根， ； 表示 -8 的立方根， 中的根指数 3 不能省略. 归纳总结 类似于平方根，一个数 a 的立方根记为“ ”，读作“三次根号 a”，其中 a 是被开方数，3 是根指数. 根指数 被开方数（任意数） 不能省略 归纳总结 数的平方根与数的立方根有什么区别和联系吗？ 平方根 立方根 联 系 运算关系 都与相应的乘方运算互为逆运算 0 的开方 0 的平方根与立方根都是 0 1. 一个数的平方等于64，则这个数的立方根是 . 当堂巩固 2或-2 2. 若 ＜0 ，则m 的取值为 . 3. 若 ，则x = . m＞7 0.6 1.一个正数a的两个平方根是2b-1和b+4，则a+b的立方根为 ． 【解答】解：∵一个正数a的两个平方根是2b-1和b+4， ∴2b-1+ b+4=0， ∴b=-1． ∴b+4=-1+4=3， ∴a=9． ∴a+b=9+(-1)=8， ∵8的立方根为2， ∴a+b的立方根为2． 故答案为：2． 感受中考 根据立方根的意义填空. 你能发现正数、0和负数的立方根各有什么特点吗？ 因为 ，所以8的立方根是( )； 因为 ( )3=0.064，所以0.064的立方根是( )； 因为 ( )3=0，所以0的立方根是( )； 因为 ( )3= - 8，所以 - 8的立方根是( )； 因为 ( )3= ，所以　 的立方根是( )． 2 0.4 0.4 0 0 -2 -2 回顾旧知 1. 立方根的特征 正数的立方根是正数； 负数的立方根是负数； 0的立方根是0. 观察归纳 完成下列填空, 你有什么发现？ 因为, , 所以; 因为, , 所以; _____, _____; _____, _____. －2 －2 －3 －3 2 3 －2 －3 = = 一般地, , . 典例精析 例2.计算. (1) ; (2) ; (3) . 解：原式 = 4 解：原式 = 解：原式 = 例3.解方程. (1) ; (2) 解： 解： 因为 ＝ ， = ，所以 _____ . 填空，你能发现其中的规律吗？ 因为 ＝ ， = ，所以 _____ ； 一般地 ， -2 ＝ ＝ -2 -3 -3 新知探究 一、立方根的性质 例：求下列各式的值： 解： 典例分析 0.5 -3 10 1 针对训练 2. 求下列各式的值. （1） （2） （3） （4） = – 0.3 = = = = = 22 被开方数与立方根小数点的移动规律 求一个数的立方根时，被开方数的小数点每移动三位，其立方根的小数点就会向相应的方向移动一位．也就是说，当被开方数的小数点每向左或向右移动 3n 位时，其立方根的小数点向左或向右移动 n 位，反之，也成立． 任意找一个非零正数，利用计算器对它不断进行开立方运算，你发现了什么？ 计算的结果越来越接近 1． 任意找一个非零负数，利用计算器对它不断进行开立方运算，你发现了什么？ 计算的结果越来越接近－1． $