8.3 实数及其简单运算 课件 2025-2026学年人教版数学七年级下册

8.3 实数及其简单运算 第八章 实 数 8.3 实数及其简单运算 第八章 实 数 第1课时 实数的概念及分类 目录页 讲授新课 当堂练习 课堂小结 新课导入 新课导入 教学目标 教学重点 1.了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成； 2.熟练掌握实数大小的比较方法；（重点） 3.了解实数和数轴上的点一一对应，能用数轴上的点 表示无理数.（难点） 学习目标 回顾复习 新课导入 什么是有理数？有理数怎样分类？ 可以写成分数形式的数称为有理数. 讲授新课 典例精讲 归纳总结 问题1 我们知道可以写成分数形式的数称为有理数. ，请把下列分数写成小数的形式，它们有什么特征？ 它们都可以化成有限小数或无限循环小数的形式 一、实数的概念和分类 讲授新课 问题2 整数能写成小数的形式吗？3可以看成是3.0吗？ 可以 思考 由此你可以得到什么结论？ 有理数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式. 反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 叫作无理数. 想一想：所有的数都可以写成有限小数和无限循环小数的形式吗？     π=3.1415926535897932384626… 1.01001000100001… （两个1之间依次多一个0） 无限不循环小数 不是.如： 10 10 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 思考： 是无理数吗？2.020 020 002 000 02…是无 理数吗？ 2.02002000200002… 常见的一些无理数： (1)含 的一些数； (2)开不尽方的数； (3)有规律但不循环的小数,如1.01001000100001… 它们都是无限不循环小数，是无理数 下列各数：3.141 59， ， ， ，－π， 0.131 131 113…(每相邻两个3之间依次多1个1)， 中无理数有(　　) A．1个　　 B．2个　 C．3个　 D．4个 例1 B 导引： ∵3.141 59是有限小数,∴3.141 59是有理数． ∵ ,∴ 是有理数．∵ , ∴ 是有理 数．∵ 是分数 ,∴ 是有理数． －π都是无限不循环小数,－π是无理数. ∵0.131 131 113…(每相邻两个3之间依次多1个1), ∴0.131 131 113…(每相邻两个3之间依次多1个1).故选B. 把下列各数分别填入相应的集合内： 0.101， 练一练 有理数集合{ ···}. 无理数集合{ ···}. 1. 实数的概念：有理数和无理数统称实数． 2. 实数的分类： (1)按定义分类： 实数 有理数 无理数 正有理数 0 负有理数 有限小数或无限循环小数 正无理数 负无理数 无限不循环小数 归 纳 负实数 正实数 数实 正有理数 负有理数 （2）按大小分类 0 正无理数 负无理数 无理数： 有理数： 负实数： 正实数： 例2 将下列各数分别填入下列相应的括号内： 对每个数都要进行判断，分类标准不同结果不同. 方法 思考： 如图，直径为１个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点从原点到达A点，则数轴上表示点A的数是多少？ 因为圆的周长为π,所以数轴上点A表示的数是无理数π. 0 -2 -1 1 3 2 4 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● A 二、实数与数轴上的点 思考：你能在数轴上表示出 和 - 吗？ 1 1 1 1 把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，得到一个大正方形，大正方形的边长为 ，从而说明边长为1的小正方形的对角线为 . －2 －1 0 1 2 - 事实上，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； 反过来，数轴上的每一点都表示一个实数. ★实数和数轴上的点是一一对应的. 以单位长度1为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示 ，与负半轴的交点就表示 . 所以， 例2 点A在数轴上表示的数为 ，点B在数轴上表示的数为－5，则A，B两点之间的距离为________． 导引：根据数轴上两点间的距离等于右边的点表示的数减去左边的点表示的数，列式计算即可得解． 数轴上两点间的距离的求法： 数轴上两点间的距离等于表示这两点的数之差的绝对值． 例3 若数轴上A，B两点表示的数分别为 和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有(　　) A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 解析： ∴ 和5.1之间的整数有2，3，4，5， ∴A，B两点之间表示整数的点共有4个． C 【方法总结】数轴上的点与实数一一对应，结合数轴分析，可轻松得出结论． 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 与有理数一样，实数也可以比较大小： 三、实数的大小比较 与有理数规定的大小一样，数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大. 原点 0 正实数 负实数 < 1.正数大于零，负数小于零，正数大于负数； 2.两个正数，绝对值大的数较大； 3.两个负数，绝对值大的数反而小. 与有理数一样，在实数范围内： ，2可以分别看作是面积为5，4的正方形的边长，容易说明：面积较大的正方形，它的边长也较大，因此 同样，因为5<9，所以 不用计算器， 与2比较哪个大？与3比较呢？ 议一议 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 例4 在数轴上表示下列各点，比较它们的大小， 并用“<”连接它们. -2 -1 0 1 2 3 1 -2 -2< < 1< < 例5 估计 位于（ ） A.0~1之间 B.1~2之间 C.2~3之间 D.3~4之间 B 熟记一些常见数的算术平方根；或用计算器估计. 归纳 当堂练习 当堂反馈 即学即用 A 当堂练习 D 3.下列说法正确的是（ ） A.a一定是正实数 B. 是有理数 C. 是有理数 D.数轴上任一点都对应一个有理数 B A 5.有一个数值转换器，原理如下，当输入x=81时，输出的y是 （ ） 输入x 取算术平方根 是无理数 输出y 是有理数 A.9 B.3 C. D.±3 C 6.判断——看谁最快最准！ （1）实数不是有理数就是无理数. （ ） （2）无理数都是无限不循环小数. （ ） （4）无理数都是无限小数. （ ） （3）带根号的数都是无理数. （ ） （5）无理数一定都带根号. （ ） × × 8.把下列各数填入相应的括号内： （1）有理数： { （2）无理数： { （3）整数： { （4）负数： { （5）实数： { ｝ ｝ ｝ ｝ ｝ 31 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 课堂小结 归纳总结 构建脉络 实数 无理数的概念 实数的概念 实数的分类 实数的数轴表示 实数的大小比较 课堂小结 8.3 实 数 第八章 实 数 第2课时 实数的相关概念及简单运算 目录页 讲授新课 当堂练习 课堂小结 新课导入 新课导入 教学目标 教学重点 1.能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值.（重点） 2.掌握实数的运算法则，熟练地利用计算器去解决有 关实数的运算问题.（重点） 学习目标 有理数中的相反数和绝对值的概念: 只有符号不同的两个数,其中一个是另一个的相反数. ①相反数 回顾与思考 ②绝对值 数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值,用︱a︱表示. 思考：无理数也有相反数吗？怎么表示？有绝对值吗？怎么表示？ 新课导入 38 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 讲授新课 典例精讲 归纳总结 在实数范围内 ，相反数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、绝对值的意义完全一样． 一、实数的性质 讲授新课 思考 (1) 的相反数是______，－π的相反数是______， 0的相反数是______； (2) _______， |－π| =______， |0|= ______. π 0 π 0 数a的相反数是－a，这里a表示任意一个实数. 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值 是它的相反数；0的绝对值是0. 即设a表示一个实数， 则 |a|= a，当a>0时； 0，当a=0时； －a，当a<0时； 归 纳 (1)分别写出 ， 的相反数； (2)指出 ， 分别是什么数的相反数； (3)求 的绝对值； (4)已知一个数的绝对值是 ，求这个数. 例1 (1)因为 ， 所以 的相反数分别为 ； (2)因为 ， 所以 分别是 的相反数； (3)因为 所以 (4)因为 ， 所以绝对值为 的数是 或 . 解： 1.a是一个实数，实数a的相反数为-a. 2.①一个正实数的绝对值是它本身； ②一个负实数的绝对值是它的相反数； ③0的绝对值是0. 总结归纳 1.求 的相反数和绝对值； 2.已知 ＝ ，求a. 解：(1)因为 ，3的相反数是-3，所以 的相反数是-3，绝对值是3. (2)因为 ， ,所以a的值是 和 . 练一练 3.求下列各式中的实数x： |x|＝ ; (2) |x|＝0； (3) |x|＝ ； (4) |x|＝π . (1)x＝± ; (2)x＝0; (3)x＝± ; (4)x＝±π. 解： 1.在实数范围内，进行加、减、乘、除、乘方和开方运算时，有理数的运算法则和运算律仍然适用；实数混合运算的运算顺序与有理数的混合运算顺序一样，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号的先算括号里面的． 二、实数的运算 2. 有理数的运算律在实数范围内仍然适用，在进行实数运算的过程中，要做到： 一“看”——看算式的结构特点，能否运用运算律或公式； 二“用”——运用运算律或公式； 三“查”——检查过程和结果是否正确． 例2 计算下列各式的值： 例3 计算（结果保留小数点后两位）： 【方法总结】在实数运算中，如果遇到无理数，并且需要求出结果的近似值时，可按要求的精确度用相应的近似有限小数代替无理数，再进行计算. 当堂练习 当堂反馈 即学即用 当堂练习 D 2.下列各数中，互为相反数的是( ) A.3 与 B. 与 C. 与 D. 与 C C 4. 的值是( ) A.5 B.-1 C. D. C 5.- 是 的相反数;π-3.14的相反数是 . 3.14-π -π的绝对值是 ， = . 8.计算： （1） （2） （3） 解：原式=4. 课堂小结 归纳总结 构建脉络 实数 在实数范围内，相反数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、绝对值的意义完全一样 实数的运算 实数的运算律 课堂小结 （4）（－1）2＋（）2－（－9）＋（－6）÷2； 解：原式＝1＋6＋9－3＝13. （5）（－1）3＋|1－|＋. $