8.1 第2课时 算术平方根-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学教学课件（人教版·新教材）

第八章 实数 8.1 算术平方根 初中数学培优课堂 学习目标 情境导入 知识讲解 随堂练习 课后小结 目 录 初中数学培优课堂 1.了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；(重点) 2.根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根；(重点) 3.了解并掌握算术平方根的性质；(难点) 4.会比较两个数的算术平方根的大小；(重点) 5.会用计算器求一个数的算术平方根；(重点) 6.会估算一个数的算术平方根的大致范围，掌握估算的方法.(难点) 学习目标 初中数学培优课堂 红红到装饰城购买瓷砖，老板给了他一块面积为 30 dm2 的正方形瓷砖， 聪明的你能告诉她这块瓷砖的边长吗？ 情境导入 运用平方根的知识 初中数学培优课堂 正数 a有两个平方根，其中正的平方根叫作a的算术平方根. 正数a 的算术平方根用来表示. (非负数 x )2 = a 非负数 x 是非负数 a 的算术平方根 因为 ( 0 )2 = 0 ，所以规定 0 的算术平方根是 0. 知识点一 算术平方根的定义 知识讲解 初中数学培优课堂 a的算术平方根记为 ，读作 “根号 a” 或 “二次根号 a” ，其中 a 叫作被开方数. 算术平方根的符号表示 x2 ＝30 (x＞0) 30 的算术平方根是 知识讲解 x = (非负数 x )2 = a 是非负数 x 的算术平方根 初中数学培优课堂 例1. 求下列各数的算术平方根： 总结：被开方数越大，对应的算术平方根也越大. 解析：(1) 因为 102 = 100，所以 (2) 因为 = ， 所以 = . (3) 因为 0.72 = 0.49，所以 ； ； . 知识讲解 初中数学培优课堂 (1) 16 的算术平方根是______； 4 2 (2) 的算术平方根是______. 分析：计算 的算术平方根时，注意先计算 = 4， 再计算 4 的算术平方根. 知识讲解 例2. 填空 初中数学培优课堂 1.一个正数的算术平方根有几个？ 0 的算术平方根有一个，是 0. 2. 0 的算术平方有几个？ -1没有算术平方根，负数没有算术平方根. 3. -1 有算术平方根吗？负数有算术平方根吗? 一个正数的算术平方根有 1 个. 一个数的平方 不可能是负数. 知识讲解 思考： 初中数学培优课堂 a 的算术平方根 非负数的算术平方根是非负数. 负数不存在算术平方根，即当 a＜0 时，无意义. 非负数 非负数 知识讲解 知识点二 算术平方根的非负性 初中数学培优课堂 3. 若 = 0 ，则 a = ； 2. 若 ( m - 7)2 = 0，则 m = ； 4. 若 |a - 3| + =0 ，则代数式 (a + b)2023 =_ __. 1. 若 |a + 3| = 0， 则 a = ； -3 7 5 -1 几个非负式的和为 0，则每个式子的值均为 0. 到目前为止，表示非负的式子有：| a | ≥ 0，a2 ≥ 0， ≥ 0. 知识讲解 a - 3=0 , b+4=0； a =3, b=-4； a +b= - 1. 例1. 填一填 初中数学培优课堂 1. 包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种. 平方根与算术平方根的联系与区别 2. 只有非负数才有平方根和算术平方根. 3. 0 的平方根是 0，0的算术平方根也是 0. 区别： 1. 个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根. 联系： 2. 表示法不同：平方根表示为± ，而算术平方根表示为 . 知识讲解 初中数学培优课堂 能否用两个面积为 1 dm2 的小正方形拼成一个面积为 2 dm2 的大正方形？ 知识点三 算术平方根的估算及大小比较 知识讲解 初中数学培优课堂 填空 回忆三角形三边之间的关系， 究竟是一个什么样的数？ 面积 dm2 边长 dm 1 2 1 知识讲解 初中数学培优课堂 因为 12 = 1，22 = 4， 所以 1 < < 2． 思考： ( )2 = 2 ? 太小 太大 探究： 有多大呢？ 因为1.42 = 1.96，1.52 = 2.25， 所以 1.4 < < 1.5． 因为1.412 = 1.9881，1.422 = 2.0164， 所以 1.41 < < 1.42． 知识讲解 初中数学培优课堂 因为 1.4142 = 1.999396，1.4152 = 2.002225， 而 1.999396 < 2 < 2.002225， 所以 1.414 < < 1.415. ...... 如此下去，可以得到 的更精确的近似值. 知识讲解 夹逼法 初中数学培优课堂 有什么发现？ 你以前见过这种数吗？ 事实上，继续重复上述的过程，可以得到 无限不循环小数的概念 小数位数无限，且小数部分不循环的小数称为无限不循环小数. 实际上，许多正有理数的算术平方根 (例如， 等) 都是无限不循环小数. 知识讲解 初中数学培优课堂 例1.(1) 估计与 最接近的两个整数是多少？ 解析：因为 32 = 9，42 = 16， 所以 3 < < 4． 所以与 最接近的两个整数是 3 和 4. 知识讲解 初中数学培优课堂 (2) 估计与 最接近的一个整数是多少？ 解：因为 3 < < 4， 而 3.52 = 12.25， 所以 < 3.5 . 所以最接近 的整数是 3 . 知识讲解 初中数学培优课堂 在估计有理数的算术平方根的过程中，为方便计算，可借助计算器求一个正有理数 a 的算术平方根 (或其近似数). a = 按键顺序： 不同的计算器的按键顺序可能有所不同！ 知识点四 用计算器求算术平方根 知识讲解 初中数学培优课堂 … … … … 算术平方根的规律：被开方数的小数点向右每移动 位，它的算术平方根的 小数点就向右移动 位；被开方数的小数点向左每移动 位，它的算术平方根的小数点就向左移动 位. (1) 利用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表中， 你发现了什么规律 ? 你能说出其中的道理吗? 1 2 2 1 知识讲解 初中数学培优课堂 (2)用计算器计算 (精确到 0.001)，并利用你在 (1) 中发现的规律说说 , 的近似值. 你能根据 的值直接得到 是多少吗? 小数点只移动了一位，不符合规律，不能直接得到的值. 知识讲解 初中数学培优课堂 分析：可根据长宽之比为 3:2 和边长与面积的关系设方程，得到长方形的长和宽，再与正方形的边长作比较. 估计边长的大小可用前面学习的方法. 小丽想用一块面积为 400 cm2 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 300 cm2 的长方形纸片，使它的长宽之比为 3∶2 .她不知能否裁得出来，正在发愁.你能帮小丽算出她能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？ 知识点五 算术平方根的应用 知识讲解 初中数学培优课堂 解析：由题意知正方形纸片的边长为 20 cm. 设长方形的长为 3x cm，则宽为 2x cm. 则有 ∴小丽不能裁出符合要求的纸片. 3x·2x=300， = 50，x= ，3x=3. ∵ 50 ＞49，∴ ＞7，∴3＞21＞20， 知识讲解 初中数学培优课堂 1. 在计算器上按键 ，下列计算结果正确的是（ ） A. 3 B. - 3 C. - 1 D. 1 B 随堂练习 2. 设 n 为正整数，且 n < < n＋1，则 n 的值为 ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 D 初中数学培优课堂 (1) (2) 1.2 (3) 3.求出下列各数的值. = = 随堂练习 初中数学培优课堂 解析： 因为 22 = 4，32 = 9， 所以 2 < < 3. 4.比较大小： 与 0.5 . 随堂练习 所以 1 < -1 < 2. 所以 0.5 < < 1. 即 ＞ 0.5 . 初中数学培优课堂 5. 已知 a - 1 的算术平方根是 2，2a + b - 3 的算术平方根是 3，求 3a + 2b 的 算术平方根. 解析：由题意得 a - 1=. 解得 a =5 ，所以3a + 2b =19， 则3a + 2b 的算术平方根为 . 随堂练习 初中数学培优课堂 解析：设每块地板砖的边长为 x m. 由题意得 240=60，解得= . ∵ x 是边长，∴ x = = = 0.5. 故每块地板砖的边长是 0.5 m. 6. 用大小完全相同的 240 块正方形地板砖，铺一间面积为 60 m2 的会议室的地面，每块地板砖的边长是多少？ 随堂练习 初中数学培优课堂 算术 平方根 定义 表示 正数 a有两个平方根，其中正的平方根 叫作 a 的算术平方根 特征 非负数 a 的算术平方根记作, 读作“根号 a”，其中 a 叫作被开方数 正数 a 的算术平方根是; 0的算术平方根是0； 负数没有算术平方根 课后小结 用“夹逼法”比较开方数的大小 使用计算器进行开方运算 初中数学培优课堂 $