8.1 第1课时 平方根-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学教学课件（人教版·新教材）

第八章 实数 8.1 平方根 初中数学培优课堂 学习目标 情境导入 知识讲解 随堂练习 课后小结 目 录 初中数学培优课堂 1.了解平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根； (重点) 2.了解开平方与平方是互逆运算，会用开平方运算求 非负数的平方根.(难点) 学习目标 初中数学培优课堂 学校要举行美术作品比赛，小优裁出了一块面积为 25 dm2 的正方形的画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ 分析：∵( )2 = 25 ∴这个正方形画布的边长应取 dm. 5 5 情境导入 初中数学培优课堂 如果一个数的平方为 25，那么这个数是多少？ 分析：∵ ( ±5 )2 = 25 ∴这个数是 5 或 -5. 知识点一 平方根的定义 知识讲解 5 和 -5 互为相反数，会不会是巧合呢？ 想一想：5 和-5 有什么特征 初中数学培优课堂 x2 1 16 0 49 x 根据上面的研究过程填表： ±1 ±4 0 ±7 我们把±1、±4、0、±7、± 分别叫做1、16、0、49、 的平方根. 知识讲解 ± 初中数学培优课堂 如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根，或二次方根. 这就是说，如果 x2 = a， x 叫做 a 的平方根. 求一个数的平方根的运算，叫做开平方. 例如：(±3)2 = 9， 3 和 -3 是 9 的平方根，简记为±3 是 9 的平方根.　 你能再举几个例子吗？ 平方根的概念 知识讲解 初中数学培优课堂 –1 +1 +2 –2 +3 –3 1 4 9 –1 +1 +2 –2 +3 –3 1 4 9 平方 开平方 比较两图中的两种运算的特点，你能发现什么？ 互为 逆运算 知识讲解 初中数学培优课堂 互为逆运算 平方运算 开平方运算 总结：开平方运算与平方运算互为逆运算； 根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根. 知识讲解 初中数学培优课堂 1.正数的平方根有什么特点？ 2. 0 的平方根是多少？ 3.负数有平方根吗？ 正数的平方根有两个，它们互为相反数. 因为 02 = 0，所以 0 的平方根是0 在我们所认识的数中，任何一个数的平方都不会是负数， 所以负数没有平方根. 知识讲解 正数有两个平方根， 它们互为相反数； 0 的平方根是 0 ； 负数没有平方根. 知识点二 平方根的性质 初中数学培优课堂 例1.分别求下列各数的平方根： 解：由于 ( ±6 )2 = 36， 因此 36 的平方根是 6 与 -6. (1) 36； 知识讲解 初中数学培优课堂 解：由于 ( ±1.1)2 = 1.21， (3) 1.21. 因此 1.21 的平方根是 1.1 与 -1.1. (2) ； 解：由于( ± )2 = ， 因此的平方根是 与- . 知识讲解 初中数学培优课堂 1. 144 的平方根是什么？ 2. 0 的平方根是什么？ 的平方根是什么？ 4. -4 有没有平方根？为什么？ 0 没有，因为一个数的平方不可能是负数. 例2.回答以下问题 ±12 ± 知识讲解 初中数学培优课堂 例3.一个正数的两个平方根分别是 2a＋1 和 a－4，求这个数． 解：由于一个正数的两个平方根是 2a＋1 和 a－4， 则有 2a＋1＋a－4＝0，即 3a－3＝0， 解得 a＝1. 所以这个数为 (2a＋1)2＝(2＋1)2＝9. 方法归纳：一个正数有两个平方根，它们互为相反数. 知识讲解 初中数学培优课堂 a 的平方根 平方根号 被开方数 读作：正、负根号 a (a≥0) (x≥0，a≥0) 根指数为 2，省略不写 2 数学符号表示 知识讲解 x =± 初中数学培优课堂 表示 a 的正的平方根 -表示 a 的负的平方根 读作“正、负根号” 一个非负数的平方根的表示方法： 只有当 a ≥ 0 时才有意义；a ＜ 0 时无意义. a﹙a≥0﹚的平方根表示为± 知识讲解 记作± 初中数学培优课堂 例1.±各表示什么意义？ 表示 7 的正的平方根 表示 7 的负的平方根 ±表示 7 的平方根 知识讲解 初中数学培优课堂 例2.求下列各式的值： 解：(1) = 6 . (1) ; (3)± (2) = - 0.9 . (3) ± = ± . 知识讲解 初中数学培优课堂 1.下列说法正确的是________. ① -3 是 9 的平方根； ② 25 的平方根是 5； ③ -36 的平方根是 -6； ④ 平方根等于 0 的数是 0. ①④ 随堂练习 初中数学培优课堂 19 2.下列说法不正确的是（ ） A. 0 的平方根是 0 B. -22 的平方根是 2 C.正数的平方根互为相反数 D.一个正数的正的平方根一定大于这个数的相反数 B 随堂练习 初中数学培优课堂 3.判断下列说法是否正确： 正确. (4) (-4)2 的平方根是 -4. 正确. 不正确，是 4. 不正确，是 ±4. (3) 的值是±4； (1) 是 的一个平方根； (2) 是 6 的一个平方根； 随堂练习 初中数学培优课堂 4. 已知 x - 1 的其中一个平方根为 2，3x + y -1 的平方根 为 ±4，求 3x + 5y 的 平方根. 解：由题意，得 x - 1 = 22，3x + y - 1 = (±4)2， 解得 x = 5，y = 2. ∴ 3x + 5y = 25. ∴ 3x + 5y 的平方根为±5. 随堂练习 初中数学培优课堂 平方根 定义 表示 如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根或二次方根 特征 表示 a 的正的平方根， 表示 a 的负的平方根 正数 a 的平方根是±，它们 互为相反数；0 的平方根是0;负数没有平方根 课后小结 平方 开方 互为逆运算 初中数学培优课堂 $