8.1 平方根（第1课时）（培优教学课件）数学新教材人教版七年级下册

8.1 平方根 第1课时 第八章 实数 实数 第八章 8.1 平方根 8. 2 立方根 8. 3 实数及其简单运算 章节导读 平方根 算术平方根及其估算 用计算器求算术平方根 立方根 立方根的性质及用计算器求立方根 实数的概念及数轴表示 实数的性质及简单运算 学 习 目 标 1 2 3 能结合具体实例，准确说出平方根的定义，明确平方与开平方的互逆关系； 掌握平方根的性质，能运用定义和性质准确求一个数的平方根，并解决与平方根相关的计算问题； 经历探究平方根定义与性质的过程，体会转化思想，提升数学抽象与运算能力的核心素养. 当“天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度v(单位:m/s)时，它就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星. v的大小满足v2=2gR，其中g是地球表面的重力加速度，g≈9.8 (单位:m/s2)，R是地球半径，R≈6.4×106 (单位:m). 怎样求v呢?这就要用到平方根的概念. 随着对于数的认识的不断深入，人们发现，边长为1的正方形的对角线的长度值不是有理数，这就需要引入一种新的数——无理数. 实际中对第二宇宙速度等的计算也要用到无理数. 在本章中，我们将首先学习平方根与立方根；在此基础上引入无理数，把数的范围从有理数扩充到实数；然后类比有理数，引入实数在数轴上的表示和实数的运算，从中进一步感悟数系扩充的过程，并用这些知识解决一些实际问题． 章节导入 导入新课 我们知道，已知一个数，通过平方运算可以求这个数的平方．反过来，如果已知一个数的平方，那么怎样求这个数呢？ 说一说： 3 的平方是多少？ (-2) 的平方是多少？ 9 4 新知探究 如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少？ 因为32=9，所以这个数可以是3，又因为 (-3)2=9，所以这个数也可以是-3． 除3，-3以外，任何一个数的平方都不等于9． 因此，如果一个数的平方等于9，那么这个数是3或-3． 思考 新知探究 填写下表： x2 1 16 36 49 x 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x叫做a的平方根或二次方根. 即：x2＝a，那么x叫做a的平方根或二次方根. 例：3和-3是 9的平方根，简记±3是9的平方根. ±1 ±4 ±6 ±7 ± 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方. 新知探究 平方 开平方 ±3的平方等于9，9的平方根是±3，可以发现，平方与开平方互为逆运算 ． 根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根． 典例分析 例1：求下列各数的平方根． （1）64； （2）； （3）0.01 解:（1）因为(±8)2＝64，所以64的平方根是±8 ； （2）因为 (±)2＝ ，所以 的平方根是±； （3）因为(±0.1)2＝0.01，所以0.01的平方根是±0.1 ． 基础训练 1．64的平方根是 ． 【解析】本题考查求一个数的平方根，根据平方根的定义，一个数的平方根是使得其平方等于原数的值求解即可． 解：，则64的平方根是， 故答案为． 基础训练 2．下列说法正确的是（　　） A．的平方根是 B．的平方根是 C．1是1的平方根 D．1的平方根是1 C 【解析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是明确负数没有平方根，一个正数的平方根有两个且互为相反数． 解：A、负数没有平方根，无平方根，此选项不符合题意； B、，的平方根是，此选项不符合题意； C、，故是的平方根，此选项符合题意； D、的平方根是，此选项不符合题意． 故选：C． 正数的平方根有什么特点？0 的平方根是多少？负数有平方根吗？ 思考 负数没有平方根. 正数有两个平方根，它们互为相反数； 0 的平方根是 0； 任何一个数的平方都是非负数，所以负数没有平方根. 新知探究 新知探究 正数a的正的平方根记为“ ”；读作“根号a”，a叫作被开方数； 正数a的负的平方根，可以用 ”- ”表示， 故正数a的平方根可以用”± ”表示， 读作 “正、负根号a”． 互为相反数 注意：只有当a ≥0时，有意义，而当a<0时，无意义. 例如，±表示9的平方根，±＝±3， 特别地，0的平方根记为 典例分析 例2：下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由. (1) 0.36； (2)﹣5； (3) (﹣4)2. 解：(1) 因为0.36是正数，所以0.36有两个平方根，±=±0.6； (2) 因为-5是负数，所以-5没有平方根； (3) 因为( -4 )2 = 16是正数，所以 ( -4 )2有两个平方根， ±=±=±4. 基础训练 1．回答下列问题： (1)12是144的平方根吗？ (2)169的负的平方根是哪个数？ (3)是0.9的平方根吗？ (4)哪个数的平方根只有一个？ 解：（1）因为144的平方根是，所以12是144的平方根； （2）因为169的平方根是，所以169的负的平方根是； （3）因为0.09的平方根是，所以不是0.9的平方根； （4）因为0的平方根是0，所以0的平方根只有一个是0． 【解析】本题主要考查了平方根，熟练掌握知识点并能灵活运用是解决此题的关键． 基础训练 2．求下列各数的平方根： (1)6400； (2)0.000016； (3)． 【解析】本题考查求一个数的平方根，一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根．即如果，那么x叫做a的平方根．即．根据平方根的定义求解即可； 解：（1）6400的平方根为：； （2）0.000016的平方根为：； （3）的平方根为：． 新知总结 平方根 ①平方根的概念 ②开平方运算 求平方根的运算叫开平方，平方与开平方互为逆运算. 若 x2=a，则 x 叫作 a 的平方根. ③平方根的性质 正数：有两个平方根，互为相反数，记作±. ​ 0：平方根是 0. 负数：没有平方根. 巩固练习 1．关于平方根的说法：①1是1的平方根；②1的平方根是1；③的平方根是；④2是的平方根；⑤的平方根是．若正确的用“✓”，错误的用“×”．下列判断正确的是（　　） A．①√②×③×④√⑤× B．①×②√③×④×⑤× C．①×②×③×④√⑤× D．①×②×③√④×⑤√ A 解：①1的平方根是，故1是1的平方根，①对； ②1的平方根是，故1的平方根是1错，故②错； ③负数没有平方根，故的平方根是错，故③错； ④的平方根，所以是的平方根对，故④对； ⑤的平方根是，所以的平方根是错，故⑤错； 故选：A． 巩固练习 2．一个正数的平方根分别是和，则的值是 ． 49 【解析】本题考查了平方根的性质，掌握正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．根据正数的两个平方根互为相反数，列出方程求出的值，再代入求． 解：∵正数的两个平方根互为相反数，∴ ， 整理得：，解得：， 当 时， ，， ∴ ，故答案为：． 巩固练习 3．求下列各数的平方根： (1)225； (2)1600； (3)； (4)0.0144． 【解析】此题考查了求平方根，运用平方根知识分别进行计算、求解，关键是能准确理解并运用该知识． 解：（1），的平方根是； （2），的平方根是； （3）， 的平方根是； （4），的平方根是． 拓展提升 4．用平方根表示下列各式中的x： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】本题主要考查了求一个数的平方根，解题的关键掌握平方根的定义，并根据平方根的定义进行求解即可． 解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴； （3）∵ ∴， ∵， ∴ （4） ∵， ∴． 课堂总结 感谢聆听! $