7.3 定义、命题、定理-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学教学课件（人教版·新教材）

第七章 相交线与平行线第七章 7.3 定义、命题、定理 初中数学培优课堂 目 录 学习目标 1 2 情境导入 知识讲解 3 随堂练习 4 课后小结 5 初中数学培优课堂 学习目标 1.理解定义、命题、定理及证明的概念，会区分命题的题设和结论.（重点） 2. 会判断真假命题，知道证明的意义及必要性，了解反例的作用. （难点） 初中数学培优课堂 不要再抢啦！每个人发一个球！ 相传,阎锡山在观看士兵篮球赛,双方争抢非常激烈.于是命令: 初中数学培优课堂 （一）定义 对于一个概念特征性质的描述叫作这个概念的定义. 知识点一 定义的概念 如：“连接两点线段的长度，叫作这两点之间的距离”是两点间距离的定义. 初中数学培优课堂 2.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题. 如：画线段AB=CD. 1.只要对一件事情作出了判断,不管正确与否,都是命题. 如：相等的角是对顶角. 注意： （一）命题的定义 可以判断为正确（或真）或错误（假）的陈述语句，叫作命题(proposition). 知识点二 命题的定义与结构 初中数学培优课堂 观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？与同伴交流. （1）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形的周长相等； （2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等； （3）如果一个数的平方等于9，那么这个数是3. 都是“如果……那么……”的形式 （二）命题的结构 初中数学培优课堂 命题一般都可以写成“如果……那么……”的形式. 1.“如果”后接的部分是题设,2.“那么”后接的部分是结论. 如命题：熊猫没有翅膀.改写为： 如果这个动物是熊猫，那么它就没有翅膀. 注意：添加“如果”“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更明朗，易于分辨，改写过程中，要适当增加词语，切不可生搬硬套. 初中数学培优课堂 命题 题设 结论 已知事项 由已知事项推出的事项 两直线平行， 同位角相等 题设（条件） 结论 （三）命题的组成： 初中数学培优课堂 例1 判断下列四个语句中，哪个是命题， 哪个不是命题？并说明理由. (1）对顶角相等吗？ （2）画一条线段AB=2 cm； （3）两条直线平行，同位角相等； （4）相等的两个角，一定是对顶角. 解：（3）（4）是命题，（1）（2）不是命题. 理由如下：（1）是问句，故不是命题；（2）是做一件事情，也不是命题. 初中数学培优课堂 2.两条直线相交，有且只有一个交点；（ ） 5.取线段AB的中点C； （ ） 1.长度相等的两条线段是相等的线段吗?( ) 6.画两条相等的线段.（ ） 例2 判断下列语句是不是命题？是用“√”，不是用“×”表示. 3.不相等的两个角不是对顶角；（ ） 4.相等的两个角是对顶角；（ ） × √ × × √ √ 初中数学培优课堂 特别规定： 被判断为正确的命题叫作真命题，被判断为错误的命题叫作假命题. 命题1：如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除. 观察下列命题,你能发现这些命题有什么不同的特点吗？ 命题1是一个正确的命题;命题2是一个错误的命题. 命题2：如果两个角互补，那么它们是邻补角. 知识点三 真命题与假命题 初中数学培优课堂 （1）同旁内角互补；（ ） （4）两点可以确定一条直线；（ ） （7）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直.（ ） （2）一个角的补角大于这个角；（ ） 例1 判断下列命题的真假.真的用“√”，假的用“×”表示. （5）两点之间线段最短；（ ） （3）相等的两个角是对顶角；（ ） × √ （6）同角的余角相等；（ ） × √ √ √ × 初中数学培优课堂 “因为早上我发现张三从玉米地那边过来，把一袋东西背回家，还发现我地里的玉米被人偷了，我知道张三家没有种玉米. 所以我家玉米肯定是张三偷的.” 片段1：一天早上，李老汉来到衙门里告状说：张三刚刚在他地里偷了一袋子玉米.吕县令立即派衙役将张三拘捕到县衙审讯: 吕县令问李老汉：“你怎知是张三偷了你的玉米?” 这种从已知条件出发（列出理由），推断出结论的证明方法，叫综合法.综合法是最常用的证明方法. 知识点四 证明与举反例 初中数学培优课堂 片段2：县官一时拿不定主意，就问旁边的县丞：“师爷，你怎么看？”县丞说“这事要证明是张三干的，还得弄清那袋子里装的是不是刚掰的玉米，还要看看地里的脚印是不是张三的才行.如果袋子里装的是刚掰的玉米，且地里的脚印是张三的，那就一定是他偷的.” 从结论出发，逆着寻找所需要的条件的思考过程，叫分析. 在分析的过程中，如果发现所需要的条件都已具备，或可从已知条件中推得，那么证明就很容易了. 初中数学培优课堂 例1 如图，∠1=∠2，试说明直线AB，CD平行. 分析：要证明AB，CD平行，可以从同位角相等的条件出发，图中∠1与∠3就是同位角. 我们只要找到：能说明它俩相等的条件就行了.从图中，我们可以发现：∠2与∠3是对顶角，所以∠3=∠2.这样我们就找到了∠1与∠3相等的确切条件了. 初中数学培优课堂 证明：因为∠2与∠3是对顶角， 所以∠3=∠2. 又因为∠1=∠2， 所以∠1=∠3， 因为∠1与∠3是同位角， 所以AB与CD平行. 证明： ∵∠2与∠3是对顶角， ∴∠3=∠2. 又∵∠1=∠2， ∴∠1=∠3， ∴AB∥CD. 初中数学培优课堂 1.数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫作公理. 两点确定一条直线. 两点之间线段最短. 经过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行. 直线公理： 线段公理： 平行线公理： 知识点五 公理的概念与定理的概念 初中数学培优课堂 同角或等角的补角相等. 2.余角的性质： 同角或等角的余角相等. 4.垂线的性质： ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 1.补角的性质： 3.对顶角的性质： 对顶角相等. ②垂线段最短. 学过的定理： 2.有些命题是基本事实，还有一些命题，它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理.定理也可以作为继续推理的依据. 初中数学培优课堂 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明. 注意： 证明的每一步推理都要有根据，不能“想当然”. 3.证明的概念 初中数学培优课堂 例1 如图，已知：b∥c， a⊥b ．求证：a⊥c． 证明： ∵ a ⊥b（已知）， ∴ ∠1=90°（垂直的定义）. 又 b ∥ c（已知）， ∴ ∠2=∠1=90°（两直线平行，同位角相等）. ∴ a ⊥ c（垂直的定义）. a b c 1 2 初中数学培优课堂 确定一个命题是假命题的方法： 例如，要判定命题“相等的角是对顶角”是假命题 ，可以举出如下反例： 如图，OC是∠AOB的平分线， ∠1=∠2，但它们不是对顶角. ） ） 1 2 A O C B 只要举出一个例子（反例）：它符合命题的题设，但不满足结论即可. 思考：如何判定一个命题是假命题呢？ 知识点六 举反例 初中数学培优课堂 1.下列语句中，不是命题的是(　　) A.两点之间线段最短 B.对顶角相等 C.不是对顶角不相等 D.过直线AB外一点P作直线AB的垂线 D 2.下列命题中，是真命题的是(　　) A.若a·b＞0，则a＞0，b＞0 B.若a·b＜0，则a＜0，b＜0 C.若a·b＝0，则a＝0且b＝0 D.若a·b＝0，则a＝0或b＝0 D 初中数学培优课堂 3.下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是假命题. 1.猪有四只脚； 2.内错角相等； 3.画一条直线； 4.四边形是正方形； 5.你的作业做完了吗？ 6.内错角相等，两直线平行； 7.垂直于同一直线的两直线平行. 是 真命题 否 是 假命题 是 假命题 否 是 真命题 是 假命题 初中数学培优课堂 24 4.举反例说明下列命题是假命题． (1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等； (2)若ab＝0，则a＋b＝0. 解：(1)两条直线平行形成的内错角，这两个角不是对顶角，但是它们相等； (2)当a＝5，b＝0时，ab＝0，但a＋b≠0. 初中数学培优课堂 5.在下面的括号内，填上推理的依据. 如图，AB ∥ CD,CB ∥ DE .求证∠ B+ ∠D=180°. 证明： ∵ AB ∥ CD, ∴ ∠B= ∠C( ). ∵ CB ∥ DE, ∴ ∠ C+ ∠ D=180°( ). ∴ ∠ B+ ∠ D=180°( ). 等量代换 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 初中数学培优课堂 证明：∵AB∥CD(已知)， ∴∠BPQ＝∠CQP(两直线平行,内错角相等)． 又∵PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP(已知)， ∴∠GPQ＝∠BPQ,∠HQP＝∠CQP(角平分线的定义)， ∴∠GPQ＝∠HQP(等量代换)， ∴PG∥HQ(内错角相等，两直线平行)． 6.如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被直线MN所截，交点分别为P，Q，PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP.求证PG∥HQ. A B C D M N P Q H G 初中数学培优课堂 命题的定义与结构 命题的分类 命题的组成 定义、命题、定理 真命题 假命题 公理（不需要证明） 定理（由推理证实） 其他 只需举一个反例 题设和结论 判断一件事情的句子 定义的概念 对于一个概念特征性质的描述叫作这个概念的定义 初中数学培优课堂 $