河南省开封高级中学2025-2026学年高一下学期学情调研数学试题

开封高中28届高一下学期学情调研 数学学科 命题人：202604072822审核人1：202604072823审核人2：202404072824 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、已知向A正=(2,3)，点A的坐标为(3,2)，则点B的坐标为() A.(6,4) B.(1,-1) C.(5,5) D.（-1,1) 2.若向量a,满足==1，且d·(位-)=分则向量与的夹角为() A君 B号 c D. 8.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c若A=牙B=牙a=V2,则b的值为 A.1 B.V2 C.v3 D.2 4.设a,6,是单位向量，且d+=t,则航的值为()》 A.2 B C.3 D 5.在△ABC中，若3b=2V3 asinB,cosA=cosC,则△ABC形状为() A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 6.已知向量ā，五，在正方形网格中的位置如图所示，若：=a+(亿，μ∈)，则1+4=() A.-司 B.-13 c.- D-品 7,已知△ABC的外接圆圆心为0，且A0=A正+AC,则BA在C上的投彩向量为() A.C B.-屁 c配 D.-8C 8.已知在△OAB中，0A=0B=2,AB=2√3，动点P位于线段AB上，当PA,P0取得最小值时、向量PA 与P可的夹角的余弦值为() A-29 B,29 C,-② 7 图 第1页，共4页 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)tanB=ac,则角B的大小为() Ag B胃 c普 D 10.设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是() A.若A丽=A丽+AC,则点M是BC的中点 B.若AN=-BM+CM,则点M是△ABC的重心 C.若AM=2AB-AC,则点M,B,C三点共线 D.若丽=C,则Am=A丽+AC 11.在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c-b=2 bcosA,则下列结论正确的有() A.A=2B B.BE() C.的取值范围为(W2,2) D.2snA+品B一品的取值范围为(，3) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.己知A(2,3),B(4,-3),点P在线段AB的延长线上，且=P,则点P的坐标为一· 13.设经过△A0B的重心G的直线与0A,OB分别交于P,Q两点，若0P=mOA,O0=nOE,m,n∈R+, 则3m+n的最小值为一： 14.在△ABC中，内角A,B,C所对边分别为a,b,c,若B=景b2=ac,则stA+stnC=一 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 已知向量a,,是同一平面内的三个向量，其中d=(1,-1), (1)若G=3V2,且C/瓜，求向量的坐标： (2)若b是单位向量，且d1d-26,求d与五的夹角8. 第2页，共4顶 16.(本小题15分) 在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2,BD=5, (1)求coS∠ADB: (2)若DC=2√2，求BC. 17.(本小题15分) 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,b=a+1,c=a+2. (1)若2sinC=3sinA,求△ABC的而积； (②)是否存在正整数α，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由. 18.(本小题17分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosC+√3 asinC=b+c. (1)求A的值： (2)若a+1=c,b>2,当△ABC的周长最小时，求b的值： (3)若玩=3D,c06B=共且△ABC的面积为20W3,求CD的长度. 第3顶，共4项 19.(本小题17分) 如图，设aE(0,),且&+？，当∠x0y=a时，定义平面坐标系为α的斜坐标系。在α的斜坐标系中，任 意一点P的斜坐标这样定义：设，分别为0x,Oy正方向同向的单位向量，若向量O丽=x+y,记向 量O=(化，y).在a=的斜坐标系中. (1)若向量0P=(3,2),求0 (2)已知向量冠=(xy),万=(x2y2,证明：a·万=x12+yy2+(2+x2y), (3)若向量d,的斜坐标分别为(sin2x,V3cos2x)和(1，-1)，xeR,设函数f(x)=d·b,g(x)=e*+e-*, h)=血x 0<x≤2 h(x-2),x>2 ①若()+f(日x+君)=0，xE(0,2026)的从小到大根依次为x1…,x,求n. ②此较g(sinx)与的大小，并说明理由.（惨考数据：e=2.71828,ln2=0.69314） 第4，共4顶开封高中28届高一下学期学情调研 数学学科答案和解析 1.【答案】C解：设B(xy, 正=(nA62x-8y-习=e8{--日 (X=5 y=5,即B5,5). 故选：C 2.【答案】B【解析】解：因为|=|=1，·(-)=支， 所以2-引|cos(,)=专，解得c0s(,6）=专，所以向量与的夹角为号 故选：B。 3.【答案】C 解根现正德建件点一点·所b=智-些-5 故选C 4.【答案】B 【解析】由到===1，言=-，得82=（在-）只，a1=1+1-2,主：=号 5.【答案】A 解：因为3b=2W3 asinB,由正弦定理得3sinB=2W3 sinAsinB, 因为sinB>0,所以sinA=县，又cosA=cosC,所以A=C=骨，则△ABC形状为等边三角形. 故答案选：A, 6.【答案】B【解析】设网格中小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图所示，可知=(3,3)， =(-2,1),:=(-1-3),代入=1a+μ6（亿，uER),得(-1，-3）=(-2,1)+u(3,3),则 -1=-2+34, 1=-, {-3=1+34 解行u=一，所以+u=-导装选B, 7.【答案】A 第1页，共1页 解：因为O=AB十Ac,所以四边形AB0C为平行四边形，又Bd=,所以四边形ABOC为菱形， 所以BC⊥A0,所以c·BA=|BCl·AcoS∠ABC=|BC2, 所以写A上的找彩的景为膏高-甚配=专配 故选A. 8.【答案】C 解：因为在△0AB中，0A=0B=2,AB=25, COS∠OAB= -特-9，所以u0AB=舌， 2OAAB 2x2x23 所以 丽o=i何+-pf+p网d-p-p--->- 当且仅当到=号时取等号， 因此在△0AP中，|ò=V4+星-2×号×2x夏=9】 是- 所以向量A与ò的夹角的余弦值为 故选C. 9.【答案】AC 【解析】因为(a2+c2-b)tan8=ac,所以4.器=支，即sinB=方， 2c 因为B∈(0，π)，所以B=吾或号 10.【答案】ACD 解：对于A,由向量加法的平行四边形法则可知，若M=(AB十A),则M为BC的中点，故A正确： 对于B,若十M十CN=i,则点M是△ABC的重心，此时=-M-CM,故B错误； 对于C,若=2-Ac,则iB=NA十AB=-2AB十Ac十AB=Ac-AB=BC, 所以点M,B,C三点共线，故C正确： 对于D,若M=青C,则AM=AB十M=AB+寺c=AB+(Ac-AB)=号AB+寺Ac,故D正确 故选：ACD. 第1页，共1页 11.【答案】ABD 解：：c-b=2bc0sA, ·由正弦定理可得sinC-sinB=2 sinBcosA, ysinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB, :sinAcosB+cosAsinB-sinB =2sinBcosA, sinAcosB-sinB sinBcosA, :sinAcosB-cosAsinB sin(A-B)=sinB, :A,B,C为锐角， ·A-B=B,即A=2B,故选项A正确； ∫0<2B<罗 0<T-3B<受，“晋<B<孕，故选项B正碗， :=-2n8=2cosB∈(W2,V. sinB sinB 故选项C错误； -+2sinA=品+2sim4 1 1 sin(A-B) = sir(2B-B) sinBsin +2sinA=sin+2sinA, 又骨<A<受，：9<imA<1 t=sim停<t<.则0-+2停<t< 由对勾函数性质可知，f)=+2在t∈（停，上单调递塔， 得章+2x9-华.0-+2x1=3 2sinA+a-应=赢+2siAe(9,3, 故选项D正确. 故选ABD. 12.【答案】(10，-21 【解析】由点P在线段AB的延长线上，=引，知=一专PR设P(x), (x-2=-(4-x （x=10, 则x-2y-到=-(4-x-3-以即y-3=-(-3-以.解得y=-21做点p的 坐标为(10，-21). 第1页，共1页 1B.【答案】里 解：c=号M=号×（⊙a+0)=(6A+0)=(品0+合d0: 由题意可知点P,G,Q三点共线，则品+合=3 所以3m+m=到m+a+)-4+盘+罗） 4+23, 3 当且仅当品=且合+=3即m=，n=1时取等号. 故答案为：423， 14. 解：因为B=号，b2=是ac,所以由正弦定理可得：sinAsinc=告sinB=青， 由余弦定理可得：b2=a2+c2-2ac,c0sB=+c2-aC=是aC,即+c2=号aC, snm2A+sin2C=￥sinAsinC=号， 所(以sinA+sind)}=st2A+si血2c+2 sinAsinc=子，sinA+sinc=号 15.【答案】解：(1)设=(xy),=3v2,且c//京， y+x=0 得1x2+y2=18 ∫X=-3（x=3 所以y=3或y=-3 故：=(-3,3)，或：=(3，-3)： 2)因为6=1，同=2，且a1(自-26 所以（言-2）=0， 即言2-2京.言=0， 所以2-2a.6=0,得.b=1, 即c0s0-萧-号. 因为夹角6∈[0，π]， 所以与的夹角日=军. 第1页，共1页 16.【答案】解：(1)：∠ADC=90,∠A=45°，AB=2,BD=5.由正弦定理得： an2丽=品 AB 'ana丽=点'n∠ADB=2=9: 即2 5 :AB<BD,·∠ADB<∠A, ·CoS∠ADB ②)：∠ADC=900,c0BDC=si∠ADB=9·:DC=2E, ·BC=VBD2+DC2-2xBD×DCxc0BDC=V25+8-2x5x22×号=5i D B C 17.【答案】解：(1)因为2sinC=3sinA,则2c=2(a+2)=3a, 则a=4,故b=5,c=6, c0sC=出%=吉， 2ab 所以，C为锐角，则sinC=V1-o92c=3 8, 因t,S4Bc=alinc=×4x5×9-9。 (②存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形，理由如下： 显然c>b>a,若。ABC为钝角三角形，则C为钝角， 由余弦定理可得c0sC=4是c=4(+13-+2 2ab 2aa+1) = -23<0, 2aa+1) 解得-1<a<3,则0<a<3, 由三角形三边关系可得a+a+1>a十2，可得a>1, aE N, a=2. 第1页，共1页 l8.【答案】解：(1)△ABC中，acosC+V3 asinC=b+c 利用正弦定理：sinAcosC-+V3 sinAsinC=sinB+sinC, 整理得sinAcosC+V3 sinAsinC=sin(A+C+sinC, 故V3sinA=cosA+1, 整理得sm(A-)=, 由于0<A<π， 所以A=晋； (2)由余弦定理得：a2=b2+c2-bc,由于a+1=c, 整理得：a= b3-b+1 b-2 由于b>2, 所以△ABc的周长为a+b+c=222+b+1=3b-2习+品+9≥62+9， b-2 当且仅当b=2+V2时，周长取得最小值： 3)由于S△4Bc=20W3, 所以bcsinA=205, 故bc=80,①， 于cosB=培，所以nB=渠. 故sinc=snA+B=9. 由正弦定理得：a:b:c=sinA:sinB:sinC=7:5:8,② 所以a=7W2,b=5V2,c=8V2. 在△ADC中，利用余弦定理：CD2=(5V2+(22-2×5V2×22×c0s=38 故CD=V38. 19.【答案】解：(1)因为向量=(3,2)，所以=3，+22， 因为=，2=2-1， 所以品2=(3武+2)2=9+12：高+4号=13+6=19， 第1页，共1页 所以=V19; (2)证明：因为向量=(xy1),6=(x2y2), 所以司=81+y,,i=x2+y2, 所以言.i=(x+)(2+y2)=x2+(xy2+xy)+yy22 化简得i·6=xx2+y1y2+壹(8y2+x2y1): )由2)得f☒=-a·b=st2x-V5cos2s+(V5cos2s-sin2x）,化简得 f(x)=sim(2x-号)， 所以f(晋x+晋)=sn(2(x+晋)-号)=sin(平x), 则方程)+f(晋x+)=0的根等价于x)=-sn(等x)的根， 如图所示，在y=一sin(x)的一个周期内，方程根的个数为3， 因为2026÷8=253……2， 则当x∈(0,2026)，根的个数n=253×3+1=760, ②g(sinx)<,理由如下： 器 y=h(x) -sin(牙) 令(x)=hnx+sin呀x,x∈(0,2，则m(生)=-hn2+sin暗， 又因为sin晋<si血唔=h2=n4me=,所以m()<0, 又因为句=号>0，所以m())<0.由零点存在定理可得x1E(经，)。 (1)可知g(si呀1)=g(-nx1)=e1+x1=守+为1在x1∈（分，1）上单调递减， 所以安+x1∈(2)，即g(si呀x1)e(2),所以g(si呀x1)<号 第1页，共1页