山东烟台市莱州市第一中学2025-2026学年高一第三次质量检测数学试题

莱州一中2025级高一第三次质量检测数学试题 命题人：刘新杰 审核人：杨丽丽薛秀迟晓丽 答题时间：2026.4,7 一、单项选拜题（本题共8小题，每小题5分，共40分四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1.对于平面向量a,方，c,下列叙述正确的是（) A.若a=,则a=±场 B.若a与6是单位向量，则abs1 c.若a6,则a6= D.若a心，/c,则a/lc 2.若z1+i)=1-5i,则z的虚部为() A.3i B.3 C.-3 D.-3i 3.如图所示，已知在△4ABC中，D是线段AB上的靠近A的三等分点，则CD=() A.BC-2BA B.-BC+2BA C.-BC-2BA D.BC+2B4 . 4.已知向量ā=(-1，)，6=(x,-2),若ā1(2ā-)，则a+=（) A.22 B.5 C.52 D.8 5某校高一年级的学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子文化》的实践活动在参观董子 文化馆时，为了测量董子雕像高度，在B,C处测得雕像最高点的仰角分别为和二，且A= 6 2 BC=2.92m,则该雕像的高度AD约为()（参考数据：√3≈1.73） A.4.0m B.4.6m c.5.2m D.6.2m 6.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为ab、c,且b2+c2=a2+bc.若sin B.sinC=sin2A, 则△ABC的形状是() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 7.已知向量a=(0,2),a6=l0,1ā+61=52,6方向上的单位向量为e,则向量a在 向量5上的投影向量为() B.2e 2 D. 5 5 . 试卷第1页，共4页 ·}·:京术人共，）… 8在△BC中，A,B,C所对的边分别是a,bo,4-牙，扇，C=-2反，且满是 sinB+sinC=2sinA,则该三角形的外接圆的面积为(：)，：.：·n A.22 B.2+22m C.4+42m D.4+22m 3. 85· 34.41”.* 二、选择题（本题共3小恩，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符 合趣目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 、正八8· 9.已知i为虚数单位，则下列说法正确的是（) A.若复数z的共轭复数为z,则zz=2= ,? B.若1-3i是关于x的方程x2+px+g=0(p,9∈R)的一个根，则9=-8 C.若复数z满足2-=1，则的最大值为2 D.已知aw=-+51是方程=1在复数域的一个根，则0=d 十 22 10.下列说法正确的是（) A.已知平面向量五=(-2,3)，6=(1，)，若，6夹角为纯角，则实数1的取值范围是1<号 B.己知同=1，因=2，则6(a+2)的最小值为6 C.若AB=V5,AC=1,B=30,则△ABC面积为5 D.若sin2A+sin2B+cos2C<1,则△ABC为钝角三角形 11.我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面 积的问题，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上·以小斜幂乘大斜幂 减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即 +a2-b2 s=4 2 现有△ABC满足sinA:sinB:sinC=2:V万：3，且S。Mc=6W3, 则() A.△ABC三个内角AB、C满足关系A+C=2BN B.△ABC的周长为10+2√万 C.若E为AC的中点，B丽=C,BE与AF交于点P,则BP的长为√ D.若O为△ABC的外心，则BO.(BA+BC)=26 试卷第2页，共4页 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 2.是虚数单位，且=a+6(beR).则g+6的值为 13.在菱形ABCD中，LABC=120,E是BC的中点，若AEBD=-3,菱形的边长为 14.已知aBC为锐角三角形，a,bc是角4，B,c分别所对的边，若asin4+C=bsi4,且c=2, 2 则B= 边a的取值范围是 四、解答恩（本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(13分) (1)若复数z=m(1+i)+(3i-4)m+2i-5(meR)为纯虚数，求m的值： ②计算40-29-+-” 16.(15分)己知向量g=(1,0,马=(0,1，ā=-58+8,6=(1+2)g-38,且a11历 (I)求1的值； (2)若ā与b反向，c=4g+马，求ā与c的夹角 17.(15分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，若m=(b-a,c),n=(b+a,c),且 mn=√5bc. ()求角A: (2若c0sB=4, ，a=5V5, 求边b和c的值. 试卷第3页，共4页 18.(17分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,向慰 万=(c,2b+a小，=(cosM,cosC),且到D+l=p-,点D为边AB上一点.第 ()求角C的人小： (2)若CD是C的角平分线，c=9,△ABC的周长为19，求CD的长度：， (3)若D是边AB上靠近点A的一个三等分点，CD=AD，求实数t的取值花围. 19.(17分)在锐角△4BC中，设角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=4,cosA= (I)若c=4,求△ABC的面积： 2求6-3的值； cosC (3)求B+A-AB.AC的取值范围， 试卷第4页，共4页2023级高一第三次质量检测数学试题答案 1-8 BCBC ACBD 9-11 ACD BD ABD 2-2132514号(1.4) (1)z=m20+i)+(3i-4)m+2i-5=(m2-4m-5)+(m2+3m+2）月 15、 m2-4m-5=0 由：为纯虚数，则 ,解得m=5(m=-1舍去) m2+3m+2≠0 (2)原式=[0-2)i+2-=+2-02-i=4-i 16.解：()根据题意得a=-51,0)+(0,)=(-5,), 6=(1+21,0)-30,)=(+2,-3),因为ā/16，所以(2+2)=15， 解得入=3或-5， (2)由)1=-5时，ā=(-5，-5)，6=(-3，-3)， 所以a=6,则a与6同向，舍去： 当1=3时，a=(-5,3),6=(5,-3),所以a=-6,则a与6反向， ē=4g+2=41,0)+(0,1)=(4,), a. -20+3 cos (d)25+9x6+1722 因为0≤(a,c)≤π，所以a与c的夹角为 3n 4 (2).·cosB= 4 5，sinB= a b 5v3 snA=sinB. b 17.(1)解：·.…m.元=3bC .∴.b=6V3 ∴.(b-a)(b+a)+c2=3bc .'62+c2-a2 V3bc 2bccosA sinC sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB .cosA =v3 2，A∈(0，T) 4+33 ..A=T 10 6 sinc sinA .∴c=9+43 18(1)币=(c2b+a小，可=(coM,coC)且l+引-l方-引 p·=0,即co4+(2b+a)osC=0. '.sinCcos+2sinBcosC+sinAcosC=sin B(2cosC+1)=0. 又如B>0,则ac=-分结合CeQ,C-行： (2)c2=a2+b2+ab=81而a+b+c=19 (a+b)2-ab=8i,a+b=l0:ab=19 :CD为角C的角平分线 8ao+8w=8.a→回网+列训阿n子-2c网网sn行 即b=(a+阿，+网-8 (3)而=+90-4+西+20.丽， 而-制o网-号te46+a2-2ab, ..t'sin'C=sin'4+4sin2B-2sinAsinB r2-am仔-2小anom- C- 2=4-2W3in24. 4}2》 sin2A∈(0，l, 4-2W5s2<4V5-1s12. 19.（1)由余弦定理cosA=+c2-a2.b3 2.8624 5 (2)因为a=4,加4手所以品=5， sinA 由正弦定理b=5sinB,c-5sinC 所以0老.25s血月-5snC,O cosC cosC sin=sin(4+C)=sin 4cos C+c0s 4sin Cc0C+sinc, 5 试卷第6页，共4页 带入①式可知： 5b-3c(20cosC+15sin C)-15sin C cosC =20 cosC (3)解法1： 设BC中点为D,则B+Ad=2⊙=2d @c-(D+Do+Dc-(而+8o-D=0'-D=@-4 所以B+AG-西Ac=-D+2Dl+4 如下图所示， A A2 设△ABC的外接圆为圆O,由于△ABC为锐角三角形，故点A的运动轨迹为劣弧A4(不含 5 端点)，由正弦定理知圆0的半径r=故OD=rc0sA= 533 设乙AOD=日，则π-A<日sπ，由余弦定理： 由于函数f(x)=-x2+2x+4在xe(V下，4]时单调递减，f(丽)-2丽-9，f(4)=-4 所以B+Ad-B.AC=-AD+2A0l+4∈[4,2丽-9) 解法2： 由余弦定理16=6+e1-号6c+d=16gke@ 由定义B.4C=bccos=bc 、3 所以B+aC-B.c=b+c2+ 3bc=16+bc- 5 设16+是6 试卷第7页，共4页 则8+-Bc-∫)=-2+1+4 由正弦定理： 6rc=5sn8+5mC=59m8+5sm(+8=5s如8+5（传oua+gn0 -8sin B+4cos B=45sin(B+) 其中锐角P的终边经过点(2，)由锐角三角形可知 8行4引8+p经p-4*p 注国m行p-小m传小29 所a8o5 所以b+ce(845],@式变形为c=b+a-5,故cs,20- 从而1(2店，8]， 此时函数∫)单调递减，而f2)=2-9,(8)片=4， 所以B+AG-BAc=f0∈[4,2丽-列 试卷第8页，共4页