2025-2026学年高二下学期数学期中模拟卷（人教A版选择性必修第二册）（提升卷）

2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 提升卷·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B C B A D C A A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD ACD AD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）数列，，，当时，，解得， 当时，，即，所以.（4分） （2）数列，，当时，， 两式相减得，即，而，则， 即，因此数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以.（8分） （3）由（2）得， ①当时，，即，， 则；（10分） ②当且时，不是整数， 设，则， 则，，得， 因此，（12分） 在上，，， 所以.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）因为，则， 可得， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为.（4分） （2）切线即为， 设切点坐标为，切线斜率， 则切线方程为，即，（6分） 可得，消去可得， 且，则，可得，， 所以切点坐标为.（9分） （3）由（1）可知：，， 构建， 可知的定义域为，且，（12分） 可得曲线C在点P处的切线斜率 当且仅当，时，等号成立，（14分） 所以曲线C在点P处的切线斜率的最小值为.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）由已知得，即， 整理得，（3分） 又因为，所以，解得或（舍去）， 所以.（7分） （2）由（1）知. 所以.（10分） 所以数列的前项和为： （15分） 18．（17分） 【解析】（1）由函数，得，函数的定义域为， 求导得，由在定义域上存在减区间，得在上有解，（3分） 因此不等式在上有解，而恒成立，则， 所以实数的取值范围是.（7分） （2）由函数的定义域为，（8分） 对任意的，且，都有，不妨设， 则，（10分） 设，即，， 因此函数在上是增函数，（12分） 于是对恒成立，（13分） 即对恒成立，而， 当且仅当时取等号，则，解得，（16分） 所以实数a的取值范围为.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）当时，， 则，（3分） 令，由于，解得；（4分） 令，解得；（5分） 所以在上单调递增，在上单调递减，（6分） 又，故的最大值与最小值依次为.（7分） （2）若对任意，不等式恒成立， 则，故，（8分） 当时，，显然不满足题意，舍去，（9分） 当时，记， 则，（10分） 由于，令，则；（11分） 令，则或； 故在上单调递增，在上单调递减，（13分） 由于， 当时，即，此时在上单调递增， 故满足题意，（15分） 当时，即，此时在上单调递增，在上单调递减， 要使恒成立，则且， 解得，综上可得.（17分） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 提升卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．曲线在点处的切线与直线平行，则（    ） A． B． C． D． 2．已知数列满足，，则（    ） A．0 B． C． D． 3．已知为数列的前n项和，，是公差为1的等差数列，则下列选项中不正确的是（ ） A． B．当且仅当时，取得最小值 C． D．数列中第5项的值最大 4．已知是函数的导函数，对于任意实数x都有，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．已知数列满足，设，，若数列是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（   ） A． B． C． D． 7．函数，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．对于数列，若存在常数，对任意的，都有不等式成立，则称数列具有性质．给出下列两个结论： ①若数列和均具有性质，则数列也具有性质 ②若数列和均具有性质，则数列也具有性质． 则下列判断正确的是（   ） A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．有极大值 D．方程有两根时的范围是 10．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（   ） A．若为等差数列，则是等差数列 B．若为等差数列，则成等差数列 C．若为等比数列，则“，”是“”的充分不必要条件 D．若是公比为的等比数列，则 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在处取得极小值 B．当时，方程有两个不同的实根 C． D．若点在的图象上运动，则点到直线距离的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则________． 13．若恒成立，则实数a的取值范围为________. 14．已知有穷数列的各项均不相等，将的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列，称数列为数列的“序数列”．例如数列满足，则其“序数列”为2，3，1．若有穷数列满足，且数列的“序数列”单调递减，数列的“序数列”单调递增，则____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 设为数列的前项和，已知，. (1)求和的值； (2)求数列的通项公式； (3)记表示不超过的最大整数，设，求数列的前2025项和. 16．（15分） 已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若直线是曲线的一条切线，求切点的坐标； (3)设函数为曲线上任意一点，求曲线C在点P处的切线斜率的最小值． 17．（15分） 已知公差不为0的等差数列中，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 18．（17分） 已知函数. (1)设函数，若在定义域上存在减区间，求实数的取值范围； (2)若对任意的，且，都有，求实数的取值范围． 19．（17分） 已知函数，. (1)当时，求的最大值与最小值； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．曲线在点处的切线与直线平行，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令则直线的斜率为 则. 故选：B. 2．已知数列满足，，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】由递推公式可得：，，，则周期为3，因，则. 故选：C 3．已知为数列的前n项和，，是公差为1的等差数列，则下列选项中不正确的是（ ） A． B．当且仅当时，取得最小值 C． D．数列中第5项的值最大 【答案】B 【详解】A：因为是公差为1的等差数列， 所以， 因此，所以A正确； B：由上可知：， 因为，所以当或6时，取得最小值，因此B不正确； C：由上可知：， 于是当时，， 显然，符合，所以C正确； D：由上可知：， 令， 显然当时，因为， 所以，而， 显然数列中第5项的值最大，故D正确， 故选：B 4．已知是函数的导函数，对于任意实数x都有，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令 ①,则 ， ∵， ∴ ， 即 ， ∴（c为常数）②， 由①②知， ， ∴ ，又， ∴ ，即 ， ， 不等式 即， ∴ 或， 即不等式的解集为， 故选：A. 5．已知数列满足，设，，若数列是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，所以， 所以是以为首项、2为公比的等比数列， 所以， 所以， 若数列是递增数列，则恒成立， 所以 恒成立， 所以恒成立，所以， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 6．已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】构造函数，则. ， 即在上单调递减. 故有，即， 即①. 对于A：由①式可知，即，因此无法判断，故A错误； 对于B、C：由①式可知，即，故无法判断，故B错误，C正确； 对于D：由①式可知，即，故D错误. 故选：C. 7．函数，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意， 在中，若恒成立， 设的解为，此时需同时成立， ∴，解得：， ∴， 令，则， ∴， 在中，， 令，得， 当即时函数单调递减， 当即时函数单调递增， ∴函数在处取最大值，， ∴， 故选：A. 8．对于数列，若存在常数，对任意的，都有不等式成立，则称数列具有性质．给出下列两个结论： ①若数列和均具有性质，则数列也具有性质 ②若数列和均具有性质，则数列也具有性质． 则下列判断正确的是（   ） A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【答案】A 【详解】数列具有性质，故存在常数，对任意的，有. 数列具有性质，故存在常数，对任意的，有. 对于命题①. 存在常数，对任意的，有 故 即数列具有性质.命题①为真命题. 对于命题②. 存在常数，对任意的，有 故数列具有性质.命题②为真命题. 故选： 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．有极大值 D．方程有两根时的范围是 【答案】ABD 【详解】由函数，可得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以当时，函数取得极小值，且极小值为，也为最小值， 所以A正确，B正确，C错误； 又由时，可得， 且当时，，当时，， 要使得有两个实数根，即与的图象有两个交点， 所以，即实数的取值范围为，所以D正确. 故选：ABD. 10．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（   ） A．若为等差数列，则是等差数列 B．若为等差数列，则成等差数列 C．若为等比数列，则“，”是“”的充分不必要条件 D．若是公比为的等比数列，则 【答案】ACD 【详解】对于A，若为等差数列，设公差为， 则， 所以， 所以， 所以为等差数列，故A正确； 对于B，若成等差数列，则成立， 所以，即， 所以，而不恒成立，故B错误； 对于C，为等比数列，若“，”则“”，所以充分性成立； 当等比数列的公比为1，若成立，不一定成立， 例如，但，所以必要性不成立， 所以“，”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，若为等比数列，公比为， 当时，则前项和为， 所以， 当时，，所以， 综上：，故D正确. 故选：ACD 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在处取得极小值 B．当时，方程有两个不同的实根 C． D．若点在的图象上运动，则点到直线距离的最小值为 【答案】AD 【详解】对于选项A，因为，则， 当时，，当时，，且， 所以是的极小值点， 又，所以选项A正确， 对于选项B，由选项A知，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又当时，，当时，，的图象如图， 令，由图知，当时，与有两个交点， 当时，与只有一个交点，所以选项B错误， 对于选项C，由， 联想到构造函数， 在上为正，在上为负， 上上为增函数，在上为减函数 由，可得 由在上为增函数，可得故C错误， （对于选项C也可先估算出，再结合的单调性判断出C错误） 对于选项D，设点，易知当曲线在处的切线与平行时， 点到直线的距离最小，又， 则，令，则， 易知，当时，，当时，， 所以在区间上单调递减， 在区间上单调递增，且时，，又，所以， 又，得到，所以到直线的距离为，故选项D正确， 故选：AD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则________． 【答案】 【详解】由题意得， 所以，又， 所以， 故答案为：. 13．若恒成立，则实数a的取值范围为________. 【答案】 【详解】由，原不等式等价于 令 所以 设， 当单调递增；当单调递减； 且所以，所以， 所以当单调递增；当单调递减； 所以，所以. 故答案为：. 14．已知有穷数列的各项均不相等，将的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列，称数列为数列的“序数列”．例如数列满足，则其“序数列”为2，3，1．若有穷数列满足，且数列的“序数列”单调递减，数列的“序数列”单调递增，则____________． 【答案】 【详解】因为的“序数列”单调递减，所以数列单调递增， 则，所以． 又因为，所以， 所以，所以①． 同理可得②， 由①②得， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 设为数列的前项和，已知，. (1)求和的值； (2)求数列的通项公式； (3)记表示不超过的最大整数，设，求数列的前2025项和. 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）数列，，，当时，，解得， 当时，，即，所以. （2）数列，，当时，， 两式相减得，即，而，则， 即，因此数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以. （3）由（2）得， ①当时，，即，， 则； ②当且时，不是整数， 设，则， 则，，得， 因此， 在上，，， 所以. 16．（15分） 已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若直线是曲线的一条切线，求切点的坐标； (3)设函数为曲线上任意一点，求曲线C在点P处的切线斜率的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，则， 可得， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为. （2）切线即为， 设切点坐标为，切线斜率， 则切线方程为，即， 可得，消去可得， 且，则，可得，， 所以切点坐标为. （3）由（1）可知：，， 构建， 可知的定义域为，且， 可得曲线C在点P处的切线斜率 当且仅当，时，等号成立， 所以曲线C在点P处的切线斜率的最小值为. 17．（15分） 已知公差不为0的等差数列中，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知得，即， 整理得， 又因为，所以，解得或（舍去）， 所以. （2）由（1）知. 所以. 所以数列的前项和为： 18．（17分） 已知函数. (1)设函数，若在定义域上存在减区间，求实数的取值范围； (2)若对任意的，且，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由函数，得，函数的定义域为， 求导得，由在定义域上存在减区间，得在上有解， 因此不等式在上有解，而恒成立，则， 所以实数的取值范围是. （2）由函数的定义域为， 对任意的，且，都有，不妨设， 则， 设，即，， 因此函数在上是增函数， 于是对恒成立， 即对恒成立，而， 当且仅当时取等号，则，解得， 所以实数a的取值范围为. 19．（17分） 已知函数，. (1)当时，求的最大值与最小值； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)的最大值与最小值依次为 (2) 【详解】（1）当时，， 则， 令，由于，解得； 令，解得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，故的最大值与最小值依次为. （2）若对任意，不等式恒成立， 则，故， 当时，，显然不满足题意，舍去， 当时，记， 则， 由于，令，则； 令，则或； 故在上单调递增，在上单调递减， 由于， 当时，即，此时在上单调递增， 故满足题意， 当时，即，此时在上单调递增，在上单调递减， 要使恒成立，则且， 解得， 综上可得. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $