精品解析：陕西铜川市第一中学2025-2026学年度第二学期高一第一次月考数学试题

铜川市一中2025-2026学年度第二学期高一年级（2028届） 第一次月考数学试题 考生注意：本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简后等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量加减法的运算律化简即可得. 【详解】. 故选：C 2. 在平行四边形中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由为的中点，得到 ，再由为的中点，结合平面向量基本定理，即可得出结果. 【详解】因为为的中点， 所以， 又在平行四边形中，为的中点， 所以. 故选A 【点睛】本题主要考查用基底表示向量，熟记平面向量的基本定理即可，属于常考题型. 3. 已知，，则“”是“向量与共线”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由或. 若，则；若，则. 所以或. 所以“”是“向量与共线”的充分而不必要条件． 4. 设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】 如果两个向量共线便不能作为基底，从而找为共线向量的一组即可，可根据共面向量基本定理进行判断． 【详解】解：、是平面内所有向量的一组基底， 与，不共线，可以作为基底， 与，不共线，可以作为基底， 与不共线，可以作为基底， 与，存在实数，使得，所以和共线，不可以作为基底， 故选：． 5. 冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功为（    ） A. B. C. 17 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】借助功的定义计算即可得. 【详解】因为，，所以，又， 故力对冰球所做的功为. 故选：C. 6. 在中，为的中点，为线段上一点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】，C，D，G三点共线，根据共线定理求得参数值. 【详解】由为的中点知，， 又为线段上一点，由共线定理知， ，则 故选：B 7. 在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知，即，利用正弦定理求出的值，即可得出的大小. 【详解】在中，因为，，，且，故， 由正弦定理可得， 又因为，故或. 故选：D. 8. 已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（ ） A. 正三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据单位向量的定义及加法的几何意义有对应向量在的角平分线上，进而有的角平分线与边垂直，结合等腰三角形的性质即可得. 【详解】由几何意义知，对应向量在的角平分线上， 由，即的角平分线与边垂直， 所以三角形ABC的形状一定是等腰三角形. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，下列结论正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则在上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据平面向量模的坐标运算求解可判断A；根据平面向量垂直的定义和数量积的坐标运算可判断B；根据平面向量夹角的坐标运算公式求解可判断C；根据投影向量的定义求解可判断D. 【详解】对于A：若，则，解得，故A错误； 对于B：若，则，解得，故B正确； 对于C：若，则，又， ，， 所以，故C正确； 对于D：若若，则，， 则在上的投影向量为，故D错误． 故选：BC. 10. 已知平面向量，，则正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则在方向上的投影向量是 C. 若与的夹角为锐角，则的取值范围为 D. 若，的夹角为，则 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A：根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可； 对于B：根据向量垂直的坐标表示求出，再根据投影向量的定义计算可得； 对于C：依题意可得且与不同向，即可得到不等式组，解得即可； 对于D：根据夹角公式得到方程，代入检验即可； 【详解】解：因为，， 对于A：若，则，解得，故A正确； 对于B：若，则，解得，所以， 所以，所以，，所以在方向上的投影向量是，故B正确； 对于C：，若与的夹角为锐角，则且与不同向， 即且，解得且，故C错误； 对于D：若，的夹角为，则，（） 整理得，显然当时，上式不成立，故D错误； 故选：AB 11. 已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形或直角三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，，且有两解，则的取值范围是 D. 若，则为锐角三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】由余弦定理角化边，因式分解得到或，从而判断的形状，得到A选项；根据正弦函数在的单调性得到B选项；根据三角形的个数判断C选项；利用正弦定理只能得到为锐角，无法证明D选项. 【详解】对于A，若，则由余弦定理得， 即，， 所以，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故A正确； 对于B，在锐角中，，故且， 故，所以不等式恒成立，故B正确； 对于C，若，且有两解， 则，故，即，故C正确； 对于D，若，则， 即，由正弦定理得，所以角为锐角， 但角未知，无法判断为锐角三角形，故D错误. 故选：ABC. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则c＝______． 【答案】 【解析】 【分析】 直接利用余弦定理c2＝a2+b2﹣2ab•cosC求解. 【详解】由a＝1，b＝2，C＝60°， 根据余弦定理得： c2＝a2+b2﹣2abcosC＝1+4﹣2＝3， 则c＝． 故答案为： 【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题. 13. 已知为一个单位向量，与的夹角是.若，则在上的投影向量为________. 【答案】 【解析】 【详解】为一个单位向量，与的夹角是，， 由平面向量数量积定义可得， 所以在上的投影向量为：.故答案为： 14. 中卫一中数韵社某同学为了测量学校天文台的高度，选择附近宿舍楼三楼一阳台，高为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶，天文台顶的仰角分别是15°和60°，在阳台处测得天文台顶的仰角为30°，假设和点在同一平面内，则该同学可算得学校天文台的高度为__________m． 【答案】 【解析】 【分析】在中求出斜边，在中根据正弦定理求出，最后在中求解即可. 【详解】， 在直角三角形中，， 由题知，， 在中根据正弦定理，，解得， 于是在中，. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线的坐标表示即可求解； （2）根据向量减法的坐标表示和向量垂直的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 ∵向量，， ∴，解得. 【小问2详解】 ∵向量，∴. ∵， ∴，解得. 16. 在中，内角所对的边分别为.已知，. （1）求； （2）求角和角. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理计算直接得出结果； （2）由正弦定理求得，进而求出C，即可求解. 【小问1详解】 在中，，由余弦定理， 得， 由，得； 【小问2详解】 由（1）知，，在中，由正弦定理， 得，则， 又，所以， 所以. 17. 如图，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段上一个靠近点B的三等分点，设，． （1）用向量与表示向量，； （2）若，求证：C，D，E三点共线． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解， （2）根据向量的线性运算表示，即可根据倍数关系判断共线，即可求证. 【小问1详解】 由题意得． ，，， ． 【小问2详解】 证明： ， 与平行，又与有公共点C， ，D，E三点共线． 18. 如图，在平面四边形中，，，，. （1）若，，求的大小； （2）若，求四边形面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先在用余弦定理求长度，再根据等腰三角形性质求，进而得，然后在用正弦定理求，结合几何情况确定大小. （2）把四边形面积拆成与面积之和，根据范围求面积最大值. 【小问1详解】 由已知，，得， 所以，得. 在中，因为，，所以， 又，由正弦定理得， 得， 因为，所以，所以， 所以. 【小问2详解】 由已知得，所以， 在中 所以， 又因为，得， 所以四边形面积 所以， 因为，所以， 当时，即时，. 19. 如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，线段与线段交于点. （1）若，求实数的值； （2）若，且满足， ①求实数的值； ②如图2，过点的直线与边分别交于点，设，，（，），求的最小值. 【答案】（1），； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）由条件和平面向量基本定理可得； （2）①根据三点共线及平面向量基本定理可得所求值；②由三点共线得，再用基本不等式可得最小值. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 又，且与不共线，由平面向量基本定理得，； 【小问2详解】 ①因为三点共线，所以存在实数使得（）， 所以， 因为，所以，所以， 又因为，所以，且与不共线， 所以，解得． 所以. ②由①可知，，且，， 所以， 因为三点共线，所以，且，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 铜川市一中2025-2026学年度第二学期高一年级（2028届） 第一次月考数学试题 考生注意：本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简后等于（ ） A. B. C. D. 2. 在平行四边形中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则“”是“向量与共线”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 5. 冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功为（    ） A. B. C. 17 D. 10 6. 在中，为的中点，为线段上一点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（ ） A. B. C. D. 或 8. 已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（ ） A. 正三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，下列结论正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则在上的投影向量为 10. 已知平面向量，，则正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则在方向上的投影向量是 C. 若与的夹角为锐角，则的取值范围为 D. 若，的夹角为，则 11. 已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形或直角三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，，且有两解，则的取值范围是 D. 若，则为锐角三角形 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则c＝______． 13. 已知为一个单位向量，与的夹角是.若，则在上的投影向量为________. 14. 中卫一中数韵社某同学为了测量学校天文台的高度，选择附近宿舍楼三楼一阳台，高为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶，天文台顶的仰角分别是15°和60°，在阳台处测得天文台顶的仰角为30°，假设和点在同一平面内，则该同学可算得学校天文台的高度为__________m． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 16. 在中，内角所对的边分别为.已知，. （1）求； （2）求角和角. 17. 如图，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段上一个靠近点B的三等分点，设，． （1）用向量与表示向量，； （2）若，求证：C，D，E三点共线． 18. 如图，在平面四边形中，，，，. （1）若，，求的大小； （2）若，求四边形面积的最大值. 19. 如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，线段与线段交于点. （1）若，求实数的值； （2）若，且满足， ①求实数的值； ②如图2，过点的直线与边分别交于点，设，，（，），求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $