专题01 勾股定理的4种综合应用 （高效培优专项训练）数学新教材沪科版八年级下册

专题01 勾股定理的4种综合应用 题型一：勾股定理与分类讨论 题型二：勾股定理与规律探究问题 题型三：巧用勾股定理判定直角 题型四：利用勾股定理巧解折叠问题 题型一：勾股定理与分类讨论 1．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是的中点，若点在轴上，且，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 2．（23-24八年级下·安徽池州·月考）已知是的整数部分，，其中是整数，且，那么以为两边的直角三角形的第三边的长度是______． 3．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，B点的坐标是，，点C在线段上，是靠近点A的三等分点，点P是y轴上的点，当是等腰三角形时，点P的坐标是__________. 4．（25-26八年级下·安徽宿州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、D，点B的坐标为，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，P是射线上的动点，过点P作轴，作轴，垂足分别为M，N，若四边形的周长是14，则点P的坐标为________ ． 5．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）定义：在平面直角坐标系中，已知点，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点的“最佳间距”．例如：点的“最佳间距”是1． （1）点的“最佳间距”是__________； （2）当点的“最佳间距”为时，点的横坐标为__________． 6．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点的运动时间为．连接． （1）当秒时，求_____． （2）过点作于点．在点的运动过程中，当_____时，能使． 7．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，，，点从点出发，沿线段以每秒3个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒． （1）斜边上的高为_____； （2）当是等腰三角形时，的值为_____． 8．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）如图，长方形（长方形的对边相等，每个角都是），，，动点、分别从点、同时出发，点以2厘米/秒的速度向终点移动，点以1厘米/秒的速度向移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为． （1）当点和点距离是时，__________． （2）当__________，为直角三角形（）． 题型二：勾股定理与规律探究问题 1．（24-25八年级下·安徽六安·月考）学习勾股定理后知道：直角三角形的三边长是正整数时称之为“勾股数”．小明在探究勾股数的规律时关注到这样一组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25，…，他发现这些勾股数都是由一个大于1的奇数和两个连续的正整数组成． (1)小明根据他的发现写出了这样一组数：9，40，41，这是一组勾股数吗？并说明理由； (2)为了进一步探究这组勾股数的构成规律，小明猜想这样的勾股数可以为，，（n为正整数），请帮小明证明他的猜想的正确性． 2．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）观察下列等式． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． (1)请用含（为正整数，且）的等式表示上面的规律，并证明其正确性． (2)若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如，3，4，5）．现有一个直角边为35的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用（1）中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由． 3．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）如图，观察图形，认真分析，其中表示的面积，表示的面积，…，以此类推． ，； ，； ，； …． 根据以上规律，解答下列问题： (1)填空：______，______； (2)求的值． 4．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图所示，都是直角三角形，请细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题． ； ； ； …… (1)请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变规律： ， ； (2)若一个三角形的面积是，计算说明他是第几个三角形？ (3)若，则 ． 5．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）【材料学习】 在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用图1、图2的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律． 【问题解决】 （1）材料中的方法体现的数学思想是______； A.函数思想　　B.分类讨论思想　　C.数形结合思想　　D.整体思想 （2）如图，它由2个全等的直角三角形与一个小直角梯形组成，恰好拼成一个大直角梯形，也能证明勾股定理，请你写出证明过程； 【灵活应用】 （3）如图，在四边形中，，过点作交于点，连接．若.，，求的长度（结果保留根号）． 题型三：巧用勾股定理判定直角 1．（22-23八年级下·安徽合肥·月考）已知，如图，在中，D是的中点，，垂足为D，交于点E，且．求证：．    2．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，的三个顶点坐标分别为，，，判断三角形的形状，并说明理论． 3．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期中）如图，在中，为边上的中线，，，，求证：． 4．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）在三角形中，内角、、所对的边分别为、、，若，求证：三角形是直角三角形． 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）古希腊的几何学家海伦在研究中发现：如果一个三角形的三边长分别为，那么三角形的面积S与之间的关系式是：①． 已知的三边的长分别为．请借助这个具体的三角形验证关系式①是正确的． 6．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）如图，阴影部分是某学校八（6）班的班级菜园，经测量，，，，． (1)求证：是直角三角形． (2)八（6）班计划将班级菜园全部种植西红柿，已知购买每平方米土地上栽种的西红柿苗需要9元，求购买西红柿苗总共需要的费用． 7．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图①是小聪同学在正方形网格中（每个小正方形的边长为1）画出的格点（的三个顶点都在正方形的顶点处），易知 ， ，． (1)请你参照小聪的方法在图②的正方形网格中画出格点，使得， ， ； (2)判断的形状，说明理由． 8．（22-23八年级下·安徽滁州·期中）如图，在的小正方形网格中，小正方形的边长均为1，的顶点都在格点（网格线的交点）上.    (1)请通过计算判断的形状； (2)的面积为________． 9．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)若该是等边三角形，求该方程的根； (2)若该一元二次方程有两个相等的实数根，判断的形状，并说明理由． 10．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在中，分别为边上的点，连接，且满足垂直平分，垂足为F． (1)判断的形状？并说明理由； (2)求的长． 11．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）如图，每个小正方形的边长都为1． (1)分别求出，，的长； (2)判定的形状，并求出它的面积． 12．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在中，，于点D，设，,，． (1)求证： (又称反勾股定理)： (2)求证：： (3)判断以，h ，为边构成的三角形的形状， 并说明理由． 13．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）阅读下面材料，解答下列问题． 一般地，设平面内任意两点，，这两点之间的距离当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点之间的距离公式可简化为或． (1)已知点 ，，求 ，两点之间的距离． (2)已知点， 所在的直线平行于 轴，点的纵坐标为，，两点之间的距离为，求点的纵坐标． (3)已知各顶点的坐标分别为，，，请判断的形状，并说明理由． 14．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）先阅读下列一段文字，再回答问题． 已知平面内两点，，这两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为或． (1)已知点，，试求，两点间的距离； (2)已知点，所在的直线平行于轴，点的纵坐标为，，两点间的距离为，求点的纵坐标； (3)已知各顶点的坐标分别为，，，你能判断的形状吗？说明理由． 15．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图①是小聪同学在正方形网格中（每个小正方形的边长为1）画出的格点（的三个顶点都在正方形的顶点处），易知，，．    (1)请你参照小聪的方法在图②的正方形网格中画出格点，使得，，； (2)判断的形状，说明理由； (3)求的面积． 16．（22-23八年级下·安徽滁州·期中）如图，在中，，为底边上的高线，E是上一点，连接交于点F，且．    (1)求证：； (2)如图1，若，，求的长； (3)如图2，若，以，和为边，能围成直角三角形吗？请判断，并说明理由． 题型四：利用勾股定理巧解折叠问题 1．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，纸片中，，点在边上，以为折痕折叠得到与边交于点．若为直角三角形，则的长是（    ） A．2 B．3 C．5 D．2或5 2．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使得点B恰好落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边于点E，交边于点F，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 4．（23-24八年级下·安徽淮南·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边分别在轴、轴上，，点在边上，将长方形沿折叠，若点的对应点恰好是边的三等分点，则点的坐标是_________． 5．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，，， M为的中点，N为边上一动点，连接，将沿折叠得到，与交于点P，连接，若是直角三角形，则______． 6．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，三角形纸片中，，、，是边上一点，将三角形纸片折叠，使点B与重合，折痕与分别相交于点E、F． （1）__________° （2）当是直角三角形时，的值为__________ 7．（22-23八年级下·安徽六安·期中）如图，在长方形纸片中，，，将纸片分别沿，折叠，使点落在边上的点处，点落在上的点处．    （1）________； （2）________． 8．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）如图，在中，，，已知． （1）的长为______． （2）点，分别是，上一点，沿着直线将折叠，得到，已知点落在边上，若是直角三角形，则的长为______（注：） 9．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）有一块直角三角形纸片： （1）如图，若两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好在斜边上，且点与点重合，则的长为______； （2）如图，若两直角边，，点在边上，以为折痕折叠得到，边与边交于点．若为直角三角形，则的长为______． 10．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边，现将三角形纸片沿直线折叠，使点落在斜边上，与点重合，求的长度 11．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）中，，是边上一点，．连接，将沿翻折得，连接．    (1)请根据题意，在图1中补全图形； (2)求证是直角三角形； (3)若，，求的长． 12．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）在数学实验课上，李同学剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作： 操作一：如图1，将纸片沿某条直线折叠，使斜边两个端点A与B重合，折痕为． （1）如果，，可得的周长为______； （2）如果，可得的度数为______； 操作二：如图2，李同学拿出另一张纸片，将直角边沿直线折叠，使点A与点E重合，若，，请求出的长． 13．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图1，在中，，点是中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，线段交边于点． (1)如图2，当落在上时，证明：为直角三角形； (2)若为直角三角形，求长； (3)线段的最小值为___________． 14．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点，，点C为x轴正半轴上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合． (1)求直线对应的函数表达式； (2)求的长； (3)P为直线上一点，，求点P的坐标． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 勾股定理的4种综合应用 题型一：勾股定理与分类讨论 题型二：勾股定理与规律探究问题 题型三：巧用勾股定理判定直角 题型四：利用勾股定理巧解折叠问题 题型一：勾股定理与分类讨论 1．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是的中点，若点在轴上，且，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：∵点是的中点，点， ∴， ∵点， ∴ ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， 点在轴负半轴上时，坐标为； 点在轴正半轴上时，坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 故选：C． 2．（23-24八年级下·安徽池州·月考）已知是的整数部分，，其中是整数，且，那么以为两边的直角三角形的第三边的长度是______． 【答案】或 【详解】解：是的整数部分，， ， ，， ，即， 其中是整数，，， ， 当为直角三角形的两直角边时，第三边长为； 当为直角三角形的直角边、为直角三角形的斜边时，第三边长为； 综上所述，以为两边的直角三角形的第三边的长度是或， 故答案为：或． 3．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，B点的坐标是，，点C在线段上，是靠近点A的三等分点，点P是y轴上的点，当是等腰三角形时，点P的坐标是__________. 【答案】或或或 【详解】解：∵B点的坐标是，， ∴，由勾股定理得， ∵点C在线段上，是靠近点A的三等分点， ∴， 作， ∴， ， 则点C的坐标为， 设点P坐标为， 当时， ， 解得，或， 点P坐标为或； 当时， ， 解得，（舍去）或， 点P坐标为； 当时， ， 解得，， 点P坐标为； 故答案为：或或或． 4．（25-26八年级下·安徽宿州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、D，点B的坐标为，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，P是射线上的动点，过点P作轴，作轴，垂足分别为M，N，若四边形的周长是14，则点P的坐标为________ ． 【答案】或 【详解】解：把代入得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∵将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将点，代入， 可得， 解得， ∴直线的表达式为； 根据题意，长方形的周长是14， 设，则， ∵，， ∴， 可分两种情况讨论： ①当点在第四象限时，如下图， 则， 将点代入直线， 可得， 解得， ∴此时点P的坐标为； ②当点在第三象限时，如下图， 则， 将点代入直线， 可得， 解得， ∴， ∴此时点P的坐标为：； 综上所述，点P的坐标为：或． 故答案为：或． 5．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）定义：在平面直角坐标系中，已知点，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点的“最佳间距”．例如：点的“最佳间距”是1． （1）点的“最佳间距”是__________； （2）当点的“最佳间距”为时，点的横坐标为__________． 【答案】 3 ，或 【详解】解：（1）∵，，， ∴点，，的“最佳间距”是3； 故答案为：3； （2）∵点，，， ∴，， 当时，或 若， ，，符合题意； 若， ，，符合题意； 当时，或， 若， ，，符合题意； 当时，无解， 综上，点的横坐标为，或． 故答案为：，或． 6．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点的运动时间为．连接． （1）当秒时，求_____． （2）过点作于点．在点的运动过程中，当_____时，能使． 【答案】 5或11 【详解】解：（1）由题意得：当秒时，， ∴， 在中，由勾股定理得， 故答案为：； （2）①当点P在线段上时，如图1所示： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ②点P在线段的延长线上时，过点D作于E，如图2所示： 同①得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：． 综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使． 故答案为：5或11． 7．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，，，点从点出发，沿线段以每秒3个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒． （1）斜边上的高为_____； （2）当是等腰三角形时，的值为_____． 【答案】 / 或或 【详解】解：（1）在中，由勾股定理得：， 过点C作于点D， ∵， ∴， ∴斜边上的高线长为； 故答案为：； （2）是以为一腰的等腰三角形时，有两种情况： 当时， 则， ∴； 当时， 过点C作于点D， 由（2）知：， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 是以为底的等腰三角形时， 则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，是等腰三角形时t的值为或或， 故答案为：或或． 8．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）如图，长方形（长方形的对边相等，每个角都是），，，动点、分别从点、同时出发，点以2厘米/秒的速度向终点移动，点以1厘米/秒的速度向移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为． （1）当点和点距离是时，__________． （2）当__________，为直角三角形（）． 【答案】 或 或或2 【详解】解：（1）如图1，作于， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ． 在中，由勾股定理，得 ， 解得：， 如图2，作于， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ． 在中，由勾股定理，得 ， 解得：， 综上：或． （2）如图， 点P，Q，D为顶点的三角形是直角三角形且． 当， ，， 由（1）可知， ， ， 解得：或； 如图，当时， ，， ， 解得：或（舍去）， 综上所述，或或2时，为直角三角形． 题型二：勾股定理与规律探究问题 1．（24-25八年级下·安徽六安·月考）学习勾股定理后知道：直角三角形的三边长是正整数时称之为“勾股数”．小明在探究勾股数的规律时关注到这样一组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25，…，他发现这些勾股数都是由一个大于1的奇数和两个连续的正整数组成． (1)小明根据他的发现写出了这样一组数：9，40，41，这是一组勾股数吗？并说明理由； (2)为了进一步探究这组勾股数的构成规律，小明猜想这样的勾股数可以为，，（n为正整数），请帮小明证明他的猜想的正确性． 【详解】（1）解：9，40，41是一组勾股数，理由如下： ∵，， ∴， ∴9，40，41是一组勾股数； （2）证明：∵， 又， ∴， ∵是正整数，∴是奇数，且，，都是正整数， ∴，，（为正整数）是勾股数， ∴小明的猜想正确． 2．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）观察下列等式． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． (1)请用含（为正整数，且）的等式表示上面的规律，并证明其正确性． (2)若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如，3，4，5）．现有一个直角边为35的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用（1）中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由． 【详解】（1）解：由题中等式的规律可得， 证明：左边右边． （2）它的三边长能为勾股数．理由如下： ， 把代入，得， 即， 它的三边长能为勾股数，这组勾股数为35，12，37． 3．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）如图，观察图形，认真分析，其中表示的面积，表示的面积，…，以此类推． ，； ，； ，； …． 根据以上规律，解答下列问题： (1)填空：______，______； (2)求的值． 【详解】（1）解：，； ，； ，； …， ∴，． 当时，即，． 故答案为：6，； （2）解：由（1）可知 ． 4．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图所示，都是直角三角形，请细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题． ； ； ； …… (1)请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变规律： ， ； (2)若一个三角形的面积是，计算说明他是第几个三角形？ (3)若，则 ． 【详解】（1）解：根据题中反映的规律可得：， 则； 故答案为：n；； （2）解：，一个三角形的面积是， ， ∴， 说明是第20个三角形； （3）解：由规律可得：， 即， ∴， ， ∴或（舍去）， 故答案为：15． 5．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）【材料学习】 在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用图1、图2的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律． 【问题解决】 （1）材料中的方法体现的数学思想是______； A.函数思想　　B.分类讨论思想　　C.数形结合思想　　D.整体思想 （2）如图，它由2个全等的直角三角形与一个小直角梯形组成，恰好拼成一个大直角梯形，也能证明勾股定理，请你写出证明过程； 【灵活应用】 （3）如图，在四边形中，，过点作交于点，连接．若.，，求的长度（结果保留根号）． 【详解】解：（1）根据题意可得它体现的数学思想是数形结合思想， 故答案为： C；                      （2）如图， ∵ ∴ 又 ∴ ∴， ∴． （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作于点， ∴， 在和中， ， ∴ 解得： 题型三：巧用勾股定理判定直角 1．（22-23八年级下·安徽合肥·月考）已知，如图，在中，D是的中点，，垂足为D，交于点E，且．求证：．    【详解】证明：连接，    是的中点，， 垂直平分， ， ， ， 是直角三角形， 故． 2．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，的三个顶点坐标分别为，，，判断三角形的形状，并说明理论． 【详解】解：等腰直角三角形，理由如下： 由图网格及勾股定理得 ，， ， 是等腰直角三角形． 3．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期中）如图，在中，为边上的中线，，，，求证：． 【详解】证明：如图，延长至点E，使得，连接， ∵为边上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴ ∴． 4．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）在三角形中，内角、、所对的边分别为、、，若，求证：三角形是直角三角形． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在三角形中，内角、、所对的边分别为、、， ∴三角形是直角三角形． 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）古希腊的几何学家海伦在研究中发现：如果一个三角形的三边长分别为，那么三角形的面积S与之间的关系式是：①． 已知的三边的长分别为．请借助这个具体的三角形验证关系式①是正确的． 【详解】解：中，，即， 是直角三角形， ． 将代入关系式①，得 ． 故可以验证关系式①是正确的． 6．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）如图，阴影部分是某学校八（6）班的班级菜园，经测量，，，，． (1)求证：是直角三角形． (2)八（6）班计划将班级菜园全部种植西红柿，已知购买每平方米土地上栽种的西红柿苗需要9元，求购买西红柿苗总共需要的费用． 【详解】（1）证明：，，， ， 是直角三角形． （2）解：过作交于， ，， 为中点，， ， ， 是直角三角形， ， ， 则（元）， 答：购买西红柿苗总共需要元． 7．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图①是小聪同学在正方形网格中（每个小正方形的边长为1）画出的格点（的三个顶点都在正方形的顶点处），易知 ， ，． (1)请你参照小聪的方法在图②的正方形网格中画出格点，使得， ， ； (2)判断的形状，说明理由． 【详解】（1）解：如下图，即为所求； （2）为直角三角形， 理由：，， ， 为直角三角形． 8．（22-23八年级下·安徽滁州·期中）如图，在的小正方形网格中，小正方形的边长均为1，的顶点都在格点（网格线的交点）上.    (1)请通过计算判断的形状； (2)的面积为________． 【详解】（1）解：，，， ， 是直角三角形； （2）解：由（1）得出：，， ∴． 9．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)若该是等边三角形，求该方程的根； (2)若该一元二次方程有两个相等的实数根，判断的形状，并说明理由． 【详解】（1）解：当是等边三角形时，， 原方程可化为：，即 ， ， ， （2）解：是直角三角形，理由如下： 方程有两个相等的实数根， ， ， ，即， 是直角三角形． 10．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在中，分别为边上的点，连接，且满足垂直平分，垂足为F． (1)判断的形状？并说明理由； (2)求的长． 【详解】（1）解：是直角三角形， 理由：，，， ， 是直角三角形，且， 垂直平分， ，， 在和中， ， ， ， 是直角三角形； （2）解：由（1）知，，， ，，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 的长为5． 11．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）如图，每个小正方形的边长都为1． (1)分别求出，，的长； (2)判定的形状，并求出它的面积． 【详解】（1）解：∵正方形网格中的每个小正方形的边长都为1， ∴由勾股定理得，， ， ； （2）解：∵，，， ∴， ∴由勾股定理逆定理得是直角三角形， ∴的面积． 12．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在中，，于点D，设，,，． (1)求证： (又称反勾股定理)： (2)求证：： (3)判断以，h ，为边构成的三角形的形状， 并说明理由． 【详解】（1）证明：∵在直角中，，， ∴，， 即， ∴， ∴， ∵ ， ∴； （2）证明：∵在直角中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵a、b、c、h都是正数， ∴， ∴； （3）解：以，h ，为边构成的三角形为直角三角形，理由如下： 根据勾股定理得：， 根据解析（2）可知：， ∵， ， 又∵， ∴， ∴根据勾股定理的逆定理知道以，h ，为边构成的三角形是直角三角形． 13．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）阅读下面材料，解答下列问题． 一般地，设平面内任意两点，，这两点之间的距离当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点之间的距离公式可简化为或． (1)已知点 ，，求 ，两点之间的距离． (2)已知点， 所在的直线平行于 轴，点的纵坐标为，，两点之间的距离为，求点的纵坐标． (3)已知各顶点的坐标分别为，，，请判断的形状，并说明理由． 【详解】（1）解：， 即A，B两点间的距离为13． （2）∵点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为2，A，B两点间的距离为4， ∴A的纵坐标为或者．即点A的纵坐标为6或． （3）为等腰直角三角形．理由如下： ∵， ， ， ∴，且 ∴为等腰直角三角形． 14．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）先阅读下列一段文字，再回答问题． 已知平面内两点，，这两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为或． (1)已知点，，试求，两点间的距离； (2)已知点，所在的直线平行于轴，点的纵坐标为，，两点间的距离为，求点的纵坐标； (3)已知各顶点的坐标分别为，，，你能判断的形状吗？说明理由． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，两点间的距离为； （2）解：∵点，所在的直线平行于轴，点的纵坐标为，，两点间的距离为， ∴的纵坐标为或者．即点的纵坐标为或； （3）解：是等腰直角三角形．理由如下， ∵，，， ∴，， ，， ，， ∴，且， ∴是等腰直角三角形． 15．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图①是小聪同学在正方形网格中（每个小正方形的边长为1）画出的格点（的三个顶点都在正方形的顶点处），易知，，．    (1)请你参照小聪的方法在图②的正方形网格中画出格点，使得，，； (2)判断的形状，说明理由； (3)求的面积． 【详解】（1）解：如下图，即为所求；    （2）为直角三角形， 理由：∵， ， 为直角三角形． （3）的面积为 16．（22-23八年级下·安徽滁州·期中）如图，在中，，为底边上的高线，E是上一点，连接交于点F，且．    (1)求证：； (2)如图1，若，，求的长； (3)如图2，若，以，和为边，能围成直角三角形吗？请判断，并说明理由． 【详解】（1）证明：在中，，， ∴， 由勾股定理得， ∴； （2）解：由（1）可知， 在中，由勾股定理得，， ∵在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴的长为3.5； （3）解：能围成直角三角形，理由如下： 如图，在上取一点H，使，连接，，    ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，即， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴以，和为边，能围成直角三角形． 题型四：利用勾股定理巧解折叠问题 1．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，纸片中，，点在边上，以为折痕折叠得到与边交于点．若为直角三角形，则的长是（    ） A．2 B．3 C．5 D．2或5 【答案】D 【详解】解：∵纸片中，， ∴， ∵以为折痕折叠得到， ∴，． 如图1所示：当时，过点作，垂足为F．则四边形是矩形， ∴． 设，则． 在中，由勾股定理得： ，即． 解得：，（舍去）． ∴． 如图2所示：当时，C与点E重合． ∵，， ∴． 设，则． 在中，，即． 解得：． ∴． 综上所述，的长为2或5． 故选D． 2．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使得点B恰好落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，， ， 设，则， 由折叠的性质可得，， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， 故选B． 3．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边于点E，交边于点F，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】解：点D为的中点， ， 由折叠的性质可得， 设，则， 由勾股定理得， ， 解得：， ， 故选：D． 4．（23-24八年级下·安徽淮南·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边分别在轴、轴上，，点在边上，将长方形沿折叠，若点的对应点恰好是边的三等分点，则点的坐标是_________． 【答案】或 【详解】解：在长方形中，，， 由折叠的性质可得，，， 恰好是边的三等分点， ∴当点F靠近点C时，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得到， ∴， 解得， ∴点的坐标是； 当点F靠近点O时，则， 在中，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得到， ∴， 解得， ∴点的坐标是； 综上所述，点的坐标是或， 故答案为：或． 5．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，，， M为的中点，N为边上一动点，连接，将沿折叠得到，与交于点P，连接，若是直角三角形，则______． 【答案】或或2或6 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴由勾股定理得，， ∴， 由折叠的性质可知，，， 由题意知，当是直角三角形时，分，，两种情况求解； 当，在左侧时，，如图1，        图1 ∴，， ∴， 由勾股定理得，， 解得，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 当，在右侧时，，如图2，           图2 ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴； 当，在左侧时，如图3，连接，作的延长线于，            图3 ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 解得，， 设，则，， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴； 当，在右侧，重合，如图4，           图4 ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，； 综上所述，的值为或或2或6； 故答案为：或或2或6． 6．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，三角形纸片中，，、，是边上一点，将三角形纸片折叠，使点B与重合，折痕与分别相交于点E、F． （1）__________° （2）当是直角三角形时，的值为__________ 【答案】 当或 【详解】解：（1）延长到点D，使，连接， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 故答案为：； （2）∵三角形纸片折叠，使点B与点重合， ∴，，， 设，，则， 在中，，即， ∴， ①当时，则， ∴， ∴， ∴，即， ∴，解得， ∵， ∴； ②当时，则， ∴，即，解得， 故答案为或． 7．（22-23八年级下·安徽六安·期中）如图，在长方形纸片中，，，将纸片分别沿，折叠，使点落在边上的点处，点落在上的点处．    （1）________； （2）________． 【答案】 45 【详解】（1）解：由折叠可知，， 四边形是长方形， ， ， ， 即， 故答案为：； （2）解：由折叠可知，， 在中由勾股定理得：， ， 设，则， 由折叠可知， ， 在中由勾股定理得：， 解得：， ，， ， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）如图，在中，，，已知． （1）的长为______． （2）点，分别是，上一点，沿着直线将折叠，得到，已知点落在边上，若是直角三角形，则的长为______（注：） 【答案】 或 【详解】（1）在中，，则， ； 故答案为：． （2）如图1，当时，由折叠可知． 设，由，得， 则， ， ， ． 如图2，当，，则， ， ． 故答案为：或． 9．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）有一块直角三角形纸片： （1）如图，若两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好在斜边上，且点与点重合，则的长为______； （2）如图，若两直角边，，点在边上，以为折痕折叠得到，边与边交于点．若为直角三角形，则的长为______． 【答案】 ； 或 【详解】（1）解：在中，，， ， 由折叠的性质可知：， ，，， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ， 故答案为：； （2）解：如下图所示，过点作垂足在的延长线上， 则四边形是矩形， ，， 设，则， ，， 由可知， ， 在中，， ， 解得：，(不符合题意，舍去)， 时，为直角三角形； 如下图所示，当平分时 ，点在的延长线上， 则，， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 当时，为直角三角形； 综上所述，若为直角三角形则的长为或 . 故答案为：或． 10．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边，现将三角形纸片沿直线折叠，使点落在斜边上，与点重合，求的长度 【答案】 【详解】解：由题意可得与关于成轴对称， ，，， 在中，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得，即． 11．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）中，，是边上一点，．连接，将沿翻折得，连接．    (1)请根据题意，在图1中补全图形； (2)求证是直角三角形； (3)若，，求的长． 【详解】（1）解：补全图形如下：    （2）证明：， ， 根据折叠的性质，可得， ， 是直角三角形； （3）设， ，， ， 在中，根据勾股定理，得， 解得， ，， ，， ， ， ， 根据折叠的性质，可得， 在中，根据勾股定理，得． 12．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）在数学实验课上，李同学剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作： 操作一：如图1，将纸片沿某条直线折叠，使斜边两个端点A与B重合，折痕为． （1）如果，，可得的周长为______； （2）如果，可得的度数为______； 操作二：如图2，李同学拿出另一张纸片，将直角边沿直线折叠，使点A与点E重合，若，，请求出的长． 【详解】解：操作一：（1）由折叠的性质可得， ∴的周长， 故答案为：； （2）由折叠的性质可得， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； 操作二：在中，由勾股定理得， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图1，在中，，点是中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，线段交边于点． (1)如图2，当落在上时，证明：为直角三角形； (2)若为直角三角形，求长； (3)线段的最小值为___________． 【详解】（1）证明：由折叠的性质得：， ∵点是中点， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形； （2）解：在中，∵， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， 当时，此时， 由折叠的性质得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，过点E作交于点G，连接，则， ∴， 设，则， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，的长为6或； （3）解： 如图，连接， 根据题意得：， 即当点在上时，取得最小值，最小值为， 在中，， ∴的最小值为． 故答案为： 14．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点，，点C为x轴正半轴上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合． (1)求直线对应的函数表达式； (2)求的长； (3)P为直线上一点，，求点P的坐标． 【详解】（1）解：设直线对应的函数表达式为：， ∵直线交坐标轴于点，， ∴， 解得：， ∴直线对应的函数表达式为：． （2）解：由题意可知：，，， ∴， ∵将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合， ，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得， 即． （3）解：∵P在直线上， ∴设， ∵， ∴， 解得或， ①当时，， ②当时，， ∴或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $