第十八章 勾股定理及其逆定理（单元自测·基础卷）数学新教材沪科版八年级下册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十八章 勾股定理及其逆定理·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．（本题4分）若直角三角形的两条直角边的长度为5、12，则斜边上的高是（    ） A． B．13 C． D． 2．（本题4分）如图，在中，，若，，则的长是(　　) A． B． C． D． 3．（本题4分）如图，用面积分别为1，4和S的三个正方形围成（），则的值为（　　） A．3 B．5 C．15 D．17 4．（本题4分）若的三个内角分别为、、，三条边分别为、、，那么，根据下面的条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 5．（本题4分）已知三角形的三边长满足，则三角形的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不能确定 6．（本题4分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点都在网格的格点上，则下列结论中不正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（本题4分）如图，有一个水池，其底面是边长为16尺的正方形，一根芦苇生长在它的正中央，高出水面部分的长为2尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的，则这根芦苇的长为（    ） A．15尺 B．16尺 C．17尺 D．18尺 8．（本题4分）如图，某海域有相距的A岛和C岛．甲船先由A岛沿北偏东方向走了到达B岛，然后再从B岛走了到达C岛，此时甲船位于B岛的（   ） A．北偏西方向上 B．北偏东方向上 C．北偏西方向 D．北偏西方向上 9．（本题4分）如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，使，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线； ②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，连接． 根据以上作图，若，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 10．（本题4分）如图，在，，点D，E分别在和上，且，，若，则的长是（   ） A． B．4 C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．（本题5分）如图，中，，的中垂线交于E，交于点D，若，，则的周长为________________； 12．（本题5分）已知直角三角形的两条边长分别是方程的两个根，则此三角形的斜边长是___________． 13．（本题5分）如图，是由6个大小完全相同的小正方形拼成的网格，A、B、C、D、E均为格点，连接，则____ 14．（本题5分）如图，等腰中，，是内一点，，，，为外一点，且，则四边形的面积为_____． 三、解答题（共9小题，共90分） 15．（本题8分）如图，在中，，，是的高，求的长及的面积． 16．（本题8分）《国务院关于印发全民健身计划（2021—2025年）的通知》文件提出，加大全民健身场地设施供给，进一步增加全民健身的热情．我市某健身广场为方便群众夜间健身活动，在广场部分位置加装照明灯，向阳兴趣小组利用课余时间测量照明灯灯板的长，因不方便直接测量，设计方案如下： 课题 测量照明灯灯板的长 方案及说明 工具 竹竿、米尺 方案及图示 相关数据及说明 竹竿长度为，灯板垂直地面于点，线段，表示同一根竹竿．第一次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，第二次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处．已知m，m 计算过程 …… 请根据上述方案中的内容，计算的长． 17．（本题8分）数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 秋高气爽，很多龙岗市民喜欢到大运公园等地方放风筝． 测量数据 抽象模型 某数学兴趣小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为米．    问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12米，且长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 ⋯ 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 18．（本题8分）甲同学用如图①方法作出点，在中，，，，且点，，在同一数轴上，． (1)甲同学所做的点表示的数是_______； (2)仿照甲同学的做法，请你在如图②所示的数轴上作出表示的点． 19．（本题10分）我们知道，数轴上的点和实数是一一对应的，借助勾股定理可以在数轴上画出无理数、 对应的点．如图 爱动脑筋的小明发现，借助方格纸也可以画出很多长度是无理数的线段，请在下面的方格纸中画出长度为 的线段和长度为 的线段，已知每个小正方形的边长都是1，要求点A，B，C，D都是正方形的格点． 20．（本题10分）在中，． (1)已知，，求b的值． (2)已知，，求a的值． 21．（本题12分）（1）如图1是著名的赵爽弦图，用四个全等的直角三角形拼成如图的大正方形和小正方形．已知较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，利用面积法等可以推导出勾股定理，请写出推理过程． （2）如图2，在一条公路的一侧有一村庄C，公路边有两个停靠站A，B，在公路边再建一个停靠站D，使村庄C到停靠站D的距离最短．经测量，． ①求停靠站A与D之间的距离； ②经测量发现停靠站B到村庄C和停靠站A的距离相等，求停靠站B到村庄C的距离． 22．（本题12分）如图，在中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． (1)求的长． (2)当点在边上运动，为等腰三角形时，求的值． (3)当点在的垂直平分线上时，求的长． (4)当点（与顶点，，重合除外）在的角平分线上时，直接写出的值． 23．（本题14分）某班“数学社团”在学习“勾股定理”章节的内容后，自主探索如下问题．如图，在中，，，，点D是边上的一个动点，连接．若是等腰三角形，求线段的长． (1)小美利用刚学过的勾股定理，用方程很容易做出了解答，请你帮小美写出解答过程； (2)小聪在学习了一次函数这一章节的内容后，他尝试利用函数的方法探究并解决该问题，下面是他的探究过程，请你补充完整： ①首先根据点D在边上的不同位置，画出相应图形，测量出线段、的长度，得出下面的表格： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 6 6.1 6.3 6.7 7.2 7.8 a 9.2 10 表格中a的值为______（用最简二次根式表示）； ②然后将的长作为自变量x（），的长作为x的函数，记为y，在下面平面直角坐标系中画出了函数y关于x的图象．依据图象写出该函数的一条性质______； ③小聪分析不用测量的值，因为与满足关系式：______； (3)继续在平面直角坐标系画出小聪所需的函数图象，并结合图形直接写出：当△ABD为等腰三角形时，线段的长度的近似值（精确到0.1）． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十八章 勾股定理及其逆定理·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．（本题4分）若直角三角形的两条直角边的长度为5、12，则斜边上的高是（    ） A． B．13 C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理先求出直角三角形的斜边长，再通过等面积法计算斜边上的高即可． 【详解】∵直角三角形的两条直角边长度为5和12， ∴根据勾股定理，斜边长为， 设斜边上的高为， ∵直角三角形的面积可以表示为两直角边乘积的一半，也可以表示为斜边乘斜边上高的一半， 两种方式计算的面积相等， ∴， 解得． 2．（本题4分）如图，在中，，若，，则的长是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据确定是斜边，、是直角边，再利用勾股定理代入已知的和的长度计算即可得到的长． 【详解】解：∵在中，， ∴是直角三角形， ∴． 即， 解得． 故选：C． 3．（本题4分）如图，用面积分别为1，4和S的三个正方形围成（），则的值为（　　） A．3 B．5 C．15 D．17 【答案】B 【分析】根据勾股定理，结合正方形面积与边长的关系求解． 【详解】解：是直角三角形， ， 为面积是的正方形的边长，为面积是的正方形的边长，为面积是的正方形的边长， ，，， ． 4．（本题4分）若的三个内角分别为、、，三条边分别为、、，那么，根据下面的条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：A． ∵，，∴，得，∴是直角三角形，此项不符合题意； B． ∵，，总份数为，∴，，，∴没有直角，不是直角三角形，此项符合题意； C． ∵，∴，，∴，是直角三角形，此项不符合题意； D． ∵，∴，∴是直角三角形，此项不符合题意． 5．（本题4分）已知三角形的三边长满足，则三角形的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据非负数的性质可知的值，再由勾股定理的逆定理即可判断三角形为直角三角形． 【详解】解：由题意得：， 解得， 满足， ∴该三角形是直角三角形． 6．（本题4分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点都在网格的格点上，则下列结论中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，故A选项正确，不符合题意； B、根据题意得：，故B选项正确，不符合题意； C、∵， ∴， ∴，故C选项错误，符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故D选项正确，不符合题意； 7．（本题4分）如图，有一个水池，其底面是边长为16尺的正方形，一根芦苇生长在它的正中央，高出水面部分的长为2尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的，则这根芦苇的长为（    ） A．15尺 B．16尺 C．17尺 D．18尺 【答案】C 【分析】如图所示，设芦苇长尺，则水深尺，根据题意得到尺，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长． 【详解】解：如图所示， 设芦苇长尺，则水深尺， 因为尺，所以尺， 在中，， 解得：， ∴尺． ∴芦苇长17尺． 8．（本题4分）如图，某海域有相距的A岛和C岛．甲船先由A岛沿北偏东方向走了到达B岛，然后再从B岛走了到达C岛，此时甲船位于B岛的（   ） A．北偏西方向上 B．北偏东方向上 C．北偏西方向 D．北偏西方向上 【答案】A 【分析】先用勾股定理的逆定理推出，再结合方位角和平行线的性质求出的度数，即可确定C相对于B的方位角． 【详解】解：如图，由题意，得，，，，． ，， ， 是直角三角形， ． ， ， ， ∴此时甲船位于岛的北偏西方向上． 9．（本题4分）如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，使，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线； ②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，连接． 根据以上作图，若，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．根据作图步骤可知平分，垂直平分，从而得出，点到、的距离相等．过点作于，交的延长线于，通过证明和，利用线段的和差关系求出的长，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作于，交的延长线于， 由作图步骤①可知，平分， ，， ，， 在和中， ， ， ， 由作图步骤可知，垂直平分，点在上， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， 解得， 在中，， 即点到直线的距离为． 10．（本题4分）如图，在，，点D，E分别在和上，且，，若，则的长是（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】先证明是等边三角形，得到，再根据外角得到，得到，，过作于，中，根据直角三角形的性质得到，，再证明是等腰直角三角形，求出即可． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过作于， ∵中，，， ∴， ∵中，， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．（本题5分）如图，中，，的中垂线交于E，交于点D，若，，则的周长为________________； 【答案】14 【分析】先根据勾股定理求出的长，再由线段垂直平分线的性质得出，即，再由即可求出答案． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴，即， ∴的周长． 12．（本题5分）已知直角三角形的两条边长分别是方程的两个根，则此三角形的斜边长是___________． 【答案】或 【分析】先解出方程的两个根为6和8，再分长是8的边是直角边和斜边两种情况进行讨论． 【详解】解：∵， ∴和， ∴①方程的两根6和8为直角边；②较大根8为斜边，较小根6为直角边； 当长是8的边是直角边时，则斜边； 长是8的边也可是斜边． 故斜边长是或． 13．（本题5分）如图，是由6个大小完全相同的小正方形拼成的网格，A、B、C、D、E均为格点，连接，则____ 【答案】/度 【分析】取格点F，连接，利用勾股定理，勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，证明四边形是平行四边形，得， ，求解即可； 【详解】解：取格点F，连接， 根据勾股定理，得，，， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 四边形是平行四边形， ∴， ∴， ， ． 14．（本题5分）如图，等腰中，，是内一点，，，，为外一点，且，则四边形的面积为_____． 【答案】 【分析】连接，由全等三角形性质可得，，，通过勾股定理得，在中，，，，则，所以，然后通过即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴ ， ， ． 三、解答题（共9小题，共90分） 15．（本题8分）如图，在中，，，是的高，求的长及的面积． 【答案】，的面积为48 【分析】根据等腰三角形的“三线合一”求出，进而根据勾股定理即可求出，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵，，是的高， ∴，， ∴在中，， ∴． 16．（本题8分）《国务院关于印发全民健身计划（2021—2025年）的通知》文件提出，加大全民健身场地设施供给，进一步增加全民健身的热情．我市某健身广场为方便群众夜间健身活动，在广场部分位置加装照明灯，向阳兴趣小组利用课余时间测量照明灯灯板的长，因不方便直接测量，设计方案如下： 课题 测量照明灯灯板的长 方案及说明 工具 竹竿、米尺 方案及图示 相关数据及说明 竹竿长度为，灯板垂直地面于点，线段，表示同一根竹竿．第一次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，第二次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处．已知m，m 计算过程 …… 请根据上述方案中的内容，计算的长． 【答案】m 【分析】本题考查了勾股定理，先计算，再计算，最后相减即可得到． 【详解】解：由题意可知， 在中， ，， ， 在中， ，， ， ∴． 17．（本题8分）数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 秋高气爽，很多龙岗市民喜欢到大运公园等地方放风筝． 测量数据 抽象模型 某数学兴趣小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为米．    问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12米，且长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 ⋯ 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【答案】（1）风筝离地面的垂直高度为米；（2）他应该再放出8米线 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，运用勾股定理得出米，再把数值代入，即可作答． （2）先整理得出（米），再把数值代入，求出（米），故（米），即可作答． 【详解】解：（1）由题意得：，米，米，米， 在中，由勾股定理得：， （米）， （米）， 答：风筝离地面的垂直高度为米； （2）如图，当风筝沿方向再上升12米时， （米）， 在中， ， （米）， （米）， 答：他应该再放出8米线． 18．（本题8分）甲同学用如图①方法作出点，在中，，，，且点，，在同一数轴上，． (1)甲同学所做的点表示的数是_______； (2)仿照甲同学的做法，请你在如图②所示的数轴上作出表示的点． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理、用数轴上的点表示无理数． (1)根据勾股定理可得，可知，所以点表示的数是； (2)构造，使，，，根据勾股定理可得，所以点表示的数是． 【详解】（1）解：在中，，，， ， ， 点表示的数是， 故答案为：； （2）解：如下图所示，在中，，，， ， ， 点表示的数是． 19．（本题10分）我们知道，数轴上的点和实数是一一对应的，借助勾股定理可以在数轴上画出无理数、 对应的点．如图 爱动脑筋的小明发现，借助方格纸也可以画出很多长度是无理数的线段，请在下面的方格纸中画出长度为 的线段和长度为 的线段，已知每个小正方形的边长都是1，要求点A，B，C，D都是正方形的格点． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理和网格问题，熟练掌握勾股定理，并结合网格的特点解答是解本题的关键． 根据勾股定理结合网格特点画图即可． 【详解】如图所示（位置不唯一）． ，． 20．（本题10分）在中，． (1)已知，，求b的值． (2)已知，，求a的值． 【答案】(1) (2)11 【分析】本题考查勾股定理，熟知勾股定理是解答的关键． （1）根据求解即可； （2）根据求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴由得， ∴． 21．（本题12分）（1）如图1是著名的赵爽弦图，用四个全等的直角三角形拼成如图的大正方形和小正方形．已知较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，利用面积法等可以推导出勾股定理，请写出推理过程． （2）如图2，在一条公路的一侧有一村庄C，公路边有两个停靠站A，B，在公路边再建一个停靠站D，使村庄C到停靠站D的距离最短．经测量，． ①求停靠站A与D之间的距离； ②经测量发现停靠站B到村庄C和停靠站A的距离相等，求停靠站B到村庄C的距离． 【答案】（1）见解析；（2）①，② 【分析】本题是四边形综合题，考查勾股定理的证明与应用，理解题意和题目中体现的方法是解题的关键． （1）依据图1中的正方形的面积可以用两种方式表示出来，即可验证勾股定理； （2）①由勾股定理直接求出；②设，根据勾股定理列出方程，求解即可． 【详解】解：（1）由图1可得，大正方形的边长为c，小正方形的边长为， 大正方形的面积为，也是4个直角三角形的面积+小正方形的面积，即大正方形的面积，其中小正方形的面积为， 大正方形的面积， ∴， 化简可得，； （2）①当时，A到停靠站D的距离最短， 在中，， ∴， 答：停靠站A与D之间的距离为； ②设， ∵， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 即， 答：停靠站B到村庄C的距离为． 22．（本题12分）如图，在中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． (1)求的长． (2)当点在边上运动，为等腰三角形时，求的值． (3)当点在的垂直平分线上时，求的长． (4)当点（与顶点，，重合除外）在的角平分线上时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)2或 【分析】（1）利用勾股定理求解； （2）表示出，，然后根据题意得到，列方程求解即可； （3）由垂直平分线的性质得到，然后利用勾股定理求解即可； （4）分2种情况讨论，分别根据勾股定理和等面积法列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵，点E的运动速度为每秒， ∴点E到达点A的时间为（秒） ∴当点在边上运动时，， ∴ ∵ ∴当为等腰三角形时， ∴ ∴； （3）解：如图，当点在的垂直平分线上时， ∴ ∵，， ∴，即 ∴ ∴点E运动的路程为 ∴； （4）解：如图，当点E在的平分线上时，过点E作于点F， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； 如图，当点E在的平分线上时，过点E作于点H，过点E作于点G， ∴ ∵， ∴，是等腰直角三角形， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 综上所述，当点（与顶点，，重合除外）在的角平分线上时，直接写出的值为2或． 23．（本题14分）某班“数学社团”在学习“勾股定理”章节的内容后，自主探索如下问题．如图，在中，，，，点D是边上的一个动点，连接．若是等腰三角形，求线段的长． (1)小美利用刚学过的勾股定理，用方程很容易做出了解答，请你帮小美写出解答过程； (2)小聪在学习了一次函数这一章节的内容后，他尝试利用函数的方法探究并解决该问题，下面是他的探究过程，请你补充完整： ①首先根据点D在边上的不同位置，画出相应图形，测量出线段、的长度，得出下面的表格： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 6 6.1 6.3 6.7 7.2 7.8 a 9.2 10 表格中a的值为______（用最简二次根式表示）； ②然后将的长作为自变量x（），的长作为x的函数，记为y，在下面平面直角坐标系中画出了函数y关于x的图象．依据图象写出该函数的一条性质______； ③小聪分析不用测量的值，因为与满足关系式：______； (3)继续在平面直角坐标系画出小聪所需的函数图象，并结合图形直接写出：当△ABD为等腰三角形时，线段的长度的近似值（精确到0.1）． 【答案】(1)见解析 (2)①；②y随x的增大而增大；③ (3)1.8，图见解析 【分析】（1）设，则，利用勾股定理即可解答； （2）①当时，利用勾股定理求解； ②由图象可直接得到解答； ③由图形可直接得到解答； （3）在坐标系中画出，当时找到的值． 【详解】（1）解：∵是等腰三角形 ∴， 设，则， 在中，利用勾股定理，可得： 解得． ∴是等腰三角形时，的长为； （2）解：①当时，； ②由图象可得，该函数的一条性质：y随x的增大而增大； ③根据图形可得，∵D在上，， ∴； （3）解：由上可知，与的关系为：，在图中画出图像如下所示， 观察图像可知，当为等腰三角形时，线段的长度的近似值为1.8． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十八章 勾股定理及其逆定理·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．（本题4分）若直角三角形的两条直角边的长度为5、12，则斜边上的高是（    ） A． B．13 C． D． 2．（本题4分）如图，在中，，若，，则的长是(　　) A． B． C． D． 3．（本题4分）如图，用面积分别为1，4和S的三个正方形围成（），则的值为（　　） A．3 B．5 C．15 D．17 4．（本题4分）若的三个内角分别为、、，三条边分别为、、，那么，根据下面的条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 5．（本题4分）已知三角形的三边长满足，则三角形的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不能确定 6．（本题4分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点都在网格的格点上，则下列结论中不正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（本题4分）如图，有一个水池，其底面是边长为16尺的正方形，一根芦苇生长在它的正中央，高出水面部分的长为2尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的，则这根芦苇的长为（    ） A．15尺 B．16尺 C．17尺 D．18尺 8．（本题4分）如图，某海域有相距的A岛和C岛．甲船先由A岛沿北偏东方向走了到达B岛，然后再从B岛走了到达C岛，此时甲船位于B岛的（   ） A．北偏西方向上 B．北偏东方向上 C．北偏西方向 D．北偏西方向上 9．（本题4分）如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，使，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线； ②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，连接． 根据以上作图，若，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 10．（本题4分）如图，在，，点D，E分别在和上，且，，若，则的长是（   ） A． B．4 C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．（本题5分）如图，中，，的中垂线交于E，交于点D，若，，则的周长为________________； 12．（本题5分）已知直角三角形的两条边长分别是方程的两个根，则此三角形的斜边长是___________． 13．（本题5分）如图，是由6个大小完全相同的小正方形拼成的网格，A、B、C、D、E均为格点，连接，则____ 14．（本题5分）如图，等腰中，，是内一点，，，，为外一点，且，则四边形的面积为_____． 三、解答题（共9小题，共90分） 15．（本题8分）如图，在中，，，是的高，求的长及的面积． 16．（本题8分）《国务院关于印发全民健身计划（2021—2025年）的通知》文件提出，加大全民健身场地设施供给，进一步增加全民健身的热情．我市某健身广场为方便群众夜间健身活动，在广场部分位置加装照明灯，向阳兴趣小组利用课余时间测量照明灯灯板的长，因不方便直接测量，设计方案如下： 课题 测量照明灯灯板的长 方案及说明 工具 竹竿、米尺 方案及图示 相关数据及说明 竹竿长度为，灯板垂直地面于点，线段，表示同一根竹竿．第一次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，第二次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处．已知m，m 计算过程 …… 请根据上述方案中的内容，计算的长． 17．（本题8分）数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 秋高气爽，很多龙岗市民喜欢到大运公园等地方放风筝． 测量数据 抽象模型 某数学兴趣小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为米．    问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12米，且长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 ⋯ 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 18．（本题8分）甲同学用如图①方法作出点，在中，，，，且点，，在同一数轴上，． (1)甲同学所做的点表示的数是_______； (2)仿照甲同学的做法，请你在如图②所示的数轴上作出表示的点． 19．（本题10分）我们知道，数轴上的点和实数是一一对应的，借助勾股定理可以在数轴上画出无理数、 对应的点．如图 爱动脑筋的小明发现，借助方格纸也可以画出很多长度是无理数的线段，请在下面的方格纸中画出长度为 的线段和长度为 的线段，已知每个小正方形的边长都是1，要求点A，B，C，D都是正方形的格点． 20．（本题10分）在中，． (1)已知，，求b的值． (2)已知，，求a的值． 21．（本题12分）（1）如图1是著名的赵爽弦图，用四个全等的直角三角形拼成如图的大正方形和小正方形．已知较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，利用面积法等可以推导出勾股定理，请写出推理过程． （2）如图2，在一条公路的一侧有一村庄C，公路边有两个停靠站A，B，在公路边再建一个停靠站D，使村庄C到停靠站D的距离最短．经测量，． ①求停靠站A与D之间的距离； ②经测量发现停靠站B到村庄C和停靠站A的距离相等，求停靠站B到村庄C的距离． 22．（本题12分）如图，在中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． (1)求的长． (2)当点在边上运动，为等腰三角形时，求的值． (3)当点在的垂直平分线上时，求的长． (4)当点（与顶点，，重合除外）在的角平分线上时，直接写出的值． 23．（本题14分）某班“数学社团”在学习“勾股定理”章节的内容后，自主探索如下问题．如图，在中，，，，点D是边上的一个动点，连接．若是等腰三角形，求线段的长． (1)小美利用刚学过的勾股定理，用方程很容易做出了解答，请你帮小美写出解答过程； (2)小聪在学习了一次函数这一章节的内容后，他尝试利用函数的方法探究并解决该问题，下面是他的探究过程，请你补充完整： ①首先根据点D在边上的不同位置，画出相应图形，测量出线段、的长度，得出下面的表格： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 6 6.1 6.3 6.7 7.2 7.8 a 9.2 10 表格中a的值为______（用最简二次根式表示）； ②然后将的长作为自变量x（），的长作为x的函数，记为y，在下面平面直角坐标系中画出了函数y关于x的图象．依据图象写出该函数的一条性质______； ③小聪分析不用测量的值，因为与满足关系式：______； (3)继续在平面直角坐标系画出小聪所需的函数图象，并结合图形直接写出：当△ABD为等腰三角形时，线段的长度的近似值（精确到0.1）。 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十八章勾股定理及其逆定理·基础通关（参考答案） 一、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1 2 3 5 6 7 8 9 10 D 名 c A 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11.14 12.10或8 13.45°145度 14.40 三、解答题（共9小题，共90分） 15.(8分) 【详解】解：：AB=AC=10,BC=12,AD是△ABC的高， ∠ADB=90, BD-1BC=6. 2 ∴在Rt△MBD中，AD=VAB2-BD=V02-6=8 2×12x8=48.(8分) 16.(8分) 【详解】解：由题意可知∠NOB=90°， 在Rt△OAM中， AM =10m,04=6m, ∴.OM=VAM2-OA2=8m 在Rt△OBN中， .BN =10m,OB=8m, .ON=BN2 -OB2 =6m .MN=OM-ON=2m.(8分) 1/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.(8分) 【详解】解：(1)由题意得：∠ACB=90°，BC=15米，AB=17米，CD=1.5米， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2-BC2, :4C=7-15=8(米)， .AD=AC+CD=8+1.5=9.5(米)， 答：风筝离地面的垂直高度为9.5米： (2)如图，当风筝沿DA方向再上升12米时， (米)， D∴.AC=AA+AC=12+8=20 在RIAABC中，AB=AC2+BC2 AB=V202+15=25(米)， .25-17=8米)， 答：他应该再放出8米线. 18.(8分) 【详解】(1)解：在△OAB中，∠OAB=90°，OA=2,AB=3, .OB=VOA2+AB2=V22+32=V13 .OC=OB=√13 点C表示的数是厅 √13 故答案为： ；(4分) 2/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：如下图所示，在△OEF中，OE=3,EF=1,∠OEF=90°， .OF=OE2+EF2=+3=10 ∴.OD=OF=V10 “点D表示的数是而」 l F -5-4-2-012345(8分) 19(10分) 【详解】如图所示（位置不唯一）· A .(10分) D AB=√22+32=√3CD=V22+42=√20 20(10分) 【详解】(1)解：在Rt△ABC中，∠C=90°， 2+62=c2 a=5,c=7, 6=c2-d2=72-52=24 :b=24=2V6 :(5分) (2)解：，b=60,c=61, 由4+=c得2=c2-2=61-602=121=1r 得 3/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .a=11.(10分) 21(12分) 【详解】解：（1)由图1可得，大正方形的边长为c,小正方形的边长为Q- 大正方形的面积为，也是4个直角三角形的面积+小正方形的面积，即大正方形的面积 1 =4×2b+(a-b,其中小正方形的面积为a-b, 大正方形的面积=c2, 4*b+a-ai=e。 化简可得， a2+b2=c2 :(6分) (2)①当AD⊥CD时，A到停靠站D的距离最短， 在RtAACD中，AC=5k,CD=4kn, AD=AC2-CD:=3km 答：停靠站A与D之间的距离为3km;(9分) ②设AB=BC=x, 4C-5.CD-44D=3.BD=AB-AD=x-3 在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2=BD+CD2, 即=4+(x-3)2 解得x= 25 69 即8C-25km, 6 答：停靠站B到村庄C的距离为芹加，(2分 22(12分) 【详解】(1)解：，DB=90°，AB=9cm,BC=12cm, 4/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4C=4B+BC2=15(cm):(3) (2)解：：AB=9cm,点E的运动速度为每秒2cm, ·点E到达点A的时间为9÷2=4.5（秒） ∴.当点E在边AB上运动时，BE=2t,CD=t ∴，BD=BC-DC=12-t :DB=90° .当△BDE为等腰三角形时，BE=BD ∴.2t=12-t ∴.t=4;(6分) (3)解：如图，当点D在AC的垂直平分线上时，AD=CD=1 B D .BD=BC-DC=12-t DB=90°，AB=9cm, AB+BD=AD2,即9+(12-= 225 .t= 24 点E运动的路程为21=2×25225 2412 ∴.CE=BA+AC 25-15+925-2头， 124:(9分) (4)解：如图，当点E在∠ACB的平分线上时，过点E作EF⊥AC于点F, B .DB=90° 5/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.EF=BE=2I ∴.AE=AB-BE=9-2t EC=EC ,Rt△BEC≌Rt△FEC HL ∴.FC=BC=12cm .'AF=AC-FC=15-12=3cm .AE2=AF2+EF2 (9-21=32+22 ∴.t=2； 如图，当点E在∠ABC的平分线上时，过点E作EH⊥AB于点H,过点E作EG⊥BC于点G, E BE=∠CBE=ABc=45 :EH⊥AB,EG⊥BC ∴.△BHE,△BGE是等腰直角三角形， BE=BE :△BHE≌aBGE(AAS ∴.BH=HE=BG=EG=2t :S号BsC-方4BE+8cG5 ÷*9x12=×9B+5X12HE 2 :9 .BH=HE=36 6/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AHl AB-BH =27 , ·AE=VAH+HB=4 54 综上所述，当点E(与顶点A'B'C重合除外)在△ABC的角平分线上时，直接写出，的值为2或7， (12分) 23(14分) 【详解】(1)解：△ABD是等腰三角形 .AD =BD 设CD=x,则AD=BD=8-x, 在RIADC中，利用勾股定理，可得： 62+x2=(8-x)2 解得*子 ·△ABD是等腰三角形时，CD的长为4；(4分) (2)解：①当CD=6时，AD=VAC2+CD2=6N2 ②由图象可得，该函数的一条性质：y随x的增大而增大： ③根据图形可得，：D在BC上，CB=8, .CD+BD=8;(10分) (3)解：由上可知，CD与BD的关系为： y=-x+8 ,在图中画出图像如下所示， 7/8 6学科网 单元速记·巧练 wWw⊙O掌科网0.M吐好课 www.zxxk.com 知识归纳梳理上测试瑰固提升 9 87 6 5 4 3 2 1 23456789x 观察图像可知，当△ABD为等腰三角形时，线段CD的长度的近似值为1.8.(14分) 6 8/8