专题02 因式分解的应用5种常见特殊方法（高效培优专项训练）数学新教材沪科版七年级下册

专题02 因式分解的应用5种常见特殊方法 题型一：换元法 题型二：试根法 题型三：配方法 题型四：拆项添项法 题型五：十字相乘法 题型一：换元法 1．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则 原式．再将“A”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：______； (2)若，求的值； (3)求证，若为正整数，则式子的值一定是某一个整数的平方． 2．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式： 解：原式 ②，利用配方法求的最小值． 解：当时，有最小值． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)已知：，求的最小值； (3)已知：，求的平方根． 3．先阅读材料，再回答问题． 将多项式分解因式． 解：因为，将看成整体，令，则原式，将还原，则原式．上述解题过程用到的是“整体思想”． 请用“整体思想”解决以下问题． (1)因式分解：_______． (2)因式分解：． (3)请说明为什么无论取何值，的值一定是非负数． 4．阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的：______； A．提取公因式法    B．平方差公式法    C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 5．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小胡同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式    （第一步）     （第二步）     （第三步）     （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小胡同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的______； A．提取公因式法    B．平方差公式法    C．完全平方公式法 (2)老师说，小胡同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果 ； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 6．阅读理解 阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，这种解题思想叫做“整体思想”． 下面是小亮同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设，则原式（第一步） ＝      （第二步） ＝            （第三步） 故原式     （第四步）． ；        （第五步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)初步理解： 小亮同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的　　　； A．提取公因式法  B．平方差公式法  C．完全平方公式法 (2)尝试应用： 请你用换元法对多项式进行因式分解； (3)灵活运用： 请你将多项式进行因式分解 7．阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法” 下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程 解：设①，将①带入原式后， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的______方法； (2)老师说，小涵因式分解的结果不彻底，请你通过计算得出该因式分解的最后结果； (3)请你用“换元法”对多项式进行因式分解 8．先阅读下列材料，再解答下列问题： 因式分解：． 解：将“”看成整体，设，则原式． 再将代入，得原式． 归纳总结：把多项式中的某些部分看作是一个整体，用一个新的字母代替（即“换元”），这样不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． (1)下面是小明同学用“换元法”对多项式进行因式分解的过程，请将分解过程补充完整． 解：设． 原式=（_______）（_______） 将代入，得原式_____． (2)请你用“换元法”对多项式进行因式分解． 9.阅读材料，完成以下任务． 【主题】换元法在因式分解中的应用探究． 【知识链接】在因式分解中，把多项式中的某些部分看作是一个整体，用一个新的字母代替（即“换元”），这样不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 【分析探究】下面是小华同学用“换元法”对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式． 【推广延伸】请你用“换元法”对多项式进行因式分解． 【拓展迁移】由平方的非负性可知有最小值，请求出最小值． 任务： (1)小林认为小华因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______． (2)请你解答推广延伸的问题． (3)请你解答拓展迁移的问题． 10．阅读以下材料，并按要求完成相应任务： 在因式分解中、多项式中某一部分重复出现时，把这些重复的部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种解题方法称为“换元法”． 下面是小明同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设，则 原式  （第一步）   （第二步）   （第三步）   （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小明同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的（    ） A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 (2)老师说，小明同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果________； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 11．阅读以下材料，并按要求完成相应任务： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设，则 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 　 　 A．提取公因式法        B．平方差公式法        C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：　 　；请你用换元法对多项式进行因式分解． 题型二：试根法 12．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）对于多项式，我们把代入此多项式，发现能使多项式的值为，由此可以断定多项式中有因式，于是我们可以把多项式写成：，分别求出后再代入，就可以开始把多项式进行因式分解． (1)求式子中m、n的值： (2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式． 13．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）对于多项式，我们把代入此多项式，发现能使多项式的值为0，由此可以断定多项式中有因式，于是我们可以把多项式写成：，再结合课堂所学就可以对多项式彻底因式分解．以上这种因式分解的方法叫“试根法”． (1)求式子中m、n的值； (2)用“试根法”分解多项式． 14．对于多项式，我们把代入此多项式，发现能使该多项式的值为0，由此可以断定多项式中有因式，于是我们可以得到，分别求出m，n后再代入，就可以把多项式因式分解．以上这种因式分解的方法叫“试根法”． (1)求式子中m，n的值； (2)用“试根法”分解多项式． 15．阅读材料，回答问题． 对于多项式，如果我们把代入此多项式，发现多项式，这时可以断定多项式中有因式（注：把代入多项式能使多项式的值为，则多项式含有因式，于是我们可以把多项式写成：这种因式分解的方法叫试根法．） (1)式子中 ； ； (2)请你用“试根法”因式分解．（写过程） 16．【阅读理解】对于二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式[注：把代入多项式，若能使多项式的值为0，则多项式中有因式．设另一个因式为，则有，所以，解得，因此多项式因式分解得．我们把以上因式分解的方法叫作“试根法”． 【解决问题】 (1)当______时，多项式，所以可以因式分解为______； (2)对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，则有，求的值； (3)对于三次多项式，用“试根法”因式分解． 17．【阅读理解】对于二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式[注：把代入多项式，若能使多项式的值为0，则多项式中有因式．设另一个因式为，则有，所以，解得，因此多项式因式分解得．我们把以上因式分解的方法叫做“试根法”． 【解决问题】 (1)当______时，多项式，所以可以因式分解为______； (2)对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，则有，求的值； (3)对于三次多项式，用“试根法”因式分解． 题型三：配方法 18．（23-24七年级下·安徽安庆·月考）利用完全平方公式可将二次三项式进行配方，再根据平方差公式因式分解，例如： ．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (1)根据完全平方公式，将下列式子配方成的形式： ①_________，②_________； (2)利用“配方法”因式分解： ①；②． 19．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做配方法，运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例如：． 即：． 根据以上材料，解答下列问题： (1)因式分解：； (2)已知是三角形的三边长，且满足，求三角形的周长． 20．（23-24七年级下·安徽合肥·月考）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式： 解：原式 ②，利用配方法求M的最小值． 解： ∵： ∴：当时，M有最小值 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)，求M的最大值； (3)已知，求的值． 21．对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有： x2+2ax﹣3a2＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2 ＝（x+a）2﹣（2a）2 ＝（x+3a）（x﹣a） 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (1)利用“配方法”分解因式： ①a2﹣6a﹣7                      ②a4+a2b2+b4 (2)若a+b＝4，ab＝2，求： ①a2+b2的值； ②a4+b4的值． 22.配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 比如，因为，所以当时，的值最小，最小值是0．所以． 所以当时，即时，的值最小，最小值是1．即的最小值是1． (1)求的最小值． (2)已知，则___________； (3)已知有理数x、y满足，求的最小值． 23.把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用． 例1．因式分解：． 解：原式． 例2．若，利用配方法求M的最小值． 解：． ∵，， ∴当时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)是一个完全平方式，求 ； (2)分解因式：； (3)若，求y的最大值； (4)当m，n为何值时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 24.把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式：， 解：原式 ②，利用配方法求的最小值： 解： 因为，所以．当时，有最小值5 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：_____ (2)用配方法因式分解： (3)若，求的最大值 25．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）阅读以下文字并解决问题： 形如这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法分解了，此时，我们可以在中间先加上一项9，使它与的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变．即：，像这样，把一个二次三项式“”变成含有完全平方式的形式“”的方法，叫做配方法． (1)利用“配方法”因式分解：； (2)若，求a，b的值； (3)求代数式的最小值，并写出相应的x的值． 26.问题1：同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式乘法及多项式的因式分解带来的方便，快捷．相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦． 例：用简便方法计算． 解：     ①     ② (1)例题求解过程中，第②步变形是利用_________（填乘法公式的名称）． 问题2：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (2)利用“配方法”分解因式：． (3)若，，求： ①； ②的值． 27.数学教科书中这样写道： “我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，经常用来解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：； 例如求代数式的最小值； ． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：________； (2)当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值； (3)已知，，求的值． 28.【阅读理解】 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： ． 像这样，先添一个适当的项，使式子出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． 【解决问题】 (1)利用“配方法”分解因式：． (2)已知，，求的值． (3)已知是实数，试比较与的大小，请说明理由． 29.把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例如：①用配方法分解因式： 原式 ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：________________； (2)将变形为的形式，并求出的最小值； (3)若，，其中为任意实数，试比较与的大小，并说明理由． 题型四：拆项添项法 30．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）对于二次三项式不能直接用公式分解，但可用以下方式分解因式：，像这样分解因式的方法叫做添（拆）项法．请用以上方法分解因式： (1)； (2)． 31．（22-23七年级下·安徽池州·期中）【阅读理解】 对于二次三项式，能直接用公式法进行因式分解，得到，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了． 我们可以采用这样的方法：在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是： 像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． (1)【问题解决】请用上述方法将二次三项式分解因式． (2)运用材料中的添（拆）项法分解因式：． 32.对于二次三项式不能直接用公式分解，但可用以下方式分解因式： 像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．请用以上方法分解因式： (1) (2) (3)能否根据以上方法确定式子有最小（或最大）值，若能，请求出这个值. 33．类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法． 观察下列计算过程： 这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计算． 阅读下面一道例题的解答过程： 因式分解： 解：我们可以将拆成和即原式 在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式分解，像这样的方法称为拆项法． 请用类比的方法，解决以下问题： (1)①已知，则依据此规律________； ②请你利用拆项法进行因式分解： _______； (2)若a，b满足，求的值； (3)受此启发，解方程． 34．【学习材料】拆项法 在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，再分组进行因式分解． 例1因式分解： 解：原式 例2因式分解： 解：原式 【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)因式分解： ； (2)运用拆项法因式分解：； (3)化简，并求该式的最小值． 35．【学习材料】拆项添项法 在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法．如： 例1分解因式：． 解：原式 例2分解因式：． 解：原式． 我们还可以通过拆项对多项式进行变形，如 例3把多项式写成的形式． 解：原式 【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)分解因式：______； (2)运用拆项添项法分解因式：______； (3)判断关于x的二次三项式在______时有最小值； (4)已知（均为整数，m是常数），若M恰能表示成的形式，求m的值． 题型五：十字相乘法 36．（22-23七年级下·安徽阜阳·月考）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式；． 第一步：二次项系数2可以写成，常数项可以写成或； 第二步：如下图，画“×”号，将1、2写在“×”号左边，将、3或1、写在“×”号的右边，共有如下图的四种情形：    第三步：验算“交叉相乘两个积的和”是否等于一次项的系数： ①的系数为；②的系数为； ③的系数为；④的系数为． 显然，第②个“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数，因此有：．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 问题： (1)分解因式：； ①完善下图中“×”号右边的数使得；“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数；    ②分解因式：_______； (2)分解因式：． ①完善横线上的数字；    ②分解因式：________． 37．（22-23七年级下·安徽安庆·期末）阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形． 得． 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法”． 例如：将式子分解因式． 解：. 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)分解因式：． (3)若可分解为两个一次因式的积，求整数p所有可能的值． 38．（24-25七年级下·安徽六安·期末）阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形． ，得． 利用这个式子可以将某些二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法” 例如：将式子分解因式． 解：． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)分解因式： (3)若可进行因式分解，求整数所有可能的值． 39．（23-24七年级下·安徽六安·月考）【材料阅读】利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解因式的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： 【应用新知】 （1）用十字相乘法分解因式：； （2）用十字相乘法分解因式：； 【拓展提升】 （3）结合本题知识，分解因式：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 因式分解的应用5种常见特殊方法 题型一：换元法 题型二：试根法 题型三：配方法 题型四：拆项添项法 题型五：十字相乘法 题型一：换元法 1．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则 原式．再将“A”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：______； (2)若，求的值； (3)求证，若为正整数，则式子的值一定是某一个整数的平方． 【详解】（1）解：令， ∴原式， ∴原式； 故答案为：； （2）解：令，， ∴，， ∴； ∴； （3）证明： ； 令， 则原式， ∴原式， ∵n为正整数， ∴式子的值一定是某一个整数的平方． 2．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式： 解：原式 ②，利用配方法求的最小值． 解：当时，有最小值． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)已知：，求的最小值； (3)已知：，求的平方根． 【详解】（1）解;原式; （2）解： 当时，取得最小值． （3）解： 即 又 ， 的平方根为． 3．先阅读材料，再回答问题． 将多项式分解因式． 解：因为，将看成整体，令，则原式，将还原，则原式．上述解题过程用到的是“整体思想”． 请用“整体思想”解决以下问题． (1)因式分解：_______． (2)因式分解：． (3)请说明为什么无论取何值，的值一定是非负数． 【详解】（1）解：设， 则 ， 将M还原，则原式； （2）解： ． 令，则原式， 将还原，则原式； （3）解：令， 则原式 ， 将还原，则原式， 所以无论取何值，的值一定是非负数． 4．阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的：______； A．提取公因式法    B．平方差公式法    C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 【详解】（1）解：由可知，小涵运用了完全平方公式法进行因式分解， 故选：C； （2）解：由得该因式分解的最后结果为， 故答案为：； （3）解：依题意，设， ． 5．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小胡同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式    （第一步）     （第二步）     （第三步）     （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小胡同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的______； A．提取公因式法    B．平方差公式法    C．完全平方公式法 (2)老师说，小胡同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果 ； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 【详解】（1）解：， 则第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式法， 故选：C． （2）解：原式 ， 故答案为：； （3）解：设， 则原式 ． 6．阅读理解 阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，这种解题思想叫做“整体思想”． 下面是小亮同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设，则原式（第一步） ＝      （第二步） ＝            （第三步） 故原式     （第四步）． ；        （第五步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)初步理解： 小亮同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的　　　； A．提取公因式法  B．平方差公式法  C．完全平方公式法 (2)尝试应用： 请你用换元法对多项式进行因式分解； (3)灵活运用： 请你将多项式进行因式分解 【详解】（1）解：运用了完全平方公式法， 故选：C； （2）解：设， 原式 ； （3）解：原式 ， 设 原式   ． 7．阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法” 下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程 解：设①，将①带入原式后， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的______方法； (2)老师说，小涵因式分解的结果不彻底，请你通过计算得出该因式分解的最后结果； (3)请你用“换元法”对多项式进行因式分解 【详解】（1）解：由题意得：从到运用了因式分解中的提取公因式法 故答案为：提取公因式 （2）解：由题意得： （3）解：设，将代入中得： 原式 8．先阅读下列材料，再解答下列问题： 因式分解：． 解：将“”看成整体，设，则原式． 再将代入，得原式． 归纳总结：把多项式中的某些部分看作是一个整体，用一个新的字母代替（即“换元”），这样不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． (1)下面是小明同学用“换元法”对多项式进行因式分解的过程，请将分解过程补充完整． 解：设． 原式=（_______）（_______） 将代入，得原式_____． (2)请你用“换元法”对多项式进行因式分解． 【详解】（1）解：设， 原式 将代入， 得原式， 故答案为：，；；； （2）解：设， 原式 ， 将代入， 得原式 ． 9.阅读材料，完成以下任务． 【主题】换元法在因式分解中的应用探究． 【知识链接】在因式分解中，把多项式中的某些部分看作是一个整体，用一个新的字母代替（即“换元”），这样不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 【分析探究】下面是小华同学用“换元法”对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式． 【推广延伸】请你用“换元法”对多项式进行因式分解． 【拓展迁移】由平方的非负性可知有最小值，请求出最小值． 任务： (1)小林认为小华因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______． (2)请你解答推广延伸的问题． (3)请你解答拓展迁移的问题． 【详解】（1）解：不彻底， 设． 原式 ； 故答案为：； （2）解：设， 原式 ； （3）解：设， 原式 ， 最小值为． 10．阅读以下材料，并按要求完成相应任务： 在因式分解中、多项式中某一部分重复出现时，把这些重复的部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种解题方法称为“换元法”． 下面是小明同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设，则 原式  （第一步）   （第二步）   （第三步）   （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小明同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的（    ） A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 (2)老师说，小明同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果________； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 【详解】（1）解：，利用了完全平方公式法因式分解； 故选C； （2） （3）设，则： 原式 ． 11．阅读以下材料，并按要求完成相应任务： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设，则 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 　 　 A．提取公因式法        B．平方差公式法        C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：　 　；请你用换元法对多项式进行因式分解． 【详解】（1）解：， 则第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式法， 故选：C． （2）解：设， 则原式 ， 故答案为：． 对多项式， 设， 则原式 ． 题型二：试根法 12．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）对于多项式，我们把代入此多项式，发现能使多项式的值为，由此可以断定多项式中有因式，于是我们可以把多项式写成：，分别求出后再代入，就可以开始把多项式进行因式分解． (1)求式子中m、n的值： (2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式． 【详解】（1）解： ， ， 解得； （2）解：当时，， 是根， ． 13．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）对于多项式，我们把代入此多项式，发现能使多项式的值为0，由此可以断定多项式中有因式，于是我们可以把多项式写成：，再结合课堂所学就可以对多项式彻底因式分解．以上这种因式分解的方法叫“试根法”． (1)求式子中m、n的值； (2)用“试根法”分解多项式． 【详解】（1）解：在等式中， 分别令，，得 ， 解得； （2）解：把代入，得其值为0， 则多项式可分解为的形式， 分别令，，得 ， 解得， 所以． 14．对于多项式，我们把代入此多项式，发现能使该多项式的值为0，由此可以断定多项式中有因式，于是我们可以得到，分别求出m，n后再代入，就可以把多项式因式分解．以上这种因式分解的方法叫“试根法”． (1)求式子中m，n的值； (2)用“试根法”分解多项式． 【详解】（1）解：在等式中， 分别令可得：， 解得：． （2）解：把代入得其值为0， 则有， 分别令可得：， 解得： 所以， ， ． 15．阅读材料，回答问题． 对于多项式，如果我们把代入此多项式，发现多项式，这时可以断定多项式中有因式（注：把代入多项式能使多项式的值为，则多项式含有因式，于是我们可以把多项式写成：这种因式分解的方法叫试根法．） (1)式子中 ； ； (2)请你用“试根法”因式分解．（写过程） 【详解】（1）由， 得， ∴， 解得：， 故答案为：，； （2）把代入得其值为，则多项式含有因式， ∴多项式可分解为的形式， ∴用上述方法可求得：，， ∴． 16．【阅读理解】对于二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式[注：把代入多项式，若能使多项式的值为0，则多项式中有因式．设另一个因式为，则有，所以，解得，因此多项式因式分解得．我们把以上因式分解的方法叫作“试根法”． 【解决问题】 (1)当______时，多项式，所以可以因式分解为______； (2)对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，则有，求的值； (3)对于三次多项式，用“试根法”因式分解． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 故答案为：，； （2）解：由题意可知， ∴， ∴，， ∴，； （3）解：当时，， ∴多项式有因式， 设另一个因式为， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 17．【阅读理解】对于二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式[注：把代入多项式，若能使多项式的值为0，则多项式中有因式．设另一个因式为，则有，所以，解得，因此多项式因式分解得．我们把以上因式分解的方法叫做“试根法”． 【解决问题】 (1)当______时，多项式，所以可以因式分解为______； (2)对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，则有，求的值； (3)对于三次多项式，用“试根法”因式分解． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 故答案为：1，； （2）解：由题意可知， ∴， ∴，， ∴，； （3）解：当时，， ∴多项式有因式， 设另一个因式为， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 题型三：配方法 18．（23-24七年级下·安徽安庆·月考）利用完全平方公式可将二次三项式进行配方，再根据平方差公式因式分解，例如： ．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (1)根据完全平方公式，将下列式子配方成的形式： ①_________，②_________； (2)利用“配方法”因式分解： ①；②． 【详解】（1）解：①； ②； 故答案为：①；②； （2）解：① ； ② ． 19．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做配方法，运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例如：． 即：． 根据以上材料，解答下列问题： (1)因式分解：； (2)已知是三角形的三边长，且满足，求三角形的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】完全平方公式分解因式、因式分解的应用、平方差公式分解因式 【分析】本题考查因式分解，完全平方公式和平方差公式，非负数的性质．读懂材料，理解配方法是解题关键． （1）根据材料利用配方法结合完全平方公式和平方差公式因式分解即可； （2）原等式可变形为，结合非负数的性质可求出，再求出三角形的周长即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ∴， ∴， ∴三角形的周长为． 20．（23-24七年级下·安徽合肥·月考）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式： 解：原式 ②，利用配方法求M的最小值． 解： ∵： ∴：当时，M有最小值 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)，求M的最大值； (3)已知，求的值． 【详解】（1）解：原式． （2） ∵ ∴当时，M取得的最大值8． （3）∵ ∴ 即． 又∵，， ∴，， ∴：，， ∴． 21．对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有： x2+2ax﹣3a2＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2 ＝（x+a）2﹣（2a）2 ＝（x+3a）（x﹣a） 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (1)利用“配方法”分解因式： ①a2﹣6a﹣7                      ②a4+a2b2+b4 (2)若a+b＝4，ab＝2，求： ①a2+b2的值； ②a4+b4的值． 【详解】（1）①a2﹣6a﹣7 ＝（a2﹣6a+9）﹣9﹣7 ＝（a﹣3）2﹣16 ＝（a﹣3+4）（a﹣3﹣4） ＝（a+1）（a﹣7）； ②a4+a2b2+b4 ＝（a4+2a2b2+b4）﹣a2b2 ＝（a2+b2）2﹣a2b2 ＝（a2+b2+ab）（a2+b2﹣ab）； （2）①∵a+b＝4，ab＝2， ∴（a+b）2＝16， ∴a2+2ab+b2＝16， ∴a2+b2＝16﹣2ab＝16﹣2×2＝16﹣4＝12； ②由①知a2+b2＝12， ∴（a2+b2）2＝144， ∴a4+2a2b2+b4＝144， ∴a4+b4＝144﹣2a2b2＝144﹣2×22＝144﹣8＝136． 22.配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 比如，因为，所以当时，的值最小，最小值是0．所以． 所以当时，即时，的值最小，最小值是1．即的最小值是1． (1)求的最小值． (2)已知，则___________； (3)已知有理数x、y满足，求的最小值． 【详解】（1）解：， 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以， 即的最小值为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0． 所以， 即的最小值为1． 23.把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用． 例1．因式分解：． 解：原式． 例2．若，利用配方法求M的最小值． 解：． ∵，， ∴当时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)是一个完全平方式，求 ； (2)分解因式：； (3)若，求y的最大值； (4)当m，n为何值时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 【详解】（1）解：∵是一个完全平方式， ∴． 故答案为：； （2）解： ； （3）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴． ∴当时，y有最大值，最大值为132； （4）解： ， 当，时代数式有最小值， 解得，，最小值为2016． 24.把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式：， 解：原式 ②，利用配方法求的最小值： 解： 因为，所以．当时，有最小值5 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：_____ (2)用配方法因式分解： (3)若，求的最大值 【详解】（1）解：根据完全平方公式，需要添加的常数项为一次项系数一半的平方，即， 即， 故添加一个常数为； （2）解： ； （3）解： ， ， ，， 即当时，取得最大值． 25．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）阅读以下文字并解决问题： 形如这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法分解了，此时，我们可以在中间先加上一项9，使它与的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变．即：，像这样，把一个二次三项式“”变成含有完全平方式的形式“”的方法，叫做配方法． (1)利用“配方法”因式分解：； (2)若，求a，b的值； (3)求代数式的最小值，并写出相应的x的值． 【详解】（1）解： （2）解：∵ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴； （3）解： ∵， ∴， ∴当时，的最小值为． 26.问题1：同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式乘法及多项式的因式分解带来的方便，快捷．相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦． 例：用简便方法计算． 解：     ①     ② (1)例题求解过程中，第②步变形是利用_________（填乘法公式的名称）． 问题2：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (2)利用“配方法”分解因式：． (3)若，，求： ①； ②的值． 【详解】（1）解：例题求解过程中，第②步变形是利用平方差公式； （2）解： ； （3）解：①      ； ②      ． 27.数学教科书中这样写道： “我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，经常用来解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：； 例如求代数式的最小值； ． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：________； (2)当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值； (3)已知，，求的值． 【详解】（1）解：原式＝m2﹣6m+5 ＝m2﹣6m+9﹣9+5 ＝（m﹣3）2﹣4 ＝（m﹣3+2）（m﹣3﹣2） ＝（m-1）（m﹣5）， 故答案为：（m-1）（m﹣5）； （2）解： ∵（a﹣2）2≥0，（b+5）2≥0， ∴， ∴当a＝2，b＝﹣5时，多项式a2+b2﹣4a+10b+33有最小值为4． （3）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴b=-4，c=2， ∴a=4， ∴a+b+c=2． 28.【阅读理解】 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： ． 像这样，先添一个适当的项，使式子出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． 【解决问题】 (1)利用“配方法”分解因式：． (2)已知，，求的值． (3)已知是实数，试比较与的大小，请说明理由． 【详解】（1）解：原式 （2）∵a b 5 ，ab 6， ， （3） ∵ ∴ ∴ 29.把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例如：①用配方法分解因式： 原式 ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：________________； (2)将变形为的形式，并求出的最小值； (3)若，，其中为任意实数，试比较与的大小，并说明理由． 【详解】（1）解：∵ 故答案为：，． （2）解： ∵， ∴当时，原式有最小值． （3）∵，， ． ∵， ∴． ∴． 题型四：拆项添项法 30．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）对于二次三项式不能直接用公式分解，但可用以下方式分解因式：，像这样分解因式的方法叫做添（拆）项法．请用以上方法分解因式： (1)； (2)． 【详解】（1）解： （2）解：． 31．（22-23七年级下·安徽池州·期中）【阅读理解】 对于二次三项式，能直接用公式法进行因式分解，得到，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了． 我们可以采用这样的方法：在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是： 像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． (1)【问题解决】请用上述方法将二次三项式分解因式． (2)运用材料中的添（拆）项法分解因式：． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 32.对于二次三项式不能直接用公式分解，但可用以下方式分解因式： 像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．请用以上方法分解因式： (1) (2) (3)能否根据以上方法确定式子有最小（或最大）值，若能，请求出这个值. 【详解】（1）解：由题意得： （2）解：； （3）解：， ∴二次函数有最小值2； 33．类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法． 观察下列计算过程： 这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计算． 阅读下面一道例题的解答过程： 因式分解： 解：我们可以将拆成和即原式 在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式分解，像这样的方法称为拆项法． 请用类比的方法，解决以下问题： (1)①已知，则依据此规律________； ②请你利用拆项法进行因式分解： _______； (2)若a，b满足，求的值； (3)受此启发，解方程． 【详解】（1）解：①∵ ∴类比得． ②． 故答案为：①；②； （2）解：∵，满足，即 ∴，， 解得：，． ； 故答案为：． （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 34．【学习材料】拆项法 在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，再分组进行因式分解． 例1因式分解： 解：原式 例2因式分解： 解：原式 【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)因式分解： ； (2)运用拆项法因式分解：； (3)化简，并求该式的最小值． 【详解】（1）解： （2） （3） 当时，最小值为． 35．【学习材料】拆项添项法 在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法．如： 例1分解因式：． 解：原式 例2分解因式：． 解：原式． 我们还可以通过拆项对多项式进行变形，如 例3把多项式写成的形式． 解：原式 【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)分解因式：______； (2)运用拆项添项法分解因式：______； (3)判断关于x的二次三项式在______时有最小值； (4)已知（均为整数，m是常数），若M恰能表示成的形式，求m的值． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解： 故答案为：． （3）解：∵ ∴当时，有最小值． 故答案为：10． （4）解： ∵若M恰能表示成的形式， ∴， ∴， 答：m的值为18． 题型五：十字相乘法 36．（22-23七年级下·安徽阜阳·月考）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式；． 第一步：二次项系数2可以写成，常数项可以写成或； 第二步：如下图，画“×”号，将1、2写在“×”号左边，将、3或1、写在“×”号的右边，共有如下图的四种情形：    第三步：验算“交叉相乘两个积的和”是否等于一次项的系数： ①的系数为；②的系数为； ③的系数为；④的系数为． 显然，第②个“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数，因此有：．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 问题： (1)分解因式：； ①完善下图中“×”号右边的数使得；“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数；    ②分解因式：_______； (2)分解因式：． ①完善横线上的数字；    ②分解因式：________． 【详解】（1）解：①  ； ②； （2）①  ； ②． 37．（22-23七年级下·安徽安庆·期末）阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形． 得． 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法”． 例如：将式子分解因式． 解：. 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)分解因式：． (3)若可分解为两个一次因式的积，求整数p所有可能的值． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 （3）解：∵， ∴或或或 因此整数p的值可能为5或或1或． 38．（24-25七年级下·安徽六安·期末）阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形． ，得． 利用这个式子可以将某些二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法” 例如：将式子分解因式． 解：． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)分解因式： (3)若可进行因式分解，求整数所有可能的值． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解：依题意，， ∴， ∴或 ∴或， 因此整数p的值可能为8或． 39．（23-24七年级下·安徽六安·月考）【材料阅读】利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解因式的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： 【应用新知】 （1）用十字相乘法分解因式：； （2）用十字相乘法分解因式：； 【拓展提升】 （3）结合本题知识，分解因式：． 【详解】解：（1）； （2）； （3） 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $