专题05乘法公式与因式分解易错必刷题型专项训练(22大题型共计68道题)2025-2026学年沪科版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦乘法公式与因式分解高频易错点，通过22类典型题型系统梳理解题方法，强化运算能力与推理意识，构建知识应用逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |乘法公式应用|7题型|公式直接应用、变形技巧、几何验证|从公式直接运算到变形求值，结合图形面积深化理解，形成“代数-几何”双向认知| |因式分解基础|4题型|定义辨析、参数反求、公因式确定|从概念判断到方法应用，建立“定义-方法-参数”逻辑链，强化推理意识| |公式法与综合分解|4题型|公式选择、分步分解、符号处理|先提公因式再用公式，遵循“基础方法-综合应用”递进，提升分解彻底性| |进阶方法与应用|7题型|特殊分解法、实际应用、新定义迁移|拓展至实数范围及新题型，培养模型观念与创新意识，衔接中考命题趋势|

专题05乘法公式与因式分解易错必刷题型专项训练 本专题汇总乘法公式与因式分解章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.运用完全平方公式进行运算 题型02.完全平方公式变形求值 题型03.完全平方公式与几何图形 题型04.运用平方差公式进行运算 题型05.平方差公式与几何图形 题型06.求完全平方式中的字母系数 题型07.整式的混合运算 题型08.判断是否是因式分解 题型09.已知因式分解的结果求参数 题型10.公因式 题型11.提公因式法分解因式 题型12.判断能否用公式法分解因式 题型13.平方差公式分解因式 题型14.完全平方公式分解因式 题型15.综合运用公式法分解因式 题型16.综合提公因式和公式法分解因式 题型17.因式分解巧解有理数简算 题型18.实数范围内分解因式 题型19.十字相乘法 题型20.分组分解法 题型21.因式分解的应用 题型22.因式分解中新定义题型 易错必刷题型01.运用完全平方公式进行运算 典题特征：直接套用完全平方公式展开计算 易错点：① 中间项漏乘系数2 ② 符号处理错误 ③ 混淆完全平方和平方差公式 1．若，则________． 【答案】12 【分析】先计算，再通过对比等式两边对应项的系数求解的值． 【详解】解：， 又， ， ∴， 解得． 2．已知，则的值是（   ） A．11 B．13 C．15 D．19 【答案】C 【分析】设，通过换元法简化式子，利用完全平方公式展开计算． 【详解】解：设， ∵ ， ， ∴ 原方程可化为， ∴， ∴， ∴． 3．先化简，再求值，其中，． 【答案】， 【分析】先计算乘法公式，再合并同类项，最后将，代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 易错必刷题型02.完全平方公式变形求值 典题特征：已知部分代数式的值，利用公式变形求整体值 易错点：① 公式变形逻辑混乱 ② 忽略符号变化 ③ 漏项导致计算错误 4．已知，，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的变形应用，将所求式子用完全平方公式变形后，代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：∵由完全平方公式可得 ， ∴变形得 ， 将，代入得 ． 5．若，，则的值是____． 【答案】 【分析】由得到，把代入展开后的式子求出的值，再运算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 把代入可得：， 整理可得：， ∵， ∴． 6．已知，， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据代入计算即可； （2）根据代入计算即可． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴． 易错必刷题型03.完全平方公式与几何图形 典题特征：结合图形面积验证或运用完全平方公式 易错点：① 图形面积与公式对应关系错误 ② 漏算图形部分面积 ③ 单位或边长对应失误 7．如图，有两个正方形纸板，，纸板与的面积之和为34．现将纸板按甲方式放在纸板的内部，阴影部分的面积为4．若将纸板，按乙方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影部分的面积为______________． 【答案】30 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景．正确的识图，用字母表示出面积是解题的关键． 设A的边长a，B的边长是b，利用表示出大正方形的面积，再减去纸板与的面积之和，即可得解． 【详解】解：设A的边长a，B的边长是b，则， 根据题意得︰， ∴， ∴， ∴乙图阴影部分的面积 ， 故答案为：30 8．如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．当长方形的面积为时，正方形和正方形的面积之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用矩形的长和宽分别表示矩形的周长和面积，正方形的面积和，从而运用完全平方公式的变形计算即可． 【详解】解：设，， ∵长方形的周长是，长方形的面积为 ∴，， ∴， 即正方形和正方形的面积之和为． 9．如图1是一个长为．宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？_______________ (2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1：_________________________________ 方法2：_________________________________ (3)观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？ 代数式：，，_______________ (4)两个正方形、如图3摆放．边长分别为x，y，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)； (3) (4) 【分析】（1）观察图2，阴影部分的边长就是长方形的长与宽的差，即； （2）本题可以直接求阴影部分正方形的边长，计算面积；也可以用正方形的面积减去四个小长方形的面积，得阴影部分的面积； （3）由（2）即可得出三个代数式之间的等量关系； （4）根据题意可得，则可得到，据此可得，再根据（3）可求出，据此结合三角形的面积公式可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，图2中的阴影部分的正方形的边长等于； （2）解：方法1：图2中的阴影部分是一个边长为的正方形，其面积为； 方法2：图2中的阴影部分的面积等于一个边长为的正方形面积减去4个长为m，宽为n的长方形面积，其面积为． （3）解：由（2）可得三个代数式之间的等量关系是：； （4）解：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 易错必刷题型04.运用平方差公式进行运算 典题特征：直接套用平方差公式进行乘法运算 易错点：① 无法识别相同项与相反项 ② 符号处理错误 ③ 与完全平方公式混淆 10．在下列多项式乘法中，不能直接用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平方差公式为，结构特征是两个二项式相乘，有一项相同，另一项互为相反数，据此判断各选项，选出不符合特征的选项即可． 【详解】解：A选项、，相同项为，与互为相反数，符合平方差公式结构，可以用平方差公式计算，不符合题意； B选项、 ，相同项为，与互为相反数，符合平方差公式结构，可以用平方差公式计算，不符合题意； C选项、，相同项为，与互为相反数，符合平方差公式结构，可以用平方差公式计算，不符合题意； D选项、 ，所有项都相同，不存在互为相反数的项，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式计算，符合题意． 11．若，则_____． 【答案】 【分析】先由已知两式相减，因式分解求出；最后利用已知条件对和进行变形，代入目标式化简求值，代入的值计算结果． 【详解】解：由，， 移项得:,, 两式相减得， ， ， ． ， ． ． 12．规定一种新运算为：，例如：．根据此规定，解决下列问题： (1)__________； (2)若的结果是一个关于，的完全平方式，则的值为__________； (3)若，求的值． 【答案】(1)8 (2) (3)0 【分析】 （1）根据定义可得，据此求解即可； （2）根据定义可得，根据完全平方式的特点确定一次项即可得到答案； （3）由，可以得到，则可推出，据此可得答案． 【详解】（1） 解：由题意得，； （2） 解：由题意得，， ∵的结果是一个关于，的完全平方式， ∴一次项为， ∴； （3） 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 易错必刷题型05.平方差公式与几何图形 典题特征：通过图形割补验证或运用平方差公式 易错点：① 图形变换前后面积关系理解错误 ② 边长对应关系判断失误 ③ 割补后面积计算错误 13．如图，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成一个长方形．用这两个图的面积表示下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 用代数式分别表示两个图形的面积即可． 【详解】解：将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形阴影部分，剩余部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，将这两个长方形拼成一个长方形的长为，宽为，因此面积为， 所以有， 故选：C． 14．如图，小正方形和大正方形相邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上．连接，若阴影部分的面积为9，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为_____． 【答案】18 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键； 设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b，则、，可得，再由阴影部分的面积为9，可得，然后整理即可解答． 【详解】解：设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b，则、， ∴， ∵阴影部分的面积为9， ∴，即， ∴，即大正方形的面积与小正方形的面积之差为18． 故答案为18． 15．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图甲），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图乙）． (1)上述操作能验证的等式是________（选填序号）； ①；②； ③． (2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：． 【答案】(1)② (2)①；② 【分析】（1）观察图甲与图乙，根据两图形阴影部分面积相等，验证平方差公式即可； （2）①已知第一个等式利用平方差公式化简，将第二个等式代入求出所求式子的值即可；②先利用平方差公式变形，再约分即可得到结果． 【详解】（1）解：由图可得，， ∴题目操作能验证的等式是②； （2）解：①由（1）得，， ∵， ∴， ∴； ②由题意得， ． 易错必刷题型06.求完全平方式中的字母系数 典题特征：根据完全平方式的形式求未知系数 易错点：① 中间项符号判断不全面 ② 系数漏写正负 ③ 忽略完全平方式的两种形式 16．已知代数式是一个完全平方式，则常数m的值为（    ） A．2 B．4 C．2或 D．4或 【答案】B 【分析】根据完全平方公式即可求出常数m的值． 【详解】解：∵代数式 是完全平方式， ∴． 17．若是一个完全平方式，则___________． 【答案】或 【分析】根据完全平方式的形式是，先确定出、对应的值，即可求出的值． 【详解】解：多项式是一个完全平方式， ， ， 解得：或． 18．对于任意四个有理数a、b、c、d，可以组成两个有理数对与，我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数k的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】此题考查了新定义公式，完全平方式公式，正确掌握完全平方公式是解题的关键： （1）根据定义的公式得到，由完全平方式即可得到常数k的值； （2）由定义得到原式，由求出，即可得到的值． 【详解】（1）解：由题意得 ， ∵是一个完全平方式， ∴， 解得； （2）由题意得 ， ∵， ∴， ∴， ∴． 易错必刷题型07.整式的混合运算 典题特征：结合乘法公式、去括号、合并同类项的综合运算 易错点：① 运算顺序混乱 ② 去括号时符号错误 ③ 公式应用与同类项合并不当 19．对于任意有理数，，现用“☆”定义一种运算：☆，根据这个定义，代数式☆可以化简为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算；根据新定义的运算规则代入，再利用完全平方公式展开化简即可． 【详解】解：∵☆， ∴☆， ∵， ∴， 故选：C． 20．若，则的值为_______． 【答案】17 【分析】本题考查平方差公式，代数式求值．先运用平方差公式与合并同类项法则对式子化简，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴． 故答案为：17 21．先化简，再求值：，其中，满足． 【答案】； 【分析】根据乘法公式和整式的运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ，， ∴，， ∴，， ∴原式 ． 易错必刷题型08.判断是否是因式分解 典题特征：判断变形是否符合因式分解的定义 易错点：① 混淆因式分解与整式乘法 ② 忽略结果必须是整式的积 ③ 误判恒等变形. 22．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做因式分解，逐一判断各选项即可. 【详解】解：A选项是整式乘法，结果为和的形式，不是因式分解； B选项，结果为和的形式，不是几个整式的积，不是因式分解； C选项，将多项式化为两个整式的积的形式，符合因式分解的定义，是因式分解； D选项，结果为和的形式，不是几个整式的积，不是因式分解. 23．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是________．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键． 根据因式分解的概念：将多项式写成几个整式积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案． 【详解】解：选项①是整式乘法，不是因式分解； 选项②右边不是积的形式，不是因式分解； 选项③左边是多项式，右边是整式的积，是因式分解； 选项④右边含有分式，不是整式，不是因式分解； 故答案为③． 24．下列从左到右的运算是因式分解，并且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因式分解要求变形结果是几个整式的乘积，且分解正确、分解彻底，根据要求逐项判断即可． 【详解】解：因式分解是将多项式化为几个整式乘积的形式， A、等式右边不是乘积形式，不符合题意； B、，既是因式分解，分解结果也正确，符合题意； C、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，是整式乘法，不符合题意； D、，是因式分解，但分解错误，不符合题意． 易错必刷题型09.已知因式分解的结果求参数 典题特征：根据因式分解的结果反求多项式中的参数 易错点：① 展开后对应项系数匹配错误 ② 忽略常数项或一次项的符号 ③ 漏项导致参数计算错误 25．如果因式分解的结果为，那么_________． 【答案】2 【分析】将展开后与比较求出，，然后代入求解． 【详解】解： ∵因式分解的结果为， ∴ ∴， ∴． 26．若可以分解为，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解与多项式乘积之间的关系，先根据多项式乘以多项式进行计算，得出方程，，求出即可 【详解】解：， 可以分解为， ，， ，， ， 故选：D． 27．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求a的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为9 (2) 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系： （1）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论； （2）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论． 【详解】（1）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， 另一个因式为，的值为9； （2）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴。 易错必刷题型10.公因式 典题特征：确定多项式的公因式 易错点：① 系数最大公约数计算错误 ② 相同字母最低次幂判断失误 ③ 忽略负号处理 28．多项式中，各项的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了多项式的最大公因式． 根据最大公因式的定义，先确定各项系数的最大公约数，再确定各项都含有的字母的最低次幂，结合选项判断即可． 【详解】解：∵多项式各项系数6、12、的绝对值的最大公约数是3，各项都含有的字母为a、b，a的最低次幂是2，b的最低次幂是1， ∴该多项式的最大公因式可以为， 故选：B 29．多项式，与的公因式为______． 【答案】 【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项． 【详解】解：因为3x﹣9＝3（x﹣3），x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），x2﹣6x+9＝（x﹣3）2， 所以多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（x﹣3）． 故答案：． 【点睛】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“﹣1”． 30．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解，综合运用提公因式法、公式法、分组分法进行因式分解是解题的关键． （1）先根据提公因式，然后再运用平方差公式因式分解即可； （2）先分组，再利用完全平方公式以及平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 易错必刷题型11.提公因式法分解因式 典题特征：提取公因式对多项式进行分解 易错点：① 漏提系数或字母 ② 括号内符号错误 ③ 提取后剩余项判断失误 31．多项式因式分解的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将互为相反数的项变形为相同形式，再提取公因式得到结果． 【详解】 ． 32．已知，求的值为________． 【答案】2027 【分析】根据已知等式变形得到的值，再对所求多项式进行降次变形，整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 则 ． 33．用提公因式法将下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据提公因式法因式分解的步骤，逐步化简求解即可； （2）根据提公因式法因式分解的步骤，逐步化简求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 易错必刷题型12.判断能否用公式法分解因式 典题特征：判断多项式是否符合平方差或完全平方公式的结构 易错点：① 平方差公式条件判断失误 ② 完全平方公式中间项判断错误 ③ 忽略项数与符号要求 34．下列多项式中，不能用公式法进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键． 利用平方差公式，以及完全平方公式判断即可． 【详解】解：A、不能用公式法因式分解，故此选项符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意． 故选：A． 35．下列变形中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据乘法公式：分别进行判断即可． 【详解】解：A、，故该选项不合题意； B、不能进行因式分解，故该选项不合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查用乘法公式进行化简和因式分解，解题关键是熟练掌握乘法公式． 36．下列各式可以用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解因式；如果不可以，请说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不可以，因为不是平方差形式 (2)可以，分解为 (3)不可以，因为不是平方差形式 (4)可以，分解为 【分析】本题考查利用平方差公式分解因式： （1）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （2）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （3）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （4）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解． 【详解】（1）解：不可以用平方差公式分解因式，因为不是平方差形式； （2）解：可以用平方差公式分解因式， ； （3）解：不可以用平方差公式分解因式，因为不是平方差形式； （4）解：可以用平方差公式分解因式， ． 易错必刷题型13.平方差公式分解因式 典题特征：套用平方差公式对多项式进行分解 易错点：① 未先提公因式直接套用公式 ② 符号处理错误 ③ 分解不彻底 37．如果 ，那么的值为（     ） A． B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】利用平方差公式解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 38．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（，．即均为“和谐数”），在不超过的正整数中，所有的“和谐数”之和为______． 【答案】 【分析】根据“和谐数”的定义，设出两个连续奇数，推导得到“和谐数”的表达式，结合不超过的条件确定的范围，再化简求和即可求解． 【详解】解：设两个连续奇数分别为，，其中为正整数， 由平方差公式得，， 令， 解得， ∴所有不超过的“和谐数”之和为： ． 39．已知，求的值． 【答案】 【详解】解：， ， ． 易错必刷题型14.完全平方公式分解因式 典题特征：套用完全平方公式对多项式进行分解 易错点：① 中间项符号判断错误 ② 漏写中间项的2倍 ③ 分解不彻底 40．在多项式①；②；③；④，能用完全平方公式因式分解的有（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】C 【分析】本题根据完全平方公式的结构特征，逐一判断四个多项式是否符合结构，即可得出结果． 【详解】解：① ， 故①可以用完全平方公式因式分解． ② ，不符合完全平方公式结构，故②不能用完全平方公式因式分解． ③ ，不符合完全平方公式的结构特征，故③不能用完全平方公式因式分解． ④，故④可以用完全平方公式因式分解． 综上，能用完全平方公式因式分解的是①④． 41．已知a，b，c满足，，，则的值为__________． 【答案】11 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 42．已知实数m、n、p满足，，且n是正整数，请解答以下问题： (1)p是_____（填“奇数”或“偶数”）； (2)p是完全平方数吗？请判断并说明理由． 【答案】(1)奇数 (2)是，理由见解析 【分析】（1）根据是正整数，，可知是一个奇数、一个偶数，进而可判断出p的奇偶； （2）将代入中得，将看作一个整体，根据完全平方公式的结构变形，即可得证． 【详解】（1）解：是奇数，理由如下： ∵是正整数，， ∴是一个奇数、一个偶数， ∵奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数， ∴是奇数； （2）p是完全平方数，理由如下： ∵， ∴， ， 即是完全平方数． 易错必刷题型15.综合运用公式法分解因式 典题特征：结合多种公式对多项式进行分解 易错点：① 公式顺序应用错误 ② 符号处理混乱 ③ 分解不彻底 43．在把多项式因式分解时，虽然它不符合完全平方公式，但经过变形，可以利用完全平方公式进行分解：原式，像这样构造完全平方式的方法称之为“配方法”．用这种方法把多项式因式分解的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依照例题，根据完全平方公式、平方差公式解答． 【详解】a2-6ab+5b2 =a2-6ab+9b2-4b2 =(a-3b)2-(2b)2 =(a-3b+2b)(a-3b-2b) =(a-b)(a-5b)； 故选：D． 【点睛】本题考查了综合运用公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键． 44．把多项式分解因式的结果是______． 【答案】 【分析】先提取公因式，后套用公式分解即可． 【详解】∵ ＝ ＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解时先用提取公因式法，再用公式法分解是解题的关键． 45．分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解． （1）先提取公因式，再根据完全平方公式分解即可； （2）先根据平方差公式分解因式，再根据完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 易错必刷题型16.综合提公因式和公式法分解因式 典题特征：先提公因式再用公式法分解多项式 易错点：① 忘记先提公因式 ② 提公因式后剩余项判断错误 ③ 分解不彻底 46．把多项式分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先运用提公因式法，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解： 47．若，，则的值为（    ） A． B． C．12 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，利用整体思想代入求值是解题关键． 将原式提取公因式并利用完全平方公式分解因式得，结合已知条件代入计算． 【详解】解： 代入已知条件 和 ，得： ， 故选C． 48．分解因式：． 【答案】 【分析】先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 易错必刷题型17.因式分解巧解有理数简算 典题特征：利用因式分解简化有理数的乘方或乘法运算 易错点：① 无法识别可因式分解的结构 ② 公式应用错误 ③ 运算顺序失误 49．计算 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是提取公因式． 直接提取公因式，进而得出答案． 【详解】解： ． 故选：A． 50．计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律问题，平方差公式，先将原式用平方差公式变形，可以得到，再分组计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 51．利用分解因式计算：． 【答案】 【分析】本题考查分解因式，平方差公式，将原式中24变形为，再利用平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解： ． 易错必刷题型18.实数范围内分解因式 典题特征：在实数范围内对多项式进行分解 易错点：① 未考虑二次根式的分解形式 ② 符号处理错误 ③ 分解不彻底 52．下列各式在实数范围内，不能进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了实数范围内分解因式，分别分解因式判断即可得出结果 【详解】A. 不能进行因式分解，故符合题意； B. ，故不符合题意； C. ，故不符合题意； D. ，故不符合题意； 故选：A 53．在实数范围内进行因式分解______． 【答案】 【分析】本题考查了在实数范围内对二次三项式因式分解． 先提取公因数2，再对括号内的二次三项式进行配方法，转化为平方差形式，最后结合整体写出因式分解结果． 【详解】解： 故答案为：． 54．在实数范围内分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解． （1）首先利用完全平方公式变形，然后利用平方差公式因式分解即可． （2）首先利用完全平方公式变形，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 易错必刷题型19.十字相乘法 典题特征：用十字相乘法分解二次三项式 易错点：① 常数项分解错误 ② 交叉相乘后和与一次项不匹配 ③ 符号处理失误 55．多项式因式分解的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 将二次三项式因式分解，需找到两个数使其积为常数项，和为一次项系数，逐项验证即可． 【详解】解：分解条件：设分解形式为， 需满足：，， 寻找整数解：可能的因数组合为：和（和为，积为）， 验证选项：选项B：，展开得，与原式一致， 其他选项均不符合条件， 故选：B． 56．分解因式：______． 【答案】 【分析】利用整体思想及十字相乘法与立方差公式求解． 【详解】解：原式， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，解题关键是熟练掌握十字相乘与立方差公式． 57．因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．原式整理得，利用十字相乘法分解得到，再利用十字相乘法继续分解即可． 【详解】解： ． 易错必刷题型20.分组分解法 典题特征：通过分组对多项式进行分解 易错点：① 分组方式不合理 ② 分组后无法继续分解 ③ 符号处理错误 58．用分组分解的因式，分组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键． 59．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为(   ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据分解因式的分组分解因式后整体代入即可求解． 【详解】解：a2b+ab2-a-b =（a2b-a）+（ab2-b） =a（ab-1）+b（ab-1） =（ab-1）（a+b） 将a+b=3，ab=1代入，得：原式=0． 故选：A． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题关键是掌握分组分解因式的方法． 60．因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，先根据单项式与多项式相乘计算，再分组分解即可． 【详解】解： 易错必刷题型21.因式分解的应用 典题特征：利用因式分解解决求值、证明等问题 易错点：① 无法将问题转化为因式分解形式 ② 公式应用错误 ③ 分解后计算失误 61．已知，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】利用平方差公式分解原式，再代入已知条件逐步化简即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ ． 62．有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得到图甲，将A，B构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和16，若三个正方形和两个正方形得到图丙，则阴影部分的面积为（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】B 【分析】设正方形，正方形的边长分别为，由甲可得，由乙可得，即得，进而可得，再根据图形解答即可求解． 【详解】解：设正方形，正方形的边长分别为， 由甲得：，即， 由乙得：，即， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∵， ∴（负值舍去）， ∴， 由丙得知：． 63．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质解答一些数学问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，因式分解，最值问题等都有着广泛的应用． 例1：用配方法因式分解：； 原式． 例2．若，利用配方法求的最小值． ； ∵，，∴当时，有最小值． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)若，则的最小值为______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的应用、配方法的运用，理解题意是解题的关键． （1）仿照题目例1的方法进行因式分解即可； （2）仿照题目例2的方法求的最小值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值． 故答案为：． 易错必刷题型22.因式分解中新定义题型 典题特征：按照题目全新定义规则完成因式分解相关题型 易错点：① 读不懂新定义规则 ② 套用旧方法解题 ③ 审题不严出现计算偏差 64．设、是有理数，定义一种新运算：，下面有四个推断： ①；②；③；④． 其中正确推断的序号是__________． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查因式分解，根据新定义，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：， ∴；故①正确； ； ∴；故②正确； ， ∴，故③错误； ∴；故④错误； 故答案为：①②． 65．对于非的两个实数，，规定，那么将进行因式分解的结果为______． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 由题意给出的定义新运算可得，然后利用提公因式法及平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 66．对x、y定义一种新运算T，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，，则结论正确的个数为（    ） （1）a＝1，b＝2； （2）若，则； （3）若，m、n均取整数，则或或； （4）若，当n取s、t时，m对应的值为c、d，当时，； （5）若对任意有理数x、y都成立（这里T（x、y）和T（y、x）均有意义），则 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】（1）结合给出的新运算T，T（2，1）=2，T（-1，2）=-8建立关于a和b的二元一次方程组，解之可得；（2）把m，n代入新运算即可；（3）若m为整数，则分别必须是分子的约数，一一列出并求解即可；（4）可利用作差法比较式子大小进行比较；（5）根据新运算列出等式，整理可求出． 【详解】由题意可知，T（2，1）=2a+2b-4=2，T（-1，2）=-2a-b-4=-8， 即， 解得，故（1）正确； a＝1，b＝2； T（x，y）=xy+2x-4， ∴T（m，n）=mn+2m-4=0（n≠-2），则；故（2）正确 ∵m、n均取整数，， ∴n+2的取值为-4，-2，-1，1，2，4； 当n+2=-4，即n=-6时，m=-1； 当n+2=-2，即n=-4时，m=-2； 当n+2=-1，即n=-3时，m=-4； 当n+2=1，即n=-1时，m=4； 当n+2=2，即n=0时，m=2； 当n+2=4，即n=2时，m=1； 故（3）不正确， ， 当时c-d＜0， ；故（4）正确； ， ，， ， ， ， 对任意有理数x、y都成立（这里T（x、y）和T（y、x）均有意义），则 故（5）正确 故选C 【点睛】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，作差法比较分式大小等内容，理解题意是解题的关键． 67．对于任意有理数，我们规定 (1)已知，则 ； (2)对于有理数若是一个完全平方式，则 ； (3)对于有理数，若． （i）求的值； （ii）将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点在边上，连接，．若，，图中阴影部分的面积为174，求的值． (4) 【答案】(1)3 (2) (3)（i）；（ii）的值为2 【分析】（1）由新定义求出，然后利用因式分解计算即可； （2）先根据新定义变形，再根据完全平方式有和差两种形式解答即可； （3）①根据新定义，得，然后根据完全平方公式进行变形，最后整体代入计算即可； ②根据题意，得化简计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴； （2）解：， ∵是一个完全平方式， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； ②由题图知， 所以， 化简，得． 因为， 所以． 因为由①知， 所以， 解得． 68．对于任意实数，，我们规定：，，例如：，． (1)填空： ；若，则 ； (2)若，且，求与的值； (3)若正整数，满足，，求的值． 【答案】(1)；3； (2)的值为3，的值为1； (3)的值为3或6． 【分析】（1）由题意知，， ，计算求解即可； （2）由题意知，，整理得，，根据，，计算求解即可； （3）由题意知，，则，，，整理得，，即，分当时，当时，当时，当时，当时，当时；计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ， 解得，， 故答案为：；3； （2）解：∵， ∴， 整理得，， ∵， ∴， ∴； ∴的值为3，的值为1； （3）解：∵，， ∴， ∴，即， ∵正整数，， ∴，即， ∴，即， ∵， ∴，整理得，， ∴， ∴当时，，（舍去）； 当时，，（舍去）； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上所述，的值为3或6． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，一元一次方程，二元一次方程，代数式求值．熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05乘法公式与因式分解易错必刷题型专项训练 本专题汇总乘法公式与因式分解章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.运用完全平方公式进行运算 题型02.完全平方公式变形求值 题型03.完全平方公式与几何图形 题型04.运用平方差公式进行运算 题型05.平方差公式与几何图形 题型06.求完全平方式中的字母系数 题型07.整式的混合运算 题型08.判断是否是因式分解 题型09.已知因式分解的结果求参数 题型10.公因式 题型11.提公因式法分解因式 题型12.判断能否用公式法分解因式 题型13.平方差公式分解因式 题型14.完全平方公式分解因式 题型15.综合运用公式法分解因式 题型16.综合提公因式和公式法分解因式 题型17.因式分解巧解有理数简算 题型18.实数范围内分解因式 题型19.十字相乘法 题型20.分组分解法 题型21.因式分解的应用 题型22.因式分解中新定义题型 易错必刷题型01.运用完全平方公式进行运算 典题特征：直接套用完全平方公式展开计算 易错点：① 中间项漏乘系数2 ② 符号处理错误 ③ 混淆完全平方和平方差公式 1．若，则________． 2．已知，则的值是（   ） A．11 B．13 C．15 D．19 3．先化简，再求值，其中，． 易错必刷题型02.完全平方公式变形求值 典题特征：已知部分代数式的值，利用公式变形求整体值 易错点：① 公式变形逻辑混乱 ② 忽略符号变化 ③ 漏项导致计算错误 4．已知，，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 5．若，，则的值是____． 6．已知，， (1)求的值； (2)求的值． 易错必刷题型03.完全平方公式与几何图形 典题特征：结合图形面积验证或运用完全平方公式 易错点：① 图形面积与公式对应关系错误 ② 漏算图形部分面积 ③ 单位或边长对应失误 7．如图，有两个正方形纸板，，纸板与的面积之和为34．现将纸板按甲方式放在纸板的内部，阴影部分的面积为4．若将纸板，按乙方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影部分的面积为______________． 8．如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．当长方形的面积为时，正方形和正方形的面积之和为（   ） A． B． C． D． 9．如图1是一个长为．宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？_______________ (2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1：_________________________________ 方法2：_________________________________ (3)观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？ 代数式：，，_______________ (4)两个正方形、如图3摆放．边长分别为x，y，若，，求图中阴影部分的面积． 易错必刷题型04.运用平方差公式进行运算 典题特征：直接套用平方差公式进行乘法运算 易错点：① 无法识别相同项与相反项 ② 符号处理错误 ③ 与完全平方公式混淆 10．在下列多项式乘法中，不能直接用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 11．若，则_____． 12．规定一种新运算为：，例如：．根据此规定，解决下列问题： (1)__________； (2)若的结果是一个关于，的完全平方式，则的值为__________； (3)若，求的值． 易错必刷题型05.平方差公式与几何图形 典题特征：通过图形割补验证或运用平方差公式 易错点：① 图形变换前后面积关系理解错误 ② 边长对应关系判断失误 ③ 割补后面积计算错误 13．如图，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成一个长方形．用这两个图的面积表示下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 14．如图，小正方形和大正方形相邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上．连接，若阴影部分的面积为9，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为_____． 15．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图甲），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图乙）． (1)上述操作能验证的等式是________（选填序号）； ①；②； ③． (2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：． 易错必刷题型06.求完全平方式中的字母系数 典题特征：根据完全平方式的形式求未知系数 易错点：① 中间项符号判断不全面 ② 系数漏写正负 ③ 忽略完全平方式的两种形式 16．已知代数式是一个完全平方式，则常数m的值为（    ） A．2 B．4 C．2或 D．4或 17．若是一个完全平方式，则___________． 18．对于任意四个有理数a、b、c、d，可以组成两个有理数对与，我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数k的值； (2)若，且，求的值． 易错必刷题型07.整式的混合运算 典题特征：结合乘法公式、去括号、合并同类项的综合运算 易错点：① 运算顺序混乱 ② 去括号时符号错误 ③ 公式应用与同类项合并不当 19．对于任意有理数，，现用“☆”定义一种运算：☆，根据这个定义，代数式☆可以化简为（     ） A． B． C． D． 20．若，则的值为_______． 21．先化简，再求值：，其中，满足． 易错必刷题型08.判断是否是因式分解 典题特征：判断变形是否符合因式分解的定义 易错点：① 混淆因式分解与整式乘法 ② 忽略结果必须是整式的积 ③ 误判恒等变形. 22．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（   ） A． B． C． D． 23．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是________．（填序号） ①；②；③；④． 24．下列从左到右的运算是因式分解，并且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 易错必刷题型09.已知因式分解的结果求参数 典题特征：根据因式分解的结果反求多项式中的参数 易错点：① 展开后对应项系数匹配错误 ② 忽略常数项或一次项的符号 ③ 漏项导致参数计算错误 25．如果因式分解的结果为，那么_________． 26．若可以分解为，那么的值为（    ） A． B． C． D． 27．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求a的值． 易错必刷题型10.公因式 典题特征：确定多项式的公因式 易错点：① 系数最大公约数计算错误 ② 相同字母最低次幂判断失误 ③ 忽略负号处理 28．多项式中，各项的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 29．多项式，与的公因式为______． 30．分解因式： (1)； (2)． 易错必刷题型11.提公因式法分解因式 典题特征：提取公因式对多项式进行分解 易错点：① 漏提系数或字母 ② 括号内符号错误 ③ 提取后剩余项判断失误 31．多项式因式分解的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 32．已知，求的值为________． 33．用提公因式法将下列各式因式分解： (1)； (2)． 易错必刷题型12.判断能否用公式法分解因式 典题特征：判断多项式是否符合平方差或完全平方公式的结构 易错点：① 平方差公式条件判断失误 ② 完全平方公式中间项判断错误 ③ 忽略项数与符号要求 34．下列多项式中，不能用公式法进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 35．下列变形中正确的是（    ） A． B． C． D． 36．下列各式可以用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解因式；如果不可以，请说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)． 易错必刷题型13.平方差公式分解因式 典题特征：套用平方差公式对多项式进行分解 易错点：① 未先提公因式直接套用公式 ② 符号处理错误 ③ 分解不彻底 37．如果 ，那么的值为（     ） A． B． C．4 D．2 38．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（，．即均为“和谐数”），在不超过的正整数中，所有的“和谐数”之和为______． 39．已知，求的值． 易错必刷题型14.完全平方公式分解因式 典题特征：套用完全平方公式对多项式进行分解 易错点：① 中间项符号判断错误 ② 漏写中间项的2倍 ③ 分解不彻底 40．在多项式①；②；③；④，能用完全平方公式因式分解的有（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 41．已知a，b，c满足，，，则的值为__________． 42．已知实数m、n、p满足，，且n是正整数，请解答以下问题： (1)p是_____（填“奇数”或“偶数”）； (2)p是完全平方数吗？请判断并说明理由． 易错必刷题型15.综合运用公式法分解因式 典题特征：结合多种公式对多项式进行分解 易错点：① 公式顺序应用错误 ② 符号处理混乱 ③ 分解不彻底 43．在把多项式因式分解时，虽然它不符合完全平方公式，但经过变形，可以利用完全平方公式进行分解：原式，像这样构造完全平方式的方法称之为“配方法”．用这种方法把多项式因式分解的结果是（  ） A． B． C． D． 44．把多项式分解因式的结果是______． 45．分解因式： (1) (2) 易错必刷题型16.综合提公因式和公式法分解因式 典题特征：先提公因式再用公式法分解多项式 易错点：① 忘记先提公因式 ② 提公因式后剩余项判断错误 ③ 分解不彻底 46．把多项式分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 47．若，，则的值为（    ） A． B． C．12 D．6 48．分解因式：． 易错必刷题型17.因式分解巧解有理数简算 典题特征：利用因式分解简化有理数的乘方或乘法运算 易错点：① 无法识别可因式分解的结构 ② 公式应用错误 ③ 运算顺序失误 49．计算 等于（ ） A． B． C． D． 50．计算：___________． 51．利用分解因式计算：． 易错必刷题型18.实数范围内分解因式 典题特征：在实数范围内对多项式进行分解 易错点：① 未考虑二次根式的分解形式 ② 符号处理错误 ③ 分解不彻底 52．下列各式在实数范围内，不能进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 53．在实数范围内进行因式分解______． 54．在实数范围内分解因式： (1)； (2)． 易错必刷题型19.十字相乘法 典题特征：用十字相乘法分解二次三项式 易错点：① 常数项分解错误 ② 交叉相乘后和与一次项不匹配 ③ 符号处理失误 55．多项式因式分解的正确结果是（    ） A． B． C． D． 56．分解因式：______． 57．因式分解：． 易错必刷题型20.分组分解法 典题特征：通过分组对多项式进行分解 易错点：① 分组方式不合理 ② 分组后无法继续分解 ③ 符号处理错误 58．用分组分解的因式，分组正确的是（　　） A． B． C． D． 59．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为(   ) A．0 B．1 C．2 D．3 60．因式分解： 易错必刷题型21.因式分解的应用 典题特征：利用因式分解解决求值、证明等问题 易错点：① 无法将问题转化为因式分解形式 ② 公式应用错误 ③ 分解后计算失误 61．已知，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2 62．有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得到图甲，将A，B构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和16，若三个正方形和两个正方形得到图丙，则阴影部分的面积为（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 63．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质解答一些数学问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，因式分解，最值问题等都有着广泛的应用． 例1：用配方法因式分解：； 原式． 例2．若，利用配方法求的最小值． ； ∵，，∴当时，有最小值． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)若，则的最小值为______． 易错必刷题型22.因式分解中新定义题型 典题特征：按照题目全新定义规则完成因式分解相关题型 易错点：① 读不懂新定义规则 ② 套用旧方法解题 ③ 审题不严出现计算偏差 64．设、是有理数，定义一种新运算：，下面有四个推断： ①；②；③；④． 其中正确推断的序号是__________． 65．对于非的两个实数，，规定，那么将进行因式分解的结果为______． 66．对x、y定义一种新运算T，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，，则结论正确的个数为（    ） （1）a＝1，b＝2； （2）若，则； （3）若，m、n均取整数，则或或； （4）若，当n取s、t时，m对应的值为c、d，当时，； （5）若对任意有理数x、y都成立（这里T（x、y）和T（y、x）均有意义），则 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 67．对于任意有理数，我们规定 (1)已知，则 ； (2)对于有理数若是一个完全平方式，则 ； (3)对于有理数，若． （i）求的值； （ii）将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点在边上，连接，．若，，图中阴影部分的面积为174，求的值． (4) 68．对于任意实数，，我们规定：，，例如：，． (1)填空： ；若，则 ； (2)若，且，求与的值； (3)若正整数，满足，，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $