同构函数问题课件-2026届高三数学二轮专题复习

同构函数问题 1 知识点1 构造抽象函数比较大小 知识点2 含双变量的构造函数问题 知识点3 利用指对运算构造同构函数 2 知识点1 构造抽象函数比较大小 例1（1）函数在定义域 内恒满足 ，其中为 的导函数，则( ) A. B. C. D. √ 3 [解析] 令，，则. 对任意的，恒成立， ，， 函数在上单调递增， ，即，. 令， ，则， 对任意的 ，恒成立， ， 函数在 上单调递减， ，即， .综上， .故选D. 4 （2）已知是定义在 上的非负可导函数，且满足 ，对任意正数，，若 ，则必有( ) A. B. C. D. [解析] 令,则，由 ， 可得. 若不是常函数，则在 上单调递减， 由，可得，即，可得 ； 若为常函数，则，即 ，可得. 综上， .故选A. √ 5 【技巧知识点】 类型一 根据导数四则运算法则，构造和差积商型函数 （1）导数和差，构造和差型函数： <m></m>；<m></m>. （2）和与积联系，构造积型函数；差与商联系，构造商型函数： <m></m>； <m></m>. 6 类型二 幂函数及其抽象构造 （1） ； . （2）当时， ； . 7 类型三 指数函数及其抽象构造 （1） ； . （2） ； . （3） ； . 8 类型四 三角函数及其抽象构造 （1） ； 当 时， . （2） ； 当时， . （3） ； 当时， . （4） ； 当时， . 9 知识点2 含双变量的构造函数问题 例2（1）若 ，则( ) A. B. C. D. [解析] 由题意知 ， 设，则. 又在 上单调递增，所以 ，故选B. √ 10 （2）若 ，则( ) A. B. C. D. [解析] 由题意得. 设 ，则， 又在上单调递增，所以 ， 则，故 .故选A. √ 11 【技巧知识点】 同构表示结构或形式相同.在很多不等式问题中，经过同构变形使不 等式两侧呈现相同结构，然后构造函数，结合复合函数的单调性， 将不等式蕴含的特征与属性清晰明朗地呈现出来，可解决求参数的 取值范围、零点的个数、证明不等式等问题.例如，若<m></m>能等 价变形为<m></m>，则可利用外层函数<m></m>的单调性，转 化为<m></m>或<m></m>. 12 知识点3 利用指对运算构造同构函数 例3（1）已知，求证： . 证明：因为，所以，， 要证 ，只需证， 即证，即证 . 设，则 ， 所以在 上单调递减， 又，所以，即，所以 . 13 （2）已知函数，若恒成立，求 的取值范围. 解：的定义域是，若 恒成立， 则 恒成立， 即 恒成立， 即 恒成立， 即 恒成立. 设，则，故在 上单调递增， 14 故要使恒成立，只需 恒 成立，即 恒成立. 设，则 . 当时，；当时， . 故当时，有极大值，也是最大值，最大值为 ， 所以，解得，故的取值范围为 . 【技巧知识点】 构造同构函数通常有三种类型： （1）积型 <m></m> <m></m> 16 （2）商型 17 （3）和差型 其中 在变形构造同构式中起着重要作用. 18 $