专项素养巩固训练卷(七) 将军饮马模型-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（北师大版·新教材）

这是一份初中数学同步培优课件，聚焦将军饮马模型专项素养巩固训练，涵盖“两点一线”“一点两线”“三动点”三大模型解读，配套5道期末改编题及详细解析，为学生搭建从模型理解到解题应用的学习支架。 资料特色鲜明，以模型教学为核心，融合数学眼光（几何直观、空间观念）、思维（推理能力）与语言（模型观念），如通过等腰三角形周长最小值问题培养几何直观，结合对称转化提升逻辑推理，助力学生掌握解题策略，也为教师提供清晰的模型教学范例，适合九年级学生针对升学考试重点巩固训练。

专项素养巩固训练卷(七) 将军饮马模型 初中同步培优卷 模型一　“两点一线”模型 模型解读     类型 异侧两点求线段和最小值 同侧两点求线段和最小值 图示   初中同步培优卷 条件 两定点A,B位于直线l异侧,在直线l上找一点P,使PA+PB的值最小 两定点A,B位于直线l同侧,在直线l上找一点P,使PA+PB 的值最小 结论 连接AB交直线l于点P,此时 PA+PB的值最小,最小值为 线段AB 的长 作点B关于直线l的对称点B',连接AB',交直线l于点P,此时 PA+PB 的值最小, 最小值为线段AB'的长 初中同步培优卷 1. (2025陕西汉中南郑期末改编,★★☆)如图,等腰三角形 ABC的底边BC长为4,面积是12,腰AB的垂直平分线EF分别交 AB,AC于点E,F,若点D为底边BC的中点,点M为线段EF上一动 点,求△BDM的周长的最小值. 初中同步培优卷 解析　如图,连接AD交EF于点M',连接AM.   因为△ABC是等腰三角形,点D是BC边的中点, 所以AD⊥BC,BD= BC= ×4=2. 所以S△ABC= BC·AD= ×4AD=12,解得AD=6. 初中同步培优卷 因为直线EF是线段AB的垂直平分线,所以AM=BM. 所以BM+MD=AM+MD. 因为当点M位于点M'处时,MD+AM有最小值,所以此时MB+ MD有最小值,最小值为6. 因为△BDM的周长=DB+BM+MD, 所以△BDM的周长的最小值为2+6=8. 初中同步培优卷 模型二　“一点两线”模型 模型解读     图示   条件 点P是∠AOB 内部一定点,在 OA 上找一点 M,在 OB 上找一点N,使得△PMN的周长最小 结论 作点P关于OA,OB的对称点P',P″,连接 P'P″,分别交OA, OB于点M,N,此时△PMN 的周长最小,最小值为线段P 'P″的长 初中同步培优卷 2. (2025山东济南济阳期末改编,★★★)如图,在锐角△ABC 中,∠ACB=50°,边AB上有一定点P,M,N分别是AC和BC边上的 动点,当△PMN的周长最小时,∠MPN的度数为___________.       80°     初中同步培优卷 解析　如图,作点P关于AC,BC的对称点D,G,PD,PG分别交 AC,BC于E,F,连接DG交AC于M,交BC于N,连接PM,PN.易得此 时△PMN的周长最小.   初中同步培优卷 易得∠DEC=∠PEC=∠PFC=∠GFC=90°, 所以∠D+∠G=90°-∠DME+90°-∠GNF, 因为∠DME=∠CMN,∠GNF=∠CNM, ∠CMN+∠CNM+∠C=180°, 所以∠D+∠G=∠C=50°.所以∠DPG=180°-50°=130°. 易得∠G=∠GPN,∠D=∠DPM, 所以∠GPN+∠DPM=50°. 所以∠MPN=∠DPG-(∠GPN+∠DPM )=130°-50°=80°. 初中同步培优卷 3. (2024福建泉州鲤城期末改编,★★★)如图,∠MON=α,α<30°, 点A为ON上一定点,点C为ON上一动点,B,D为OM上两动点, 当AB+BC+CD最小时,求∠BCD的度数(用含α的式子表示).   初中同步培优卷 解析　如图,作点C关于OM的对称点C',CC'交OM于点D,连接 AC'交OM于点B,则C'B=CB,C'D=CD,过点C'作射线OP,则∠MOP =α,作点D关于OP的对称点D',过点D'作射线OQ,则∠POQ=α,连接C'D',则C'D'=C'D=CD, 初中同步培优卷 所以AB+BC+CD=AB+BC'+C'D', 要使AB+BC+CD最小,需点A,B,C',D'在一条直线上,且AD'⊥OQ. 因为α<30°,所以∠NOQ=3α<90°. 所以可以过点A向OQ作垂线,垂足即为所求点D'的位置, 此时∠OC'D'=∠OC'D=90°-α,∠OD'C'=∠ODC'=∠ODC=90°, 所以∠BCD=∠BC'D=180°-2∠OC'D'=180°-2(90°-α)=2α. 所以当AB+BC+CD最小时,∠BCD=2α. 初中同步培优卷 模型三　“三动点”模型 模型解读     图示   条件 已知点D,E,F分别为AB,AC,BC上的动点,求△DEF周长的最小值 初中同步培优卷 作法 先将点D视为定点,利用“一点两线”模型作出△DEF周长最小时的辅助线(对应的线段D'D″的长) 结论 结合已知条件求出D'D″的最小值即为△DEF周长的最小值 初中同步培优卷 4. (2025广东深圳龙岗期末,★★★)如图,在直角△ABC中,∠C =90°,AC=3,BC=4,AB=5,D,E,F分别是AB,BC,AC边上的动点,则 DE+EF+DF的最小值是___________.     4.8     初中同步培优卷 解析　如图,作D关于直线AC的对称点M,关于直线BC的对称 点N,连接CM,CN,CD,EN,FM,   初中同步培优卷 则DF=FM,DE=EN,CD=CM,CD=CN,∠MCA=∠DCA,∠BCN= ∠BCD, 所以CD=CM=CN.因为∠ACD+∠BCD=90°, 所以∠MCD+∠NCD=180°.所以M,C,N三点共线. 因为DF+DE+EF=FM+EN+EF≥MN=2CD, 所以当M,F,E,N四点共线,且CD⊥AB时,DE+EF+DF的值最小. 当CD⊥AB时, AB·CD= BC·AC,所以CD= = =2.4. 所以DE+EF+DF的最小值为4.8. 初中同步培优卷 5. (2024山东济南槐荫期末改编,★★★)如图,在△ABC中,∠BAC =30°,点N,P,Q分别为边AB,AC,BC上的动点,连接NQ,NP, PQ,若BC=6,S△ABC=24,求△NPQ的周长的最小值.(提示:有一个 角是60°的等腰三角形是等边三角形) 初中同步培优卷 解析　如图,作点Q关于AB,AC的对称点G,H,连接GH分别交 AB,AC于点N,P,连接AG,AH,AQ,NQ,PQ,   则NG=NQ,PH=PQ,AQ=AG=AH,所以△NPQ的周长=PN+NQ+PQ=PN+NG+PH=GH,所以GH最小时,△NPQ的周长最小. 初中同步培优卷 因为∠GAN=∠QAN,∠HAP=∠QAP,∠BAC=30°, 所以∠GAH=2∠BAC=60°. 所以△AGH是等边三角形.所以GH=AG=QA. 当AQ⊥BC时,AQ最短,即GH最短, 此时△NPQ的周长最小. 因为BC=6,S△ABC=24, 所以AQ的最小值=8,即△NPQ的周长的最小值为8. 初中同步培优卷 $