专项素养巩固训练卷(六) 构造全等三角形的常用方法-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（北师大版·新教材）

这是一份初中数学期末同步培优课件，聚焦构造全等三角形的常用方法，涵盖连公共边法、作垂线法、截长补短法、倍长中线法，通过例题解析搭建从方法原理到解题应用的学习支架。 资料特色突出核心素养培养，如连公共边法引导学生用数学眼光观察图形结构，倍长中线法强化逻辑推理思维，规范的几何证明过程提升数学语言表达能力。结合期末真题实例，帮助学生掌握构造技巧，为教师提供专项教学资源，助力学生几何推理能力与应试能力提升。初中学生在全等三角形学习中需掌握构造方法，为几何综合题奠基，九年级学生可通过专项训练强化期末备考效率。

专项素养巩固训练卷(六) 构造全等三角形的常用方法 初中同步培优卷 方法一　连公共边法 1. (2025浙江金华浦江期末,★☆☆)如图,在四边形ABCD中, ∠B=∠D=90°,点E,F分别在AB,AD上,AE=AF,CE=CF, 说明:CB=CD.   初中同步培优卷 解析　如图,连接AC,   在△ACE和△ACF中,  所以△ACE≌△ACF(SSS), 初中同步培优卷 所以∠EAC=∠FAC, 在△ABC和△ADC中,  所以△ABC≌△ADC(AAS), 所以CB=CD. 初中同步培优卷 2. (★★☆)在四边形ABDC中,AC=AB,DC=DB,∠CAB=60°, ∠CDB=120°,E是AC上一点,F是AB延长线上一点,且CE=BF. (1)如图①,DE=DF吗?说出你的理由. (2)如图②,若点G在AB上,且∠EDG=60°,试猜想CE,EG,BG之 间的数量关系,并说明理由. 初中同步培优卷 解析    (1)DE=DF.理由:因为∠CAB+∠C+∠CDB+∠ABD =360°,∠CAB=60°,∠CDB=120°, 所以∠C+∠ABD=360°-60°-120°=180°. 又因为∠DBF+∠ABD=180°, 所以∠C=∠DBF. 在△CDE和△BDF中,  所以△CDE≌△BDF(SAS),所以DE=DF. 初中同步培优卷 (2)CE+BG=EG.理由:连接AD,如图所示. 在△ABD和△ACD中,  所以△ABD≌△ACD(SSS), 初中同步培优卷 所以∠BDA=∠CDA= ∠CDB= ×120°=60°. 又因为∠EDG=60°, 所以∠CDE=∠ADG,∠ADE=∠BDG. 由(1)知△CDE≌△BDF, 所以∠CDE=∠BDF, 所以∠BDG+∠BDF=60°, 即∠FDG=60°, 所以∠EDG=∠FDG. 初中同步培优卷 在△DEG和△DFG中,  所以△DEG≌△DFG(SAS), 所以EG=FG. 又因为CE=BF,FG=BF+BG, 所以CE+BG=EG. 初中同步培优卷 方法二　作垂线法 3. (★★☆)如图,△ABC中,∠BAC=∠BCA,△CDE中,∠DCE= ∠DEC,点A,C,E共线.若CD⊥BC,CD=BC,试判断△ABC的面 积与△CDE的面积的数量关系,并说明理由. 初中同步培优卷 解析　△ABC的面积等于△CDE的面积. 理由:如图,过B作BM⊥AC于M,过D作DN⊥CE于N,   则∠BMC=∠CND=90°. 因为CD⊥BC, 初中同步培优卷 所以∠BCD=90°. 所以∠BCM+∠CBM=∠BCM+∠DCN=90°. 所以∠CBM=∠DCN. 因为BC=CD, 所以△BCM≌△CDN(AAS). 所以BM=CN,CM=DN. 在△ABM与△CBM中,  初中同步培优卷 所以△ABM≌△CBM(AAS). 所以AM=CM. 同理,CN=EN. 所以AC=AM+MC=2DN,CE=CN+NE=2BM. 所以△ABC的面积= ·AC·BM=DN·BM, △CDE 的面积= ·CE·DN=DN·BM, 所以△ABC的面积等于△CDE的面积. 初中同步培优卷 方法三　截长补短法 4. (★★☆)如图,四边形ABDC中,AC∥BD,点E在CD上,AE平 分∠CAB,BE平分∠DBA. 说明:(1)AB=AC+BD. (2)AE⊥BE.   初中同步培优卷 解析    (1)如图,在AB上取一点F,使AF=AC,连接EF.   因为AE,BE分别平分∠CAB,∠DBA, 所以∠CAE=∠FAE,∠EBF=∠EBD. 在△ACE和△AFE中,  初中同步培优卷 所以△ACE≌△AFE(SAS), 所以∠C=∠AFE, 因为AC∥BD,所以∠C+∠D=180°, 所以∠AFE+∠D=180°, 因为∠AFE+∠EFB=180°,所以∠EFB=∠D, 在△BEF和△BED中,  初中同步培优卷 所以△BEF≌△BED(AAS),所以BF=BD, 因为AB=AF+BF,所以AB=AC+BD. (2)因为△ACE≌△AFE,所以∠CEA=∠FEA, 因为△BEF≌△BED,所以∠FEB=∠DEB, 所以∠AEF+∠FEB= (∠CEF+∠FED)= ×180°=90°, 所以∠AEB=90°,所以AE⊥BE. 初中同步培优卷 方法四　倍长中线法 5. (★★☆)如图,AD是△ABC的中线,点E是AD上一点,且BE= AC.试说明:∠BED=∠CAD.   初中同步培优卷 解析　如图,延长AD到点F,使DF=AD,连接BF. 因为AD是△ABC的中线,所以BD=DC. 在△ADC和△FDB中,  所以△ADC≌△FDB(SAS), 所以BF=AC,∠CAD=∠F, 因为BE=AC,所以BE=BF, 所以∠F=∠BED,所以∠BED=∠CAD. 初中同步培优卷 6. (2025河南平顶山叶县期末节选,★★☆) 【探究与发现】 (1)如图①,AD是△ABC的中线,且AB>AC,延长AD至点E,使ED =AD,连接BE,可证得△ADC≌△EDB,其中判定两个三角形全 等的依据为 (        ) A. SSS　　    B. SAS C. AAS　　    D. ASA B 初中同步培优卷 【拓展与延伸】 (2)如图②,AD是△ABC的中线,点E,F分别在AB,AC上,且DE⊥ DF.试说明:BE+CF>EF. 初中同步培优卷 解析    (1)B. (2)如图,延长FD到K,使DK=DF,连接BK,EK,   因为AD是△ABC的中线,所以BD=CD. 又∠BDK=∠CDF,DK=DF, 初中同步培优卷 所以△BDK≌△CDF(SAS). 所以BK=CF. 因为DE⊥DF,所以∠EDF=∠EDK=90°. 又DE=DE,DK=DF, 所以△EDF≌△EDK(SAS). 所以EK=EF. 在△BEK中,由三角形的三边关系得BE+BK>EK, 所以BE+CF>EF. 初中同步培优卷 7. (2025山东济南高新区期末,★★☆)【问题提出】数学兴趣 小组在活动时,老师提出了这样一个问题:如图①,在△ABC中, AB=8,AC=6,D是BC的中点,求BC边上的中线AD的取值范围. 【问题探究】 (1)小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD 到E,使DE=AD,连接BE.请补充完整说明△ADC≌△EDB的推 理过程. 初中同步培优卷 解:延长AD到E,使DE=AD,连接BE. 在△ADC和△EDB中, 所以△ADC≌△EDB(_______). (2)探究得出AD的取值范围是_______. 初中同步培优卷 【问题解决】 (3)如图②,△ABC中,∠B=90°,AB=2,AD是△ABC的中线,CE⊥ BC,CE=4,且∠ADE=90°,求AE的长. 初中同步培优卷 解析    (1)对顶角相等;SAS. (2)1<AD<7. 详解:因为△ADC≌△EDB,所以BE=AC=6. 所以8-6<AE<8+6.所以1<AD<7. (3)如图,延长AD交EC的延长线于F. 初中同步培优卷 因为∠B=90°,EF⊥BC, 所以∠B=∠FCD=90°. 在△ABD和△FCD中,  所以△ABD≌△FCD(ASA). 所以CF=AB=2,AD=DF. 初中同步培优卷 因为∠ADE=90°, 所以∠FDE=180°-90°=90°. 所以∠FDE=∠ADE. 又DE=DE, 所以△ADE≌△FDE(SAS). 所以AE=EF=CE+CF=4+2=6. 初中同步培优卷 $