专项素养巩固训练卷(四) 平行线综合问题-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（北师大版·新教材）

这是一份初中数学期末专项培优课件，聚焦平行线综合问题，设置“平行线+三角尺”“平行线+折线”两大类型，包含实践探究题及详细解析，为学生提供从初步尝试到深入探究的学习支架。 资料特色突出，以三角尺摆放、折线模型等实践情境为载体，引导学生用数学眼光观察现实问题，通过推理过程培养数学思维，以规范解析强化数学语言表达。例如“三角尺顶点重合探究角度关系”等题，适合初中学生巩固平行线知识，提升综合应用能力，也为教师期末复习教学提供丰富案例。

专项素养巩固训练卷(四) 平行线综合问题 初中同步培优卷 类型一　平行线+三角尺 1. 【新考向·实践探究题】(2025山西晋中寿阳期中,★★☆) 综合与实践. 【问题情境】 动手操作可提高我们的思维能力,白老师和同学们利用一副 直角三角尺(∠D=30°,∠B=45°)不同的摆放方式探究平行线 的相关问题. 初中同步培优卷 【初步尝试】 (1)如图a,将一副三角尺直角顶点A与E重合,若AF∥BC, 则∠CAD=_______. 【深入探究】 白老师让同学们改变三角尺的位置,提出新的问题并作出解答. (2)①“智慧小组”提出问题:如图b,将三角尺ABC的顶点B放 在三角尺DEF的边DF上,若AC∥DF,请说明:BC平分∠ABF. ②“善思小组”提出问题:将一副直角三角尺按如图c所示的 方式摆放,若BC∥FH,AC∥EF,求∠DGC的度数. 初中同步培优卷 初中同步培优卷 解析    (1)135°. 详解:因为AF∥BC,∠C=45°, 所以∠CAF=∠C=45°. 因为∠DEF=90°,所以∠CAD=90°+45°=135°. (2)①因为AC∥DF,∠C=45°, 所以∠CBF=∠C=45°. 因为∠ABC=45°,所以∠ABC=∠CBF. 所以BC平分∠ABF. 初中同步培优卷 ②因为BC∥FH,∠C=45°, 所以∠CAH=∠C=45°. 因为AC∥EF,所以∠AFE=∠CAH=45°. 所以∠AFD=∠DFE+∠AFE=60°+45°=105°. 因为BC∥FH,所以∠DGC=∠AFD=105°. 初中同步培优卷 2. 【新考向·实践探究题】(2025山东济南商河期末,★★☆) 在一次综合与实践课上,数学老师让同学们以“两条平行线 AB,CD和一块直角三角尺EFG(∠EFG=90°,∠EGF=60°, ∠FEG=30°)的不同摆放方式”为主题开展数学探究活动. 【初步体验】 (1)如图①,三角尺的60°角的顶点G在CD上,∠1=80°,则∠2的 度数为_______°. 初中同步培优卷 【基础巩固】 (2)如图②,瑶瑶同学把三角尺的两个锐角的顶点E,G分别放在 AB和CD上,请你探索∠AEF与∠FGC之间的数量关系,并说明 理由. 【强化应用】 (3)如图③,雅雅同学把三角尺的直角顶点F放在CD上,30°角 的顶点E在AB上.若∠AEG=α,∠DFG=β,请写出∠AEG与∠DFG之间的数量关系(用含α,β的式子表示),并说明理由. 初中同步培优卷 初中同步培优卷 解析    (1)40. 详解:因为AB∥CD,所以∠EGD=∠1=80°. 所以∠2=180°-∠EGD-∠EGF=180°-80°-60°=40°. (2)∠AEF+∠FGC=90°. 理由:如图,过点F作FP∥CD,则∠FGC=∠GFP. 初中同步培优卷 因为AB∥CD,所以AB∥FP. 所以∠AEF=∠EFP, 所以∠AEF+∠FGC=∠EFP+∠GFP=∠EFG=90°. (3)α-β=120°. 理由:因为AB∥CD,所以∠AEF=∠EFD. 所以α-30°=β+90°,所以α-β=120°. 初中同步培优卷 类型二　平行线+折线 3. 【新考向·实践探究题】(2025山西太原期中,★★★)综合 与实践. 如图,已知∠MPN为钝角,点A,C分别在射线PM, PN上,在∠MPN内部分别过点A,C作射线AB∥CD,在∠MPN 内部过点P作射线PQ∥CD. 【感知模型】 (1)如图①,若PQ平分∠MPN,猜想∠PAB与∠PCD之间的数量 关系,并说明理由. 初中同步培优卷 【数学思考】 (2)如图②,若PQ不是∠MPN的平分线,直接写出∠PAB,∠PCD 和∠MPN之间的数量关系. 【深入探究】 (3)如图③,作∠PCD的平分线,交PQ于点G,过点G作PM的平 行线交AB于点F,∠BFG的平分线交射线CG于点E,点E与点F 不重合.若∠MPN=α,则∠FEG的度数为_______.(用含α的式 子表示) 初中同步培优卷 初中同步培优卷 解析    (1)∠PAB=∠PCD. 理由:因为AB∥CD,PQ∥CD,所以PQ∥AB. 所以∠PAB+∠APQ=180°,∠PCD+∠CPQ=180°. 因为PQ平分∠MPN,所以∠APQ=∠CPQ.所以∠PAB=∠PCD. (2)∠PAB+∠MPN+∠PCD=360°. 理由:因为AB∥CD,PQ∥CD,所以PQ∥AB∥CD. 所以∠PAB+∠APQ=180°,∠PCD+∠CPQ=180°. 所以∠PAB+∠MPN+∠PCD=360°. 初中同步培优卷 (3)180°- α. 详解:如图,过点E作EJ∥AB,则∠BFE=∠FEJ.   因为AB∥CD,所以EJ∥CD. 所以∠ECD=∠JEG. 初中同步培优卷 所以∠FEG=∠BFE+∠ECD. 因为FG∥AP,所以∠BFG=∠PAB. 因为FE平分∠BFG,所以∠BFE= ∠BFG= ∠PAB. 因为CG平分∠PCD,所以∠ECD= ∠PCD. 所以∠FEG= (∠PAB+∠PCD), 由(2)可得∠PAB+∠PCD=360°-∠MPN=360°-α, 所以∠FEG= (360°-α)=180°- α. 故答案为180°- α. 初中同步培优卷 $