第二章 相交线与平行线 素养提优测试卷-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（北师大版·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了相交线与平行线的核心知识，涵盖垂直与平行的性质判定、角的关系（互余、互补）、折叠与动态问题等，通过选择、填空、解答题的梯度设计，将基本概念、性质应用与综合探究串联，帮助学生构建“概念-性质-应用”的完整知识网络。 其亮点在于融入新课标核心素养，如第10题规律探究培养推理能力，第16题动态旋转问题发展几何直观与创新意识。题目难度分层（★☆☆到★★★），既有教材变式题又有跨学科情境题（如物理光的反射），助力学生巩固基础并提升综合应用能力，也为教师提供精准分层的复习素材，提高教学针对性。

第二章　素养提优测试卷 初中同步培优卷 一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分.每小题只有一项是 符合题目要求的) 1. (2025河南平顶山汝州期中,★☆☆)下列说法正确的是  (        ) A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补 D. 直线a,b,c在同一平面内,若a⊥b,c⊥b,则a⊥c B 初中同步培优卷 解析   A.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平 行,故A错误; B.在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直, 故B正确; C.两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补,故C错误; D.直线a,b,c在同一平面内,若a⊥b,c⊥b,则a∥c,故D错误.故选B. 初中同步培优卷 2. (2025广东深圳龙岗期末,★☆☆)如图,要把河中的水引到 水池A中,应在河岸B处(AB⊥CD)开始挖渠才能使水渠的长度 最短,这一做法蕴含的数学原理是 (        ) A. 垂线段最短 B. 经过一点有无数条直线 A C. 两点确定一条直线 D. 两点之间,线段最短 初中同步培优卷 3. (2025山东青岛即墨期末,★☆☆)如图,用量角器度量几个 角的度数,下列结论正确的有 (        ) A. ∠AOD与∠BOC互补　　    B. ∠AOB=140° C. ∠AOB=∠DOE　　     D. ∠AOB是∠COD的余角 A 初中同步培优卷 解析    A.由题图得∠AOD=130°,∠BOC=50°, 因为130°+50°=180°,所以∠AOD与∠BOC互补,故此选项正确; B.由题图得∠AOB=40°,故此选项错误; C.由题图得∠AOB=40°,∠DOE=50°,所以∠AOB≠∠DOE,故 此选项错误; D.由题图得∠AOB=40°,∠COD=40°,所以∠AOB不是∠COD 的余角,故此选项错误.故选A. 初中同步培优卷 4. (★☆☆)如图,下列说法错误的是 (        ) A. ∠2与∠4是同位角　　     B. ∠2与∠3是同旁内角 C. ∠1与∠2是内错角　　     D. ∠1与∠A是内错角 C 解析    根据同位角、内错角、同旁内角的定义知A,B,D 选项中的说法正确,C选项中的说法错误,故选C. 初中同步培优卷 5. (2025陕西西安期末,★☆☆)如图,直线AB,CD被直线CE,BF所 截,点E,F分别在AB,CD上,现有以下条件:①∠AEC=∠C; ②∠BEC+∠C=180°;③∠C=∠BFD.其中能判定AB∥CD的是  (        )   A. ①②　　    B. ②③　　    C. ①③　　    D. ①②③ A 初中同步培优卷 解析    ①∠AEC=∠C,根据内错角相等,两直线平行,可得 AB∥CD; ②∠BEC+∠C=180°,根据同旁内角互补,两直线平行,可得AB ∥CD; ③∠C=∠BFD,根据同位角相等,两直线平行,可得EC∥BF. 综上,能判定AB∥CD的是①②,故选A. 初中同步培优卷 6. (★☆☆)折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动, 折纸与自然科学结合在一起,不仅成为建筑学院的教具,还发 展出了折纸几何学.按如图所示的方法折纸,则下列说法不正 确的是     (        )   C A. ∠1与∠3互余 B. ∠2=90° C. EA平分∠BEF D. ∠1与∠AEC互补 初中同步培优卷 解析    由题意,得2(∠1+∠3)=180°,所以∠1+∠3=90°,即 ∠1与∠3互余,故A项说法正确. 因为∠1+∠3=90°,所以∠2=90°,故B项说法正确. 因为∠2=90°,∠1+∠3=90°,所以∠2≠∠1,即EA不平分∠BEF,故C项说法错误. 因为∠1+∠AEC=180°,所以∠1与∠AEC互补,故D项说法正确. 故选C.关键点拨　折叠前的角若没有出现在图中,则可添加 辅助线构造,以顺利解决问题. 初中同步培优卷 7. (2025山东青岛李沧期末,★★☆)如图,四条线段AB,CD,EF,GH的端点均在正方形网格的格点上,下列结论正确的是 (    )   D A. CD⊥EF　   B. AB∥EF C. CD∥GH　    D. AB⊥CD 解析    利用网格特点,易得没有线段互相平行,AB⊥CD,故选D. 初中同步培优卷 8. 【学科特色·教材变式P54T9】(2025山西太原期末,★★☆) 小文通过编程设计机器人的队形.如图,点A,B,C,D分别表示某 一时刻4个机器人的位置,其中点B在A的北偏东65°的方向上, 点C在B的北偏西30°的方向上,CD与AB平行,则∠BCD的度数 为 (        )   D A. 125°　　    B. 115°　　     C. 105°　　    D. 95° 初中同步培优卷 解析    如图,由题意可知AB∥CD,AE∥BF,   所以∠EAB+∠ABF=180°,∠DCB+∠ABC=180°. 所以∠ABC=180°-65°-30°=85°. 所以∠DCB=180°-∠ABC=180°-85°=95°.故选D. 初中同步培优卷 9. (★★☆)如图所示的“箭头”图形中,AB∥CD,∠B=∠D=80°, ∠E=∠F =47°,则图中∠G的度数是 (        )   A. 80°　　    B. 76°　　    C. 66°　　    D. 56° C 初中同步培优卷 解析    C　如图,延长AB交EG于点M,延长CD交GF于点N,过 点G作AB的平行线GH.   因为∠EBA=∠FDC=80°, 初中同步培优卷 所以∠EBM=180°-∠EBA=100°,∠FDN=180°-∠FDC=100°, 所以∠EMA=180°-∠EBM-∠E=33°,∠FNC=180°-∠FDN- ∠F=33°. 因为AB∥CD,AB∥HG,所以HG∥CD∥AB, 所以∠MGH=∠EMA=33°,∠NGH=∠FND=33°, 所以∠EGF=33°+33°=66°. 初中同步培优卷 10. 【新考向·规律探究题】(★★★)如图,直线AB∥CD,EF分 别交AB,CD于点E,F,作∠BEF,∠DFE的平分线相交于点K,作 ∠BEK,∠DFK的平分线相交于点K1,作∠BEK1,∠DFK1的平分 线相交于点K2,……,依此类推,作∠BE ,∠DF 的平分线 相交于点Kn,则∠Kn与∠K的数量关系为 (        ) A A. ∠Kn= ∠K　　    B. ∠Kn= ∠K C. ∠Kn= ∠K　　  D. ∠Kn= ∠K 初中同步培优卷 解析    如图,过K点作KG∥AB,   因为AB∥CD,所以KG∥AB∥CD, 所以∠BEK=∠EKG,∠DFK=∠GKF, 初中同步培优卷 所以∠EKF=∠EKG+∠GKF=∠BEK+∠DFK. 同理,∠K1=∠BEK1+∠DFK1. 因为∠BEK,∠DFK的平分线相交于点K1, 所以∠BEK1=∠KEK1,∠KFK1=∠DFK1. 所以∠K1= ∠EKF.同理,∠K2= ∠K1= ∠EKF. 依此类推,可得∠Kn= ∠EKF.故选A. 初中同步培优卷 二、填空题(共6小题,每小题4分,共24分) 11. (★☆☆)如图,直线AB,CD交于点E,EF,EG分别是AB,CD的 垂线,则图中∠DEF的余角有_______个.       3     解析　∠DEF的余角有3个,分别是∠DEB,∠GEF,∠AEC. 初中同步培优卷 12. 【新考向·动手操作题】(2025山东济南商河期中节选,★☆☆) 在“形美数学”的课堂中,小明把一副三角尺(一块含30°,60°,一块含45°,45°)按如图所示的不同摆法摆放,其中,∠α与∠β相等的摆法是_______;∠α与∠β互补的摆法是______. (填写所有可能摆法的序号) 　④     　②③     初中同步培优卷 解析　题图①中,∠α+∠β=90°; 题图②中,∠α=∠β=180°-45°=135°; 题图③中,设两直角重合的角为∠1, 则∠1+∠α=∠1+∠β=90°,所以∠α=∠β. 题图④中,∠α+∠β=360°-90°-90°=180°. 所以∠α与∠β相等的摆法是②③;∠α与∠β互补的摆法是④. 初中同步培优卷 13. 【跨物理·光的反射】(2025广东揭阳揭西期末,★★☆)如 图,科学兴趣小组发现,将光线AB照在平面镜MN上会形成反 射光线BP,且两条光线与MN形成的夹角相等,即∠MBA=∠NBP.将一条平行于AB的光线CD照在平面镜EF上,两条反射光线交 于点P,若∠CDP=40°,∠BPD=70°,则AB与MN形成的夹角 ∠MBA为________°.     75     初中同步培优卷 解析　如图,过点P作PQ∥CD,所以∠DPQ=∠CDP=40°. 因为∠BPD=70°,所以∠BPQ=30°. 因为AB∥CD,所以PQ∥AB. 所以∠ABP=∠BPQ=30°. 所以∠MBA=∠NBP= (180°-∠ABP)=75°. 故答案为75. 初中同步培优卷 14. (2025河南郑州管城期末,★★☆)如图,某工程队在铺设天 然气管道到某段路的B点时,施工人员遇到了一处无法穿越的 地质障碍,不得不调整铺设路线.新的铺设路线在B的南偏东30°方向上,且∠BOC=55°,若要回到最初的铺设方向上,则必须 保证∠OCD=_________°.     115     初中同步培优卷 解析　如图,过点O作OE∥AB. 由题意,得∠ABF=90°,AB∥CD, 所以AB∥OE∥CD. 因为∠OBF=30°, 所以∠ABO=∠ABF+∠OBF=120°. 因为AB∥OE,所以∠BOE=180°-∠ABO=60°. 因为∠BOC=55°,所以∠COE=∠BOC+∠BOE=115°. 因为OE∥CD,所以∠DCO=∠COE=115°. 初中同步培优卷 15. (★★☆)如图,四边形ABCD为一长方形纸带,AB∥CD,将纸带 ABCD沿EF折叠,A、D两点分别与A'、D'对应,若∠3=55°,则 ∠1-∠2的度数为____________.       7.5°     初中同步培优卷 解析　设∠1=x. 因为AB∥CD,所以∠AEF=∠1=x. 由折叠知∠DFE=∠D'FE,∠A'EF=∠AEF=x. 因为∠3=55°,所以∠DFE=55°+x. 因为∠DFE+∠1=180°, 所以55°+x+x=180°,解得x=62.5°. 所以∠2=180°-2∠AEF=180°-2×62.5°=55°. 所以∠1-∠2=62.5°-55°=7.5°. 初中同步培优卷 16. 【新课标·几何直观】(2025山西晋中介休期中,★★★)如图, a,b,c三根木棒钉在一起,∠1=70°,∠2=100°,现将木棒a,b同 时绕着自身与c相交的点顺时针旋转一周,速度分别为2度/秒 和12度/秒,则从开始运动经过_______秒木棒a,b首次平行.       15     解析　设从开始运动经过t秒,木棒a,b首次平行,根据题意,可 得100-2t=70-(12t-180),所以t=15. 初中同步培优卷 三、解答题(共56分) 17. (2025陕西汉中南郑期末,★☆☆)(8分)如图,AB∥CD,∠B= 72°,EF平分∠BEC,EG⊥EF,求∠DEG的度数.   初中同步培优卷 解析　因为AB∥CD,所以∠B=∠DEB=72°. 因为EF⊥EG,所以∠FEG=90°. 所以∠DEG+∠CEF=90°,∠BEG+∠BEF=90°. 因为EF平分∠BEC,所以∠BEF=∠CEF. 所以∠DEG=∠BEG= ∠DEB=36°. 初中同步培优卷 18. 【新课标·推理能力】(★☆☆)(8分)如图,直线AB,CD相交 于点O,ON平分∠BOD,OM⊥ON. (1)若∠AOC=64°,求∠MOB的度数. (2)试说明:OM平分∠AOD. 初中同步培优卷 解析    (1)因为∠AOC=64°,所以∠BOD=64°, 因为ON平分∠BOD,所以∠BON= ∠BOD=32°, 因为OM⊥ON,所以∠MON=90°, 所以∠MOB=∠MON+∠BON=90°+32°=122°. (2)因为OM⊥ON,所以∠MON=∠MOD+∠NOD=90°, 所以∠AOM+∠BON=180°-∠MON=90°, 所以∠MOD+∠NOD=∠AOM+∠BON, 因为ON平分∠BOD,所以∠BON=∠NOD, 所以∠MOD=∠AOM,即OM平分∠AOD. 初中同步培优卷 19. (2025河南平顶山鲁山期中,★★☆)(12分)如图,已知AC∥ FE,∠1+∠2=180°. (1)请判断∠FAB与∠BDC之间的数量关系,并说明理由. 以下是小明的解题过程,请补充完整. 解:∠FAB=∠BDC,理由如下: 因为AC∥EF(已知), 所以∠1+∠FAC=180°(_______). 又因为∠1+∠2=180°(已知), 所以_______(同角的补角相等). 初中同步培优卷 所以FA∥CD(_______). 所以∠FAB=∠BDC(_______). (2)若AC平分∠FAD,EF⊥BE于点E,∠FAD=70°,求∠BCD的度数. 初中同步培优卷 解析    (1)两直线平行,同旁内角互补;∠FAC=∠2;内错角相 等,两直线平行;两直线平行,同位角相等. (2)因为EF⊥BE,所以∠E=90°. 因为AC∥EF,所以∠ACB=∠2+∠BCD=∠E=90°. 因为AC平分∠FAD,∠FAD=70°, 所以∠FAC= ∠FAD=35°. 因为AF∥CD,所以∠2=∠FAC=35°. 所以∠BCD=90°-35°=55°. 初中同步培优卷 20. (2025浙江温州期末,★★☆)(12分)如图,∠ABC=90°,在线 段AC上取点D,作DE⊥AB于点E,∠1=∠2. (1)判断BF与AC是否平行,并说明理由. (2)若∠3-∠2=50°,∠F=2∠2,求∠2的度数.   初中同步培优卷 解析    (1)平行,理由如下: 因为DE⊥AB,所以∠AED=90°. 因为∠ABC=90°,所以∠AED=∠ABC, 所以ED∥BC,所以∠2=∠C, 因为∠1=∠2,所以∠1=∠C,所以BF∥AC. (2)设∠2=x,所以∠F=2∠2=2x. 因为BF∥AC, 所以∠FDC=∠F=2x. 初中同步培优卷 因为∠3-∠2=50°, 所以∠3=50°+x. 因为∠2+∠3+∠FDC=180°, 所以4x+50°=180°, 解得x=32.5°,即∠2=32.5°. 初中同步培优卷 21. 【新课标·推理能力】(★★★)(16分) 【问题初探】 (1)在数学活动课上,李老师给出如下问题:如图①,已知三角形 ABC,点D在BC延长线上,DF∥CA,∠EDF=∠BAC, 试说明:AB∥DE. 小军同学从DF∥AC这个条件出发给出如下解题思路:如图 ②,延长BA交DF于点H,使这两条平行线被直线BH所截. 小博同学从结论AB∥DE出发给出如下解题思路:如图③,连 接AD,使直线AB与直线DE被直线AD所截. 初中同步培优卷 请你选择一名同学的解题思路,写出解题过程. 【类比分析】 (2)李老师发现之前两名同学都很好地构造出两条平行线的 截线,从而转化成角,体现了转化的数学思想,为了帮助学生更 好地感悟转化思想,李老师提出下面的问题,请你解答. 如图④,直线AB∥CD,三角形EFM的顶点E在直线AB上,∠GHN 的顶点H在直线CD上,FM∥HN,∠EFM=∠GHN.试说明: ∠CHG=∠BEF. 初中同步培优卷 【学以致用】 (3)如图⑤,直线AB∥CD,点M,N分别在直线AB,CD上,点E在直 线AB,CD之间,∠MEN=140°,MG平分∠AME,NH平分∠END, NF∥MG,直接写出∠FNH的度数.            初中同步培优卷 初中同步培优卷 解析    (1)选择小军同学的解题思路: 如图1,延长BA交DF于点H.   因为DF∥AC,所以∠BAC=∠AHD. 因为∠EDF=∠BAC,所以∠EDF=∠AHD.所以AB∥DE. 初中同步培优卷 选择小博同学的解题思路: 如图2,连接AD.   因为DF∥AC,所以∠CAD=∠FDA. 因为∠EDF=∠BAC,所以∠BAD=∠EDA.所以AB∥DE. 初中同步培优卷 (2)如图3,设射线HG交直线AB于点Q,射线HN交EF于点P.   因为HN∥FM,所以∠2=∠EFM. 因为∠EFM=∠GHN,所以∠GHN=∠2. 所以EF∥HQ,所以∠1=∠FEB.因为AB∥CD,所以∠1=∠CHG. 初中同步培优卷 所以∠CHG=∠BEF. (3)∠FNH的度数为20°. 详解:如图4,设射线NF交直线AB于点K,过点E作直线l∥AB,   因为MG平分∠AME,NH平分∠END,所以∠1=∠2,∠3=∠ENH. 初中同步培优卷 因为AB∥CD,所以AB∥CD∥l. 所以∠1+∠2+∠5=2∠1+∠5=180°,∠6=2∠3. 所以∠5=180°-2∠1. 因为GM∥NK,所以∠1=∠4. 因为AB∥CD,所以∠4=∠3+∠FNH.所以∠1=∠3+∠FNH. 因为∠5=180°-2∠1,所以∠5=180°-2∠3-2∠FNH. 因为∠5+∠6=140°,所以180°-2∠3-2∠FNH+2∠3=140°. 所以∠FNH=20°. 初中同步培优卷 $