第一章 整式的乘除 素养提优测试卷-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（北师大版·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了整式运算与应用的核心知识，涵盖科学记数法、幂的运算、乘法公式及代数式求值等内容，通过基础题、综合题及数学思想题（如整体思想、数形结合）串联知识点，帮助学生构建完整的知识网络。 其亮点在于融合学科特色与新考向，如用图形验证平方差公式培养几何直观，通过新定义运算题发展抽象能力，设计★☆☆到★★★分层练习。这种设计能提升学生运算能力与模型意识，助力教师精准把握学情，提高复习效率。

第一章　素养提优测试卷 时间：90分钟 满分：100分 初中同步培优卷 一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分.每小题只有一项是 符合题目要求的) 1. (2025广东揭阳揭西期末,★☆☆)某款无人机的影像传感器 像素点间距为0.000 024米,能够捕捉到丰富的细节. 数据0.000 024用科学记数法表示为 (        ) A. 2.4×10-5　　    B. 2.4×10-6　　  C. 24×10-7　　    D. 0.24×10-5 A 解析    0.000 024=2.4×10-5.故选A. 初中同步培优卷 2. (2025四川泸州中考,★☆☆)下列运算正确的是 (        ) A. 4a-3a=1　　     B. (2a)-1=  C. (3a3)2=9a6　　    D. (a-b)2=a2-b2 C 解析    A选项,4a-3a=a,故此选项错误; B选项,(2a)-1= ,故此选项错误; C选项,(3a3)2=9a6,故此选项正确; D选项,(a-b)2=a2-2ab+b2,故此选项错误. 故选C. 初中同步培优卷 3. (2024河南平顶山宝丰期末,★☆☆)下列各式中能用平方差 公式计算的是(        ) A. (-x+2y)(x-2y) 　　     B. (1-5m)(5m-1) C. (3x-5y)(3x+5y) 　　    D. (a+b)(-a-b) C 解析     (3x-5y)(3x+5y)=9x2-25y2,故选C. 初中同步培优卷 4. (2025山西太原期末,★☆☆)下列运算正确的是 (        ) A. 3a·2ab=6a2b　　     B. a(a2-5)=a3-5 C. (-2a2+a)÷(-a)=2a　　    D. (a+b)(a-b)=(a-b)2 A 解析    A.3a·2ab=6a2b,原运算正确; B.a(a2-5)=a3-5a,原运算错误; C.(-2a2+a)÷(-a)=2a-1,原运算错误; D.(a+b)(a-b)=a2-b2,原运算错误. 故选A. 初中同步培优卷 5. (2024河北中考,★★☆)若a,b是正整数,且满足  = , 则a与b的关系正确的是(       ) A. a+3=8b　　    B. 3a=8b　　    C. a+3=b8　　    D. 3a=8+b A 解析    由题意,得8×2a=(2b)8,所以2a+3=28b,所以a+3=8b.故选A. 初中同步培优卷 6. 【学科特色·整体思想】(2025陕西西安未央期末,★★☆) 已知m+n=-3,mn=-3,则(2-m)(2-n)的值为 (        ) A. -5　　    B. 7　　    C. 1　　    D. 13 B 解析    因为m+n=-3,mn=-3, 所以(2-m)(2-n)=4-2n-2m+mn =mn-2(m+n)+4=-3-2×(-3)+4=-3+6+4=7. 故选B. 初中同步培优卷 7. 【学科特色·数形结合思想】(2025山东枣庄峄城期末,★★☆) 如图,把一张长方形纸片沿着线段AB剪开,把剪成的两张纸片 拼成如图②所示的图形,由此可以验证的等式是 (         ) A A. (a+b)(a-b)=a2-b2　 　    B. (a-b)2=a2-2ab+b2 C. (a+b)2=a2+2ab+b2　　    D. (ab)2=a2b2 初中同步培优卷 解析    题图①阴影部分的面积为(a+b)(a-b), 题图②阴影部分的面积为a2-b2, 所以(a+b)(a-b)=a2-b2.故选A. 初中同步培优卷 8. 【学科特色·方程思想】(2025山东青岛市北期中,★★☆) 一块正方形的林地,若将一边增加5米,另一边增加3米,那么扩 建后的林地面积比原来增加了71平方米,则原正方形的边长 是 (        ) A. 7米　　    B.  米 C. 3米　　    D. 4米 A 解析    设原正方形的边长是x米, 由题意,得(x+5)(x+3)-x2=71,解得x=7. 所以原正方形的边长为7米.故选A. 初中同步培优卷 9. (★★☆)已知a=255,b=344,c=533,d=622,则a,b,c,d的大小关系是  (        ) A. a>b>c>d　　    B. c>b>d>a　　     C. b>c>a>d　　    D. d>b>c>a B 解析    因为a=255=(25)11=3211,b=344=(34)11=8111,c=533=(53)11=1 2511,d=622=(62)11=3611,125>81>36>32, 所以c>b>d>a.故选B. 初中同步培优卷 10. 【新考向·阅读理解题】(2025山东济南平阴期中,★★★) 在数学中,为了书写简便,18世纪数学家欧拉引进了求和符号 “ ”.例如:1+2+3+…+9+10简记为 ;(x+1)+(x+2)+(x+3)+ …+(x+19)+(x+20)简记为 (x+k);已知 (x-k)2=2x2+mx+n,则m+ n+b的值是 (        ) A. 6　　     B. -6 C. -11　　    D. 11 A 初中同步培优卷 解析    由题意知 (x-k)2=(x-2)2+(x-3)2+…+(x-b)2, 因为 (x-k)2=2x2+mx+n, 所以x2项的系数为2,所以b=3. 所以 (x-k)2=(x-2)2+(x-3)2=2x2-10x+13=2x2+mx+n, 所以m=-10,n=13. 所以m+n+b=-10+13+3=6. 故选A. 初中同步培优卷 二、填空题(共6小题,每小题4分,共24分) 11. (2025河北张家口经开区期末,★☆☆)计算(-2)0+ = _______. 10     解析    (-2)0+ =1+9=10,故答案为10. 初中同步培优卷 12. (2025山东青岛李沧期末,★☆☆)在我国,平均每平方千米 的陆地一年从太阳得到的能量,相当于燃烧1.3×108 kg的煤所 产生的能量.我国约9.6×106 km2的陆地,一年从太阳得到的能 量相当于燃烧_____________kg的煤所产生的能量.(结果用科 学记数法表示)     1.248×1015     解析    1.3×108×9.6×106=1.248×1015 kg. 所以我国陆地一年从太阳得到的能量相当于燃烧1.248×1015 kg 的煤所产生的能量. 初中同步培优卷 13. (2025山东菏泽鄄城期末,★☆☆)若3m=4,3n=2,则3m+2n=______.     16 解析　因为3m=4,3n=2, 所以3m+2n=3m·32n=3m·(3n)2=4×22=16. 初中同步培优卷 14. 【新考向·新定义题】(2025河南平顶山汝州期中改编,★ ★☆)规定两数a,b之间的一种运算,记作(a,b):如果ac=b,那么 (a,b)=c.例如:因为23=8,所以(2,8)=3.根据上述规定,可得(2 035, 1)- =_________.     1     初中同步培优卷 解析　因为任何不为零的数的零次方为1, 所以(2 035,1)=0. 因为2 035-1= , 所以 =-1. 故(2 035,1)- =0-(-1)=1. 初中同步培优卷 15. (2025山西太原期中,★★★)如图,在正方形ABCD中,点E, F分别在AD,DC边上,且AE=5,CF=2,长方形DEGF的面积是12. 分别以DE,DF为边在正方形ABCD外部作正方形①和正方形 ②,则正方形①和正方形②的面积的和为__________.     33     初中同步培优卷 解析　设正方形①的边长为a,正方形②的边长为b, 则ab=S长方形DEGF=12, 因为AE=5,CF=2, 所以AD=5+a,CD=2+b, 因为四边形ABCD为正方形, 所以AD=CD,所以5+a=2+b,所以b-a=3. 所以(b-a)2=b2-2ab+a2=9=b2-24+a2, 所以b2+a2=33,所以正方形①和正方形②的面积的和为33. 初中同步培优卷 16. 【新考向·阅读理解题】(2025湖南邵阳新宁期中,★★★) 数字“1”非常神奇,它可以写成 ,也可以写成 × ,还可以 写成2× ,请把数字“1”进行转换,然后计算    + =_________.     2     初中同步培优卷 解析       +  =2×    +  =2×   +  =2×  +  =2× +  =2- +  =2. 初中同步培优卷 三、解答题(共56分) 17. (★☆☆)(12分)计算: (1)(-2)2- +(π-5)0. (2) ·(-9ab)÷ . (3)9992-998×1 002. (4)(2y+3x+1)(3x-2y+1). 初中同步培优卷 解析    (1)原式=4-2+1=3. (2)原式= a4b2·(-9ab)÷  =-a5b3÷ =2a2b. (3)原式=(1 000-1)2-(1 000-2)×(1 000+2) =1 0002-2×1 000×1+12-1 0002+22 =-2 000+1+4=-1 995. (4)原式=(3x+1+2y)(3x+1-2y)=(3x+1)2-(2y)2=9x2+6x+1-4y2. 初中同步培优卷 18. (2025河南郑州期末,★☆☆)(6分)阅读下面这位同学的解 答过程,并完成任务. 先化简,再求值:[(2a-b)2-a(4a-b)]÷(-b),其中a=1,b=2. 解:原式=(4a2-4ab+b2-4a2-ab)÷(-b) 第一步 =(-5ab+b2)÷(-b) 第二步 =5a-b. 第三步 当a=1,b=2时,原式=5×1-2=3. 第四步 初中同步培优卷 任务: (1)第一步运用到了哪种乘法公式:________.(填“完全平方 公式”或“平方差公式”) (2)以上步骤从第_______步开始出现了错误,错误的原因是 ____________. (3)请你写出正确的解答过程. 初中同步培优卷 解析    (1)完全平方公式. (2)一;去括号时符号错误. (3)[(2a-b)2-a(4a-b)]÷(-b) =(4a2-4ab+b2-4a2+ab)÷(-b) =(-3ab+b2)÷(-b)=3a-b. 当a=1,b=2时,原式=3×1-2=1. 初中同步培优卷 19. 【新考向·数学文化】(2025山东济南平阴期中节选,★★ ☆)(6分)“杨辉三角”揭示了(a+b)n(n为非负数)展开式的各 项系数的规律.在西方,这个表叫作帕斯卡三角形,帕斯卡是在 1654年发现这一规律的,比杨辉要迟393年,比贾宪迟600年.请 仔细观察“杨辉三角”中每个数字与其上一行的左右两个数 字之和的关系: 初中同步培优卷 根据上述规律,完成下列各题: (1)将(a+b)5展开后,各项的系数和为_______. (2)将(a+b)n展开后,各项的系数和为_______. (3)(a+b)6=__________________. 初中同步培优卷 解析    (1)32. 详解:1+5+10+10+5+1=32. (2)2n. 详解:第二行:(a+b)1展开后各项系数和为1+1=2=21, 第三行:(a+b)2展开后各项系数和为1+2+1=4=22, 第四行:(a+b)3展开后各项系数和为1+3+3+1=8=23, …… 第(n+1)行:(a+b)n展开后各项系数和为2n. 故答案为2n. (3)a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6. 初中同步培优卷 20. 【学科特色·教材变式P31T10】(2025陕西咸阳永寿期中, ★★☆)(10分)如图所示的是一块长为(3x+y)米,宽为(2x+y)米 的长方形的小区公共活动场所,中间的正方形是舞台,边长为 (x+y)米,舞台两边的通道宽为x米. (1)阴影部分是绿化部分,求绿化 部分的面积.(用含x,y的代数式表示) (2)若x=20,y=15,求绿化部分的面积. 初中同步培优卷 解析    (1)由题图可知,绿化部分的面积 =(3x+y)(2x+y)-(x+y)2-x(3x+y-x-y) =6x2+3xy+2xy+y2-x2-2xy-y2-2x2 =(3x2+3xy)平方米. 答:绿化部分的面积为(3x2+3xy)平方米. (2)当x=20,y=15时,3x2+3xy=3×202+3×20×15=2 100(平方米). 答:绿化部分的面积为2 100平方米. 初中同步培优卷 21. 【学科特色·转化思想】(2025山东济南高新区期末,★★☆) (10分)有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式 问题来解决,请先阅读下面的解题过程,再解答问题. 例:若x=6 789×6 786,y=6 788×6 787,试比较x,y的大小. 解:设6 788=a, 则x=(a+1)(a-2)=a2-a-2,y=a(a-1)=a2-a, 因为x-y=(a2-a-2)-(a2-a)=-2<0, 所以x<y. 初中同步培优卷 问题: (1)若x=3 987×3 991,y=3 988×3 986,试比较x,y的大小. (2)若x=2 034×2 038-2 035×2 037,y=2 035×2 039-2 036× 2 038,试比较x,y的大小. 初中同步培优卷 解析    (1)设3 988=a, 则x=(a-1)(a+3)=a2+2a-3,y=a(a-2)=a2-2a. 因为x-y=(a2+2a-3)-(a2-2a)=-3+4a>0, 所以x>y. (2)设2 037=b, 则x=(b-3)(b+1)-b(b-2)=b2-2b-3-b2+2b=-3, y=(b-2)(b+2)-(b-1)(b+1)=b2-4-b2+1=-3. 所以x=y. 初中同步培优卷 22. 【新课标·运算能力】(★★★)(12分)将完全平方公式(a ±b)2=a2±2ab+b2进行适当变形,可以解决很多数学问题.如a2+b2 =(a+b)2-2ab,a2+b2=(a-b)2+2ab. 【阅读材料】 已知(3-x)(x-1)=-5,求(3-x)2+(x-1)2的值. 解:设3-x=a,x-1=b, 则(3-x)(x-1)=ab=-5,a+b=3-x+x-1=2. 因为a2+b2=(a+b)2-2ab, 所以(3-x)2+(x-1)2=[(3-x)+(x-1)]2-2(3-x)(x-1)=22-2×(-5)=14. 初中同步培优卷 【类比探究】请仿照材料中的方法,解决下列问题. (1)若x+y=6,x2+y2=30,求xy的值. (2)已知(4-x)(5-x)=8,求(4-x)2+(5-x)2的值. 【问题解决】 (3)【学科特色·多解法】如图,长方形 APIE和长方形HQCF的长和宽分别为a,b(a<6,b<6),将它们 放置在边长为6的正方形ABCD中,若长方形的周长为16,面积 为15.75,求图中阴影部分的面积S1+S2+S3. 初中同步培优卷 解析    (1)因为(x+y)2=x2+2xy+y2,x+y=6,x2+y2=30, 所以62=30+2xy,所以xy=3. (2)设4-x=a,5-x=b, 则(4-x)(5-x)=ab=8,a-b=4-x-5+x=-1. 因为a2+b2=(a-b)2+2ab, 所以(4-x)2+(5-x)2 =[(4-x)-(5-x)]2+2(4-x)(5-x) =(-1)2+2×8=17. 初中同步培优卷 (3)【解法一】直接求三个阴影部分的面积和: 因为长方形的周长为16,面积为15.75, 所以a+b=16÷2=8,ab=15.75. 所以S1+S2+S3=(6-a)2+(a+b-6)2+(6-b)2 =[(6-a)+(6-b)]2-2(6-a)(6-b)+(a+b-6)2 =[12-(a+b)]2-2(6-a)(6-b)+(a+b-6)2 =[12-(a+b)]2-2[36-6(a+b)+ab]+(a+b-6)2 =(12-8)2-2×(36-6×8+15.75)+(8-6)2 =16-7.5+4=12.5. 初中同步培优卷 【解法二】利用面积和差关系求解: 因为长方形的周长为16,面积为15.75, 所以a+b=16÷2=8,ab=15.75. 所以S1+S2+S3=62-2ab+2(a+b-6)2 =36-2×15.75+2×(8-6)2 =36-31.5+8 =12.5. 初中同步培优卷 $