第二章 相交线与平行线 素养基础测试卷-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（北师大版·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了相交线与平行线的核心知识，涵盖直线位置关系、垂直平行的性质与判定、角的关系等内容，通过概念辨析题、性质应用题和实际情境题串联知识点，帮助学生构建完整的几何知识网络。 其特色在于融入推理能力和分类讨论思想，设计分层练习，如折叠纸带判断边线平行（培养几何直观）、旋转三角尺讨论AB与DE平行时刻（发展推理能力）。这种设计兼顾不同水平学生，助力知识巩固，也为教师提供精准复习方向。

第二章　素养基础测试卷 时间：90分钟 满分：100分 初中同步培优卷 一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分.每小题只有一项是 符合题目要求的) 1. (2025山东济南天桥期末,★☆☆)下列说法: ①在同一平面内,两条直线的位置关系有平行,相交,垂直三种; ②平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; ③平面内,过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行; ④同角或等角的补角相等. 其中正确的有 (        ) A. 4个 　　    B. 3个 C. 2个 　　    D. 1个 B 初中同步培优卷 解析    同一平面内,两条直线的位置关系有相交和平行, 垂直是相交的特殊情况,故①说法错误.②③④都正确.故选B. 初中同步培优卷 2. (2025山西晋中平遥期中,★☆☆)如图,点A为某小区的位置, 原自来水供水路线为AB,现进行改造,沿路线AO铺设管道,设 计要求与主管道BO连接且AO⊥BO,这样管道路线最短,工程 造价最低,依据是 (        ) C A. 经过两点,有且仅有一条直线 B. 经过一点,有无数条直线 C. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 D. 两点之间,线段最短 初中同步培优卷 3. (2025贵州中考,★☆☆)下列图中能说明∠1=∠2一定成立 的是 (        )  　　     　　     　           A 解析    观察四个选项,只有A选项可以依据对顶角相等,得 到∠1=∠2,其他选项无法说明∠1=∠2,故选A. 初中同步培优卷 4. (2025甘肃兰州榆中期中,★☆☆)如图,直线AB与直线DE相 交于点F,点C为平面上一点,连接BC,CF,下列说法:①∠1和∠5 是同位角;②∠2和∠5是内错角;③∠4和∠6是对顶角;④∠2 和∠3是同旁内角;⑤∠5和∠6互为补角.其中正确的个数是  (        ) B A. 4 　　    B. 3 C. 2　　     D. 1 初中同步培优卷 解析    ①∠1和∠5是直线BC,DE被直线AB所截得的同位 角,故①正确; ②∠2和∠5不是内错角,故②不正确; ③∠4和∠6不是对顶角,故③不正确; ④∠2和∠3是直线AB,BC被直线CF所截得的同旁内角,故④ 正确; ⑤∠5+∠6=180°,所以∠5和∠6互为补角,故⑤正确. 综上所述,正确的有①④⑤,共3个.故选B. 初中同步培优卷 5. (2025陕西汉中南郑期末,★☆☆)如图所示,在下列四组条 件中,能判定AB∥CD的是 (        )   A. ∠1=∠2　　    B. ∠ABD=∠BDC C. ∠3=∠4　　    D. ∠BAD+∠ABC=180° B 初中同步培优卷 解析    A.因为∠1=∠2,所以AD∥BC,故此选项不符合题意; B.因为∠ABD=∠BDC,所以AB∥CD,故此选项符合题意; C.因为∠3=∠4,所以AD∥BC,故此选项不符合题意; D.因为∠BAD+∠ABC=180°,所以AD∥BC,故此选项不符合题 意.故选B. 初中同步培优卷 6. (2025河南郑州期末,★☆☆)如图,将一块三角尺的直角顶 点放在直尺的一边上,当∠1=37°时,∠2的度数为 (        )   A. 53°　　    B. 54°　　    C. 43°　　    D. 37° A 初中同步培优卷 解析    如图,因为直尺的两边互相平行,∠1=37°,所以∠3= ∠1=37°.   因为∠2+∠3=90°,所以∠2=53°.故选A. 初中同步培优卷 7. (★★☆)如图,点O在直线AB上,OD平分∠AOC,∠DOE=90°, 那么下列说法不一定正确的是 (        )   A. ∠2与∠AOE互补　　    B. ∠2与∠3互余 C. ∠1与∠3互余　　     D. ∠3与∠4相等 A 初中同步培优卷 解析    因为OD平分∠AOC,所以∠1=∠2. 因为∠DOE=90°, 所以∠1+∠4=180°-∠DOE=90°,∠2+∠3=90°. 所以∠1+∠3=90°. 所以∠3=∠4. 故B,C,D中说法正确. 无法判断A选项的说法是否正确,故选A. 初中同步培优卷 8. (2024黑龙江大庆中考,★★☆)如图,在一次综合实践课上, 为检验纸带①②的边线是否平行,小庆和小铁采用了两种不 同的方法:小庆把纸带①沿AB折叠,量得∠1=∠2=59°.小铁把 纸带②沿GH折叠,发现GD与GC所在直线重合,HF与HE所在 直线重合,且点C,G,D在同一直线上,点E,H,F也在同一直线上, 则下列判断正确的是 (        ) 初中同步培优卷 A. 纸带①②的边线都平行 B. 纸带①②的边线都不平行 C. 纸带①的边线平行,纸带②的边线不平行 D. 纸带①的边线不平行,纸带②的边线平行 初中同步培优卷 答案    D 解析    纸带①如图, 对于纸带①,因为∠1=∠2=59°,所以∠ADB=∠1=59°. 所以∠DBA=180°-∠ADB-∠2=62°. 由翻折的性质得∠ABC=∠DBA=62°, 初中同步培优卷 所以∠2≠∠ABC,所以AD与EB不平行. 对于纸带②,由翻折的性质得∠CGH=∠DGH,∠EHG=∠FHG, 因为点C,G,D在同一直线上,点E,H,F也在同一直线上, 所以∠CGH+∠DGH=180°,∠EHG+∠FHG=180°. 所以∠CGH=∠DGH=90°,∠EHG=∠FHG=90°. 所以∠CGH+∠EHG=180°,所以CD∥EF. 综上所述,纸带①的边线不平行,纸带②的边线平行. 故选D. 初中同步培优卷 9. (★★☆)如图,AB∥EF,∠C=90°,则α,β,γ的关系是 (        )   A. β+γ-α=90°　　    B. α+β+γ=180° C. α+β-γ=90°　　    D. β=α+γ C 初中同步培优卷 解析    如图,过点C,D分别作AB的平行线CG,DH,   因为AB∥EF,所以AB∥CG∥DH∥EF, 所以∠BCG=α,∠GCD=∠CDH,∠HDE=γ, 因为∠GCD=90°-∠BCG=90°-α, ∠CDH=β-∠HDE=β-γ, 所以90°-α=β-γ,所以α+β-γ=90°.故选C. 方法点拨　过拐点添加辅助线,构造两直线被第三条直线所 截的基本图形,便可以利用平行线的性质解决问题. 初中同步培优卷 10. 【新课标·推理能力】(2025河南郑州期末,★★★)如图, AB∥CD,F为AB上一点,H为CD上一点,FD∥EH,过点F作FG ⊥EH于点G,且FE平分∠AFG,∠AFG=2∠D.有下列结论: ①∠D=30°;②FD平分∠HFB;③∠AFE+∠BFD=∠E. 其中正确的结论为 (        ) A A. ①③　　    B. ①②　　    C. ②③　　    D. ①②③ 初中同步培优卷 解析    因为FG⊥EH,所以∠FGH=∠FGE=90°. 因为FD∥EH,所以∠DFG=180°-∠FGH=90°. 所以∠AFG+∠BFD=90°. 因为AB∥CD,所以∠BFD=∠D. 因为FE平分∠AFG,∠AFG=2∠D, 所以∠AFE=∠EFG=∠D, 又因为∠AFE+∠EFG+∠BFD=90°, 所以3∠D=90°,所以∠D=30°,故①正确. 初中同步培优卷 由已知条件无法得到FD平分∠HFB,故②错误. 因为FD∥EH,所以∠E+∠EFD=180°. 因为∠AFE+∠EFD+∠BFD=180°, 所以∠AFE+∠BFD=∠E,故③正确. 综上,正确的结论为①③,故选A. 初中同步培优卷 二、填空题(共6小题,每小题4分,共24分) 11. (★☆☆)如图所示,已知AB,CD是一条河的两岸,并且AB∥ CD,点E为直线AB,CD外一点,现想过点E作河岸CD的平行线, 只需过点E作_________的平行线即可,理由是______________ ______________________. 直线的两条直线平行     　平行于同一条     AB     初中同步培优卷 解析　因为AB∥CD,过点E所作的直线与AB平行,所以过点E 所作的直线与CD平行.理由是平行于同一条直线的两条直线 平行. 初中同步培优卷 12. (2025广东河源源城期末,★☆☆)如图,直线AB,CD相交于点O, OE⊥AB,垂足是点O,∠BOC=140°,则∠DOE=________°.       50     初中同步培优卷 解析　因为直线AB,CD相交于点O, 所以∠AOD=∠BOC=140°. 因为OE⊥AB, 所以∠AOE=90°. 所以∠DOE=∠AOD-∠AOE=140°-90°=50°. 初中同步培优卷 13. (2025山东济南商河期末改编,★★☆)将直角三角尺和直尺 按如图所示的方式放置,如果∠α=44°,则∠β的度数是_______.       46° 初中同步培优卷 解析　如图,由题意知AB∥CD,∠FEG=90°, 过E作EM∥AB,则EM∥CD∥AB,   所以∠FEM=∠α,∠GEM=∠β. 因为∠FEM+∠GEM=∠FEG=90°, 所以∠α+∠β=90°. 因为∠α=44°, 所以∠β=90°-44°=46°. 初中同步培优卷 14. (★☆☆)如图所示的是一种躺椅及其简化结构示意图,扶 手AB与底座CD都平行于地面,靠背DM与支架OE平行,前支架 OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D,AB与DM交于点N, 当前支架OE与后支架OF垂直,且∠ODC=32°时,人躺着最舒 服,此时扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM=_________°.     122     初中同步培优卷 解析　由题意知AB∥CD,∠ODC=32°, 所以∠BOD=∠ODC=32°. 因为OE⊥OF,所以∠EOF=90°. 所以∠EOB=90°+32°=122°. 因为OE∥DM,所以∠ANM=∠EOB=122°. 初中同步培优卷 15. (2025山东济南商河期末,★★☆)某小区车库门口的“曲 臂直杆道闸”可抽象为如图所示的模型.已知AB垂直于水平 地面AE.当车牌被自动识别后,曲臂直杆道闸的BC段将绕点B 缓慢向上抬高,CD段一直保持水平状态(即CD与AE始终平行), 在该运动过程中,当∠ABC=150°时,∠BCD的度数为_______.       120 ° 初中同步培优卷 解析　如图,过点B作BM∥CD.   因为CD∥AE,所以BM∥CD∥AE. 所以∠MBA+∠BAE=180°, ∠MBC+∠BCD=180°. 因为AB⊥AE,所以∠BAE=90°. 所以∠MBA=90°. 因为∠ABC=150°,所以∠MBC=∠ABC-∠MBA=60°. 所以∠BCD=180°-∠MBC=120°. 初中同步培优卷 16. 【学科特色·分类讨论思想】(2024河南平顶山宝丰期末, ★★★)在一次课外活动中,小明将一副直角三角尺按如图所 示的方式放置,E在AC上,∠C=∠DAE=90°,∠B=60°,∠D=45°. 小明将△ADE从图中位置开始,绕点A按每秒5°的速度顺时针 旋转一周,在旋转过程中,第_________秒时,边AB与边DE平行.     15或51     初中同步培优卷 解析　①当DE在AB上方时,如图所示. 因为AB∥DE,所以∠BAE=∠E=45°. 所以∠CAE=∠BAC+∠BAE=30°+45°=75°. 所以旋转时间为 =15(秒). 初中同步培优卷 ②当DE在AB下方时,如图所示. 因为AB∥DE,所以∠BAE+∠E=180°. 所以∠BAE=180°-∠E=180°-45°=135°. 所以∠CAE=∠BAE-∠BAC=135°-30°=105°. 所以旋转角度为360°-∠CAE=255°. 所以旋转时间为 =51(秒). 综上所述,在旋转过程中,第15秒或51秒时,边AB与边DE平行. 故答案为15或51. 初中同步培优卷 三、解答题(共56分) 17. 【学科特色·教材变式P45尝试·思考】(2025陕西西安未央 期末,★☆☆)(8分)如图,已知直线l及l上方一点A,请仅用圆规 和直尺作一直线m,使得直线m与直线l平行(不写作法,保留作 图痕迹). 初中同步培优卷 解析　如图(作法不唯一).   初中同步培优卷 18. (2025山东济南历下期中,★☆☆)(8分)如图,直线AB,CD相 交于点O,OE⊥CD,若∠BOD=33°,求∠AOE的度数.   初中同步培优卷 解析　因为直线AB,CD相交于点O,∠BOD=33°, 所以∠AOC=∠BOD=33°. 因为OE⊥CD,所以∠COE=90°. 所以∠AOE=∠COE-∠AOC=90°-33°=57°. 初中同步培优卷 19. (2025山东济南商河期末,★★☆)(8分)如图,在四边形 ABCD中,点E为AB延长线上一点,点F为CD延长线上一点,连 接EF,交BC于点G,交AD于点H,若∠1=∠2,∠A=∠C,说明:∠E=∠F. 解:因为∠1=∠3(________), ∠1=∠2(已知), 所以_______=_______(等量代换). 所以AD∥BC(________________). 所以∠A+∠4=180°(_________________). 初中同步培优卷 因为∠A=∠C(已知),所以∠C+∠4=180°(等量代换). 所以_______∥_______(同旁内角互补,两直线平行). 所以∠E=∠F(________________).   初中同步培优卷 解析　对顶角相等;∠2;∠3;同位角相等,两直线平行; 两直线平行,同旁内角互补;CF;EA;两直线平行,内错角相等. 初中同步培优卷 20. (2025上海金山期中,★★☆)(10分)为提高快递包裹的分 拣效率,物流公司引进了快递自动分拣流水线,如图①所示,图 ②是部分流水线抽象而成的数学模型示意图,其中∠EOF+ ∠OFC=180°,OE平分∠AOC,CF平分∠OCD.试说明:AB∥CD. 初中同步培优卷 解析　因为∠EOF+∠OFC=180°,所以OE∥CF, 所以∠COE=∠OCF. 因为OE平分∠AOC,CF平分∠OCD, 所以∠AOC=2∠COE,∠OCD=2∠OCF, 所以∠AOC=∠OCD,所以AB∥CD. 初中同步培优卷 21. (★★☆)(10分)如图,CD⊥AB于D,点F是BC上任意一点,FE ⊥AB于E,且∠1=∠2,∠3=80°. (1)试说明:∠B=∠ADG. (2)求∠BCA的度数. 初中同步培优卷 解析    (1)因为CD⊥AB,FE⊥AB,所以CD∥EF, 所以∠2=∠BCD. 因为∠1=∠2,所以∠1=∠BCD, 所以BC∥DG,所以∠B=∠ADG. (2)因为DG∥BC,所以∠3=∠BCA. 因为∠3=80°,所以∠BCA=80°. 初中同步培优卷 22. 【新课标·推理能力】(★★☆)(12分)综合与探究. 【感知】如图①,AB∥CD,∠AEP=40°,∠PFD=130°,求∠EPF 的度数. 小乐想到了以下方法: 解:如图②,过点P作PM∥AB,所以∠EPM=∠AEP=40°. 因为AB∥CD,所以PM∥CD.所以∠FPM+∠PFD=180°. 因为∠PFD=130°,所以∠FPM=180°-130°=50°. 所以∠EPF=∠EPM+∠FPM=40°+50°=90°. 初中同步培优卷 【迁移】 (1)如图③,已知AB∥CD,∠ABP=130°,∠CDP=160°, 则∠BPD=_______°. 【探究】 (2)如图④,已知AB∥CD,∠AEP=50°,∠PFC=106°,求∠EPF的度数. 【应用】 (3)如图⑤,在(2)的条件下,∠AEP的平分线与∠PFC的平分线 交于点G,求∠EGF的度数. 初中同步培优卷 初中同步培优卷 解析    (1)如图1,过点P作PH∥AB,   因为AB∥CD,所以AB∥PH∥CD, 所以∠ABP+∠BPH=180°,∠CDP+∠DPH=180°, 所以∠ABP+∠BPH+∠CDP+∠DPH=360°, 即∠ABP+∠BPD+∠CDP=360°. 因为∠ABP=130°,∠CDP=160°, 初中同步培优卷 所以∠BPD=360°-(∠ABP+∠CDP)=360°-(130°+160°) =70°.故答案为70. (2)如图2,过点P作PQ∥AB,   所以∠QPE=∠AEP=50°. 因为AB∥CD,PQ∥AB,所以PQ∥CD. 初中同步培优卷 所以∠QPF=∠PFC=106°. 所以∠EPF=∠QPF-∠QPE=106°-50°=56°. (3)因为EG是∠AEP的平分线,FG是∠PFC的平分线, 所以∠AEG= ∠AEP=25°,∠GFC= ∠PFC=53°. 如图3,过点G作GN∥AB, 初中同步培优卷 所以∠NGE=∠AEG=25°. 因为AB∥CD,所以GN∥CD, 所以∠NGF=∠GFC=53°, 所以∠EGF=∠NGF-∠NGE=53°-25°=28°. 初中同步培优卷 $