第一章 整式的乘除 素养基础测试卷-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（北师大版·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了整式运算、乘法公式、数形结合及代数推理等核心知识，通过选择、填空、解答题的梯度设计，将幂的运算、平方差公式、完全平方公式等知识点串联，构建完整的代数知识网络。 其亮点在于融入“无字证明”等数形结合案例培养几何直观，通过代数推理题发展推理意识，分层题目（★☆☆到★★★）满足不同学生需求。这种设计帮助学生巩固基础提升能力，也为教师提供精准复习素材。

第一章　素养基础测试卷 时间：90分钟 满分：100分 初中同步培优卷 一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分.每小题只有一项是 符合题目要求的) 1. (2025吉林长春中考,★☆☆)下列计算一定正确的是 (  ) A. a+2a=3a　　    B. a·a2=a2 C. a+a=a2　　     D. (2a)2=2a2 A 初中同步培优卷 解析    A选项,a+2a=3a,故此选项正确; B选项,a·a2=a3,故此选项错误; C选项,a+a=2a,故此选项错误; D选项,(2a)2=4a2,故此选项错误. 故选A. 初中同步培优卷 2. (2025河南郑州期末,★☆☆)在乘法公式的学习过程中,我 们已经学会了运用以下图形验证著名的平方差公式.这种根 据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法,简称为“无 字证明”.实际上它也可用于验证数与代数、图形与几何等 知识类别中的许多数学公式和规律,它体现的数学思想是  (        ) B A. 整体思想　　    B. 数形结合思想 C. 分类思想　　    D. 类比思想 初中同步培优卷 3. (2025山东济南平阴期中,★☆☆)下列各式中,能用平方差 公式计算的是     (        ) A. (2a-3b)(-2a+3b)　　    B. (a+3b)(a+3b) C. (a-3b)(-a-3b)　　     D. (3a-4b)(4a+3b) C 初中同步培优卷 解析    A.(2a-3b)(-2a+3b)=-(2a-3b)(2a-3b),不符合两个数的 和与这两个数的差相乘的形式,所以不能用平方差公式计算. B.(a+3b)(a+3b)不符合两个数的和与这两个数的差相乘的形 式,所以不能用平方差公式计算. C.(a-3b)(-a-3b)=-(a-3b)(a+3b),符合两个数的和与这两个数的 差相乘的形式,所以能用平方差公式计算. D.(3a-4b)(4a+3b)不符合两个数的和与这两个数的差相乘的 形式,所以不能用平方差公式计算.故选C. 初中同步培优卷 4. (2025河南郑州管城期末,★☆☆)已知:a=-42,b= ,c=  ,a,b,c的大小关系是 (        ) A. a<b<c　　    B. c<a<b C. b<a<c　　    D. a<c<b D 初中同步培优卷 解析    a=-42=-16,b= =16,c= =1,因为-16<1<16, 所以a<c<b,故选D. 方法技巧　分数的负整数指数幂,需把分数变为其倒数,负整 数指数变为其相反数.如 =(-4)2=16. 初中同步培优卷 5. (★☆☆)下列计算正确的是 (        ) A. x2·(-2x)3=-6x5 B. a3b2÷(4a2b)= a C. (a-2b)2=a2-2ab+4b2 D. (-2x+3y)(-2x-3y)=4x2-9y2 D 初中同步培优卷 解析    A项,x2·(-2x)3=x2·(-8x3)=-8x5,故A选项错误. B项,a3b2÷(4a2b)= ab,故B选项错误. C项,(a-2b)2=a2-4ab+4b2,故C选项错误. D项,(-2x+3y)(-2x-3y)=4x2-9y2,故D选项正确. 故选D. 初中同步培优卷 6. (2025河北唐山曹妃甸期中,★☆☆)数学课上,老师讲了单 项式与多项式相乘的方法,放学后,小丽回到家拿出课堂笔记, 认真地复习老师课上讲的内容,她突然发现一道题:-3x2(2x____ ____+1)=-6x3+3x2y-3x2,那么横线上的是 (        ) A. -y　　    B. +y　　    C. -xy　　    D. +xy A 解析     (-6x3+3x2y-3x2)÷(-3x2)=2x-y+1,故选A. 初中同步培优卷 7. (2025河南平顶山鲁山期中,★★☆)图①和图②是两块面 积相等的草地,图①由面积分别是a2,ab,b2,ab的4部分组成,图 ②是一个长为2(a+b)的长方形,则这个长方形的宽是 (  )   A.  (a+b)　　    B. (a-b) A C.  (a-b)　　    D. (a+b) 初中同步培优卷 解析    因为题图①中图形的面积为a2+2ab+b2,所以题图 ②的长方形的面积为a2+2ab+b2,因为(a+b)2=a2+2ab+b2, 所以 (a+b)·2(a+b)=a2+2ab+b2, 所以这个长方形的宽为 (a+b),故选A. 初中同步培优卷 8. 【学科特色·方程思想】(2025陕西西安长安期中,★★☆) 若a2bn+2·a2mb2n-1的计算结果与-3a4b7是同类项,则m+n的值为  (        ) A. 1　　    B. 2　　    C. 3　　    D. 4 C 解析    因为a2bn+2·a2mb2n-1=a2+2mbn+2+2n-1=a2+2mb3n+1, 所以a2+2mb3n+1与-3a4b7是同类项, 所以2+2m=4,3n+1=7. 所以m=1,n=2.所以m+n=1+2=3.故选C. 初中同步培优卷 9. (2025山东枣庄市中期中,★★☆)已知(x+y)2=9,(x-y)2=1,则x2 +y2的值为 (        ) A. 4　　    B. 5　　    C. 8　　    D. 10 B 解析     x2+y2=[(x+y)2+(x-y)2]÷2=(9+1)÷2=5,故选B. 初中同步培优卷 10. 【新考向·代数推理】(★★★)已知多项式ax+b与2x2+2x+ 3乘积的展开式中不含x的一次项,且常数项为-9,则ab的值为  (        ) A.  　　    B. - 　　    C. -8　　    D. -6 A 初中同步培优卷 解析     (ax+b)(2x2+2x+3) =2ax3+2ax2+3ax+2bx2+2bx+3b =2ax3+(2a+2b)x2+(3a+2b)x+3b, 因为乘积的展开式中不含x的一次项,且常数项为-9, 所以3a+2b=0,3b=-9, 所以a=2,b=-3, 所以ab=2-3= ,故选A. 初中同步培优卷 二、填空题(共6小题,每小题4分,共24分) 11. (2025陕西西安期末,★☆☆)某AI模型在分析微型数据单 元时,测得每个单元的存储量为0.000 002 5千兆字节. 0.000 002 5用科学记数法表示为____________.     2.5×10-6     解析    0.000 002 5=2.5×10-6. 归纳总结　科学记数法的表示形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n 为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少 位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数的绝对值大于 1时,n是正数.当原数的绝对值小于1时,n是负数. 初中同步培优卷 12. (2025陕西汉中南郑期末,★☆☆)若(-5)3x+1=1,则x=_______. 　-      解析　因为(-5)3x+1=1,所以3x+1=0,解得x=- . 初中同步培优卷 13. 【学科特色·易错题】(2024湖南邵阳邵东期末,★☆☆)若 多项式4x2-kxy+9y2是完全平方式,则k的值是___________.     ±12     解析　因为4x2-kxy+9y2是完全平方式,(2x±3y)2=4x2±12xy+9y2, 所以k=±12. 易错警示　完全平方式a2+2ab+b2中,a,b的符号可正可负,对应 的2ab的符号有两种情况,即正或负. 初中同步培优卷 14. (2024黑龙江大庆中考,★☆☆)如图所示,一个球恰好放在 一个圆柱形盒子里,记球的体积为V1,圆柱形盒子的容积为V2, 则 =_____. 球的体积公式:V= πr3,其中r为球的半径    初中同步培优卷 解析　设球的半径为r,则V1= πr3, 因为该球恰好放在一个圆柱形盒子里, 所以圆柱形盒子的高为2r, 所以V2=2πr3. 所以 = πr3÷(2πr3)= . 初中同步培优卷 15. (2024广西崇左宁明期末,★★☆)若xm=2,xn=5,则x3m-2n=_____. 解析　因为xm=2,xn=5, 所以x3m-2n=(xm)3÷(xn)2=23÷52= . 初中同步培优卷 16. 【新课标·抽象能力】(2025陕西咸阳永寿期中,★★★)如 图,有两个正方形卡片,点A,M,B在同一直线上.若AB=5,且两个 正方形的面积之和为13,则阴影部分的面积为_________.       6     初中同步培优卷 解析　如图,连接CM, 设AM=a,BM=b. 因为AB=5,所以a+b=5.所以(a+b)2=25. 所以a2+2ab+b2=25. 因为两个正方形的面积之和为13,所以a2+b2=13. 所以2ab=25-13=12,所以ab=6. 所以阴影部分的面积为2× ab=6. 初中同步培优卷 三、解答题(共56分) 17. (8分)计算: (1)(2025广东揭阳榕城期末,★☆☆)(π-3)0+ +|-2|. (2)(2025山东济南高新区期中,★☆☆)(-4a3+12a2b-7a3b2)÷(-4a2). 初中同步培优卷 解析    (1)(π-3)0+ +|-2| =1+(-8)+2 =1+2-8=-5. (2)(-4a3+12a2b-7a3b2)÷(-4a2) =a-3b+ ab2. 初中同步培优卷 18. (2025陕西西安经开区期末,★☆☆)(8分)先化简,再求值: [(x+2y)2-(2x+y)(2x-y)+x(3x-y)]÷(-5y),其中x= ,y=- . 解析    [(x+2y)2-(2x+y)(2x-y)+x(3x-y)]÷(-5y) =(x2+4xy+4y2-4x2+y2+3x2-xy)÷(-5y) =(3xy+5y2)÷(-5y) =- x-y. 当x= ,y=- 时,原式=- × - = . 初中同步培优卷 19. (★☆☆)(8分)用乘法公式计算: (1)912-88×92. (2)(m+2n-3)(m-2n+3). 解析    (1)912-88×92=(90+1)2-(90-2)×(90+2) =902+180+1-902+4=185. (2)(m+2n-3)(m-2n+3)=[m+(2n-3)][m-(2n-3)] =m2-(2n-3)2=m2-4n2+12n-9. 初中同步培优卷 20. (2025广东深圳光明期中,★★☆)(10分)如图,学校操场主 席台前计划修建一块凹字形花坛. (1)用含a,b的整式表示花坛的面积. (2)若a=4,b=3,工程费为500元/平方米,求修建花坛的总工程费 为多少元. 初中同步培优卷 解析    (1)(a+3b+a)(2a+b)-2a·3b =4a2+8ab+3b2-6ab =(4a2+2ab+3b2)平方米. 答:花坛的面积是(4a2+2ab+3b2)平方米. (2)当a=4,b=3时, 4a2+2ab+3b2=4×42+2×4×3+3×32=115(平方米). 115×500=57 500(元). 答:修建花坛的总工程费为57 500元. 初中同步培优卷 21. 【新考向·代数推理】(10分)观察下列式子: ①60×60=602-02=3 600. ②59×61=(60-1)×(60+1)=602-12=3 599. ③58×62=(60-2)×(60+2)=602-22=3 596. ④57×63=(60-3)×(60+3)=602-32=3 591. …… 【探究】 (1)通过上面的式子探究得到的规律是(60+m)(60-m)=______ _____;观察各等式的左边发现两个因数之和都是120,而两数乘 初中同步培优卷 积却随着两个因数的接近程度的变化而变化,当两个因数____ ______时,这两个因数的乘积最大. 【应用】 (2)根据上面的规律思考:若a+b=400,则ab的最大值是______. 【拓展】 (3)将一根长40厘米的铁丝折成一个长方形,设它的一边长为x 厘米,面积为S平方厘米,写出S与x之间的关系式.当x为何值时, S取得最大值? 初中同步培优卷 解析    (1)602-m2;相等. 详解:由题意可知(60+m)(60-m)=602-m2, 当两个因数相等时,这两个因数的乘积最大. (2)由(1)得,当a=b=200时,ab的值最大, 即ab的最大值为200×200=40 000.故答案为40 000. (3)因为长方形的周长为40厘米,一条边的长为x厘米,所以其 邻边的长为(20-x)厘米,由长方形的面积公式可得S=x(20-x), 易知当x=20-x,即x=10时,x(20-x)的值最大,即S的值最大. 综上,S与x之间的关系式为S=x(20-x),当x=10时,S取得最大值. 初中同步培优卷 22. 【新课标·运算能力】(2025山东济南平阴期末,★★★)(12分) 我们知道,用两种不同的方法计算同一个几何图形的面积,可以得到一些代数恒等式.例如:图①可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2. 请解答下列问题: (1)根据图②,写出一个代数恒等式:____________. (2)如图③,现有边长分别为a,b的正方形纸片和长为b,宽为a的 长方形纸片各若干张,试选用这些纸片,拼出一个面积为2a2+5 ab+2b2的长方形(每种纸片至少用一次,每两张纸片之间既不 初中同步培优卷 重叠,也无空隙),并标出此长方形的长和宽. (3)如图④,写出一个代数恒等式,利用这个恒等式,解决下面的 问题:若a+b+c=8,ab+bc+ac=22,求a2+b2+c2的值. 初中同步培优卷 解析    (1)(x+y)(x+3y)=x2+4xy+3y2. (2)如图.(答案不唯一)   (3)由题图④可得,(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc, 所以a2+b2+c2=(a+b+c)2-(2ab+2ac+2bc)=82-2×22=64-44=20. 初中同步培优卷 $