专项突破7 等腰三角形中忽略分类讨论的易错类型-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦等腰三角形中忽略分类讨论的易错类型，通过边不确定、角不确定、顶点不确定、形状不确定四大易错点展开，结合具体例题导入，关联三角形三边关系、等腰三角形性质等知识，搭建学习支架帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于融入“两圆一中垂”等模型剖析，通过分类讨论训练培养学生几何直观与推理意识，如顶点不确定问题中用圆和中垂线找等腰三角形顶点。例题解析详细且设易错警示，助力学生掌握数学思维方法，教师可直接用于培优教学提升效率。

专项突破7　等腰三角形中忽略 分类讨论的易错类型 初中数学培优课堂  　因边不确定引起的分类讨论 1.(2025广东揭阳揭西期末)若等腰三角形的周长是30 cm,其 中一条边长为6 cm,则等腰三角形的腰长为 ( ) A.18 cm　　    B.6 cm或12 cm C.12 cm　　    D.6 cm     C     初中数学培优课堂 解析　当底边长为6 cm时,腰长为(30-6)÷2=12(cm), 因为6+12>12, 所以满足三角形三边关系. 当腰长为6 cm时,底边长为30-2×6=18(cm), 因为6+6<18, 所以不满足三角形三边关系,构不成三角形. 故等腰三角形的腰长为12 cm.故选C. 初中数学培优课堂 2.【学科特色·易错题】(2025山东济南高新区期末)若等腰三 角形有两条边长分别为2和5,则这个等腰三角形的周长为 ________.     12　     解析　①当5是腰长时,三角形的三边长分别为5,5,2,能组成三 角形,周长=5+5+2=12. ②当5是底边长时,三角形的三边长分别为2,2,5,不能组成三角 形. 故答案为12. 初中数学培优课堂 易错警示　题目中没有明确腰、底边的长分别是多少,所以要进行讨论,还要注意应用三角形的三边关系验证能否组成三角形. 初中数学培优课堂  　因角不确定引起的分类讨论 3.(2025广东东莞东城期末)若等腰三角形一个角的度数是70 °,则这个等腰三角形底角的度数是 ( ) A.55°　　     B.70°或40° C.55°或70°　　    D.40°     C     初中数学培优课堂 解析　因为等腰三角形一个角的度数是70°, 所以分两种情况讨论: ①等腰三角形的底角的度数是70°; ②等腰三角形的顶角的度数是70°,则等腰三角形的底角的度 数是 =55°. 综上所述,这个等腰三角形底角的度数是55°或70°,故选C. 初中数学培优课堂 4.【学科特色·易错题】等腰三角形的两个内角的比是1∶2, 则这个等腰三角形的顶角的度数是_________________. 　    36°或90°　     解析　分两种情况讨论:当顶角与底角的比为1∶2时,顶角的 度数为36°;当底角与顶角的比为1∶2时,顶角的度数为90°.故 顶角的度数是36°或90°. 易错警示　由于等腰三角形的顶角与底角不确定,因此应分两种情况讨论. 初中数学培优课堂  　因顶点不确定引起的分类讨论 5.【学科特色·两圆一中垂模型】如图,M,N为4×4方格纸中两 格点,若在方格纸中取一点P(P在格点上),使得△MNP为等腰 三角形,则点P的个数为 ( ) A.3　　    B.4　　    C.5　　    D.6     C     初中数学培优课堂 解析　如图,分三种情况: 当MP=MN时,以点M为圆心,以MN长为半径作圆,则点P1,P2即 为所求;当NP=NM时,以点N为圆心,以NM长为半径作圆,则点P3即为所求; 当PM=PN时,作线段MN的垂直平分线,则点P4,P5即为所求. 综上所述,使得△MNP为等腰三 角形的点P的个数为5,故选C. 初中数学培优课堂 模型剖析　 “两圆一中垂”模型 已知:A,B是平面内两点,找一点C,使得△ABC为等腰三角形. 结论:(1)若AB=AC,则点C在以点A为圆心,AB的长为半径的圆上; (2)若AB=BC,则点C在以点B为圆心,AB的长为半径的圆上; (3)若CA=CB,则点C在线段AB的垂直平分线上. 注意:如图,“两圆一中垂”上的点都能与A,B构成等腰三角 形,但要除去5个点:①原有的点A,B;②因共线无法构成三角形 初中数学培优课堂 的点M,N,以及线段AB的中点E.   初中数学培优课堂 6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以△ABC的一边为边画等腰三 角形,使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上,则可以画出 的不同的等腰三角形的个数最多为 ( ) A.4　　    B.5　　    C.6　　    D.7     D     初中数学培优课堂 解析　①以B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,如图1,△ BCD就是所求的其中一个等腰三角形; ②以A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点E,如图2,△ACE就 是所求的其中一个等腰三角形; ③以C为圆心,BC长为半径画弧,交AC于点F,如图3,△BCF就 是所求的其中一个等腰三角形; ④以C为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点K,如图4,△BCK就 是所求的其中一个等腰三角形; ⑤作AC的垂直平分线交AB于点H,如图5,△ACH就是所求的 初中数学培优课堂 其中一个等腰三角形; ⑥作AB的垂直平分线交AC于G,如图6,△AGB就是所求的其 中一个等腰三角形; ⑦作BC的垂直平分线交AB于I,如图7,△BCI就是所求的其中 一个等腰三角形. 综上,可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为7,故选D. 初中数学培优课堂 初中数学培优课堂 7.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=75°,分别以A,B为圆心,以 AB的长为半径的两条弧相交于点P,则∠APC的度数为 __________. 45°或75°　     初中数学培优课堂 解析　分两种情况讨论如下: ①当交点P在AB的左侧时,连接PB,如图1. 由作图可知AP=AB=PB,所以△ABP为等边三角形.所以∠PAB =60°. 因为AB=AC,∠ABC=75°, 所以∠ACB=∠ABC=75°,AP=AB=AC. 所以∠BAC=180°-(∠ACB+∠ABC)=30°. 所以∠PAC=∠PAB+∠BAC=60°+30°=90°. 所以△APC为等腰直角三角形.所以∠APC=45°. 初中数学培优课堂        ②当交点P在AB的右侧时,连接PB,如图2. 同理△ABP为等边三角形,∠BAC=30°,AP=AC, 所以∠PAB=60°.所以∠CAP=∠PAB-∠BAC=30°. 所以∠APC= (180°-∠CAP)= ×(180°-30°)=75°. 综上所述,∠APC的度数为45°或75°. 初中数学培优课堂 8.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=30°,射线CP从射线CA开始绕点 C逆时针旋转α(0°<α<75°),与射线AB相交于点D,将△ACD沿 射线CP翻折至△A'CD处,射线CA'与射线AB相交于点E.若△A 'DE是等腰三角形,则α的度数为_________________________. 　    22.5°或45°或67.5°　     初中数学培优课堂 解析　由折叠得∠ACD=∠A'CD=α= ∠ACA',∠A=∠CA'D=30°. 当点A'位于AB下方时,分三种情况: 当A'D=A'E时, ∠A'DE=∠A'ED= (180°-∠A')=75°, 所以∠ACE=180°-∠AEC-∠A=180°-(180°-∠A'ED)-∠A=∠A' ED-∠A=45°, 所以∠ACD=∠A'CD=α= ∠ACE=22.5°; 初中数学培优课堂 当DA'=DE时,∠A'=∠DEA'=30°, 易判断∠DEA'>30°,所以此种情况不成立; 当ED=EA'时,如图,   所以∠EDA'=∠A'=30°, 初中数学培优课堂 所以∠DEA'=180°-∠EDA'-∠A'=120°, 所以∠ACE=180°-∠AEC-∠A=180°-(180°-∠DEA')-∠A=∠ DEA'-∠A=90°, 所以∠ACD=∠A'CD=α= ∠ACE=45°. 当点A'位于AB上方时,分三种情况: 当A'D=A'E时,如图, 初中数学培优课堂   则∠A'DE=∠A'ED= (180°-∠DA'E)= ∠CA'D=15°, 所以∠ACA'=180°-∠A-∠A'EA=135°, 初中数学培优课堂 所以∠ACD=∠A'CD=α= ∠ACA'=67.5°; 当DA'=DE和ED=EA'时,由等腰三角形的底角不可能为钝角, 可判断这两种情况都不成立. 综上所述,若△A'DE是等腰三角形,则α的度数为22.5°或45°或 67.5°. 故答案为22.5°或45°或67.5°. 初中数学培优课堂  　因形状不确定引起的分类讨论 9.(2025四川德阳旌阳期中)一个等腰三角形一腰上的高与另 一腰上的高的夹角为50度,则该等腰三角形底角的度数为 ______________.     65°或25°　     初中数学培优课堂 解析　分两种情况: 当等腰△ABC是锐角三角形时,如图1. 因为BD⊥AC,CE⊥AB,所以∠ADB=∠BEC=90°. 所以∠A=∠EFB=90°-∠ABD=50°. 因为AB=AC, 所以∠ABC=∠ACB= (180°-∠A)=65°. 初中数学培优课堂        当等腰△ABC是钝角三角形时,如图2. 因为BD⊥AC,CE⊥AB,所以∠ADB=∠BEF=90°. 因为∠EFB=50°,所以∠ABD=90°-∠EFB=40°. 所以∠DAB=90°-∠ABD=50°. 初中数学培优课堂 所以∠BAC=180°-∠DAB=130°. 因为AB=AC, 所以∠ABC=∠ACB= (180°-∠BAC)=25°. 综上所述,底角的度数为65°或25°. 初中数学培优课堂 10.【学科特色·易错题】若等腰三角形一腰上的高与另一腰 的夹角为48°,求底角的度数. 初中数学培优课堂 解析　分两种情况讨论: ①若顶角小于90°,如图1, 因为BD⊥AC,所以∠A+∠ABD=90°, 因为∠ABD=48°,所以∠A=90°-48°=42°, 因为AB=AC, 所以∠ABC=∠C= ×(180°-42°)=69°. 初中数学培优课堂        ②若顶角大于90°,如图2, 同①可得∠DAB=90°-48°=42°, 所以∠BAC=180°-42°=138°, 因为AB=AC, 初中数学培优课堂 所以∠ABC=∠C= ×(180°-138°)=21°. 综上所述,等腰三角形底角的度数为69°或21°. 初中数学培优课堂 $