第五章 专题9 等腰三角形中的分类讨论-【初中学霸创新题】2025-2026学年七年级下册数学习题课件(北师大版·新教材)

该初中数学课件聚焦“等腰三角形中的分类讨论”，通过腰与底、顶角与底角、形状不确定等类型例题导入，衔接轴对称知识，以问题链为支架构建从基础计算到综合应用的学习脉络。 其亮点在于融入人文景观、新定义、项目式学习等情境，以数学眼光观察现实（如斗拱等腰三角形），通过分类讨论培养数学思维（推理意识），用符号运算和几何证明强化数学语言。助力学生提升逻辑思维与创新意识，为教师提供多样化例题素材，提高教学实效。

2 第四章　生活中的轴对称 专题9　等腰三角形中的分类讨论 3 目 录 类型1 腰和底不确定时分类讨论 类型2 顶角和底角不确定时分类讨论 类型3 等腰三角形形状不确定时分类讨论 类型4 其他类型 4 类型1 腰和底不确定时分类讨论 1.已知一个等腰三角形的三边长分别是 6，x+3,12，则x的值是 （ ） A. 3 B. 9 C. 3或9 D. 6或12 B 目录 类型1 类型2 类型3 类型4 5 2. （新情境 人文景观） 初祖庵大殿是河南省现存最早的木构建筑之一，是宋代木构建筑技术的重要例证。其在多处运用了斗拱元素，如图1，从正面观察斗拱可发现其外轮廓形状类似于一个等腰三角形。如图2，若△ABC的周长为24，一边长为6，则此等腰三角形的底边长是 （ ） A. 6 B. 12 C. 6或9 D. 6或12 A 目录 类型1 类型2 类型3 类型4 6 3.四边形 ABCD 的边长如图所示，对角线 AC 的长度随四边形形状的改变而变化。当△ABC 为等腰三角形时，对角线AC的长为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 B 目录 类型1 类型2 类型3 类型4 7 4. 已知等腰三角形的两边长a，b满足（a-4）2+（7-b）2=0，则这个三角形的周长为 。 15或18 目录 类型1 类型2 类型3 类型4 8 类型2 顶角和底角不确定时分类讨论 5.等腰三角形的一个角是80°，它的一个底角的度数为 （ ） A. 40° B. 50° C. 80°或20° D. 80°或50° D 目录 类型1 类型2 类型3 类型4 9 6. 若等腰三角形的一个内角比另一个内角大30°，则这个等腰三角形的底角的度数是 （ ） A. 50° B. 80° C. 50°或70° D. 80°或40° C 目录 类型1 类型2 类型3 类型4 10 7. 【新定义 新概念问题】 （河南省实验中学期末）若在△ABC 中，∠B=2∠C，则称△ABC 为“可爱三角形”，称∠A为“可爱角”。现有一个“可爱且等腰的三角形”，这个三角形的“可爱角”应该是 （ ） A. 45°或36° B. 72°或36° C. 45°或72° D. 36°，45°或72° C 目录 类型1 类型2 类型3 类型4 8. 如图，在△ABC 中，AB=AC，∠B=70°，以点 C 为圆心，以 CA 的长为半径作弧，交直线 BC 于点 P，连接 AP，则∠BAP的度数是 。 15°或75° 目录 类型1 类型2 类型3 类型4 9.已知△ABC。 （1）若∠A-∠B=20°，∠C=2∠B，求∠A的度数； （2）若△ABC 是等腰三角形，∠B=30°，求∠A 的 度数。 解：（1）在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°。 因为∠A-∠B=20°，所以∠A=20°+∠B。 又因为∠C=2∠B，所以20°+∠B+∠B+2∠B=180°， 所以∠B=40°，所以∠A=20°+∠B=60°。 （2）因为△ABC是等腰三角形，∠B=30°，所以有以下情况： ①当∠A，∠B均为等腰三角形的底角时，∠A=∠B=30°。 ②当∠B为等腰三角形的顶角时，∠A=∠C。 因为∠A+∠C+∠B=180°，所以2∠A+30°=180°，所以∠A=75°。 ③当∠A为等腰三角形的顶角时，∠C=∠B=30°。 因为∠A+∠C+∠B=180°，所以∠A+30°+30°=180°， 所以∠A=120°。综上，∠A的度数是30°或75°或120°。 目录 类型1 类型2 类型3 类型4 类型3 等腰三角形形状不确定时分类讨论 10. 在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，直线 AD 与 BC边相交于点D，且将△ABC分别割成两个等腰三角形，则∠BAC= 。 90°或108° 目录 类型1 类型2 类型3 类型4 14 11.在△ABC 中，AB=AC，AB 边的垂线 DE与直线AC交于点D，∠ADE=40°，求∠ABC的度数。 解：当∠A是锐角时，如图1。 因为AB=AC，所以∠ABC=∠C。 因为DE⊥AB，所以∠DEA=90°。 因为∠ADE=40°， 所以∠A=90°-∠ADE=50°， 所以∠ABC=（180°-∠A）=65°。 当∠BAC是钝角时，如图2。 同理，得∠DAE=50°， 所以∠BAC=180°-∠DAE=130°， 所以∠ABC=（180°-∠A）=25°。 综上，∠ABC的度数为65°或25°。 目录 类型1 类型2 类型3 类型4 12.（郑州二七区期中）如图 ，在 △ ABC 中 ，AB=AC，∠B=35°，D 是 BC 边上的动点，连接 AD。若△ABD 为直角三角形，则∠DAC的度数为 。 20°或55° 类型4 其他类型 目录 类型1 类型2 类型3 类型4 13.等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分成18 cm和15 cm两部分，求三角形各边的长。 解：①如图1，因为AB+AD=18cm，BC+CD=15cm，AD+CD=AC，AD=DC， 所以AB+AC+BC=33cm，AB-BC=3cm，所以AB=BC+3。 又因为AB=AC，所以2AB+BC=33cm，所以2（BC+3）+BC=33cm， 解得BC=9cm，所以AC=AB=12cm。 此时三角形各边的长为12cm，12cm，9cm， 满足三角形的三边关系，所以能构成三角形。 ②如图2，AB+AD=15cm，BC+CD=18cm，AD=DC， 所以AB+AC+BC=33cm，BC-AB=3cm，所以BC=AB+3。 又因为AB=AC，所以2AB+BC=33cm， 所以2AB+AB+3=33cm，解得AB=10cm，所以AC=AB=10cm，BC=13cm。 此时三角形各边的长为10cm，10cm，13cm， 满足三角形的三边关系，所以能构成三角形。 综上，三角形各边的长为12cm，12cm，9cm或10cm，10cm，13cm。 目录 类型1 类型2 类型3 类型4 14.已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°。 （1）如图，点D在AB边上，点E在AC边上，BD=CE，BE与CD交于点F。试说明：BF=CF。 （2）若点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点，且BD=CE，BE与CD交于点F。 当△BFD是等腰三角形时，求∠FBD的度数。 解：（1）因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB。 在△BCD和△CBE中，因为BC=CB， ∠DBC=∠ECB，BD=CE 所以△BCD≌△CBE，所以∠BDC=∠CEB。 在△DFB和△EFC中，因为∠BDF=∠CEF，∠DFB=∠EFC,BD=CE 所以△DFB≌△EFC，所以BF=CF。 目录 类型1 类型2 类型3 类型4 （2）因为AB=AC，∠BAC=45°， 所以∠ABC=∠ACB=（180°−∠BAC）=67.5°。 由（1）得△DFB≌△EFC，所以∠FBD=∠FCE，BF=CF。 所以∠FBC=∠FCB。 设∠FBD=∠FCE=x， 则∠FBC=∠FCB=（67.5°-x）， ∠BDF=180°-∠ABC-∠FCB=x+45°， ∠DFB=180°-∠BDF-∠FBD=135°-2x。 因为△BFD是等腰三角形，故分三种情况讨论：①当BD=BF时，此时∠BDF=∠DFB， 所以x+45°=135°-2x，解得x=30°，即∠FBD=30°。 ②当DB=DF时，此时∠FBD=∠DFB， 所以x=135°-2x，得x=45°，即∠FBD=45°。 ③当FB=FD时，此时∠FBD=∠BDF， 所以x=x+45°，不符题意，舍去。 综上，∠FBD的度数为30°或45°。 目录 类型1 类型2 类型3 类型4 15.（新趋势 项目式学习 ）请根据以下素材，完成探究任务。 互为 解：任务2：在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，所以∠ACB=80°。 因为CD=AD，所以△ADC是等腰三角形，所以∠ACD=∠A=40°， 所以∠DCB=∠ACB-∠ACD=40°，所以∠DCB=∠A。 因为∠B=60°，所以∠BDC=180°-∠B-∠DCB=80°， 所以∠BDC=∠ACB，所以△CBD和△ABC互为“等角三角形”， 所以CD为△ABC的“等角分割线”。 目录 类型1 类型2 类型3 类型4 20 任务3：分三种情况： ①当DA=DC时，如图，∠ACD=∠A=42°。 因为CD是△ABC的“等角分割线”， 所以∠BCD=∠A=42°， 所以∠ACB=∠ACD+∠BCD=84°。 ②当AD=AC时，如图，∠ACD=∠ADC=（180°-∠A）=69°。 因为CD是△ABC的“等角分割线”， 所以∠BCD=∠A=42°， 所以∠ACB=∠ACD+∠BCD=111°。 ③当CA=CD时，∠ADC=∠A=42°。 因为CD是△ABC的“等角分割线”， 所以∠BDC=180°-42°=138°=∠ACB， 所以∠B=180°-∠A-∠ACB=0°（舍去）。 综上，∠ACB的度数为84°或111°。 目录 类型1 类型2 类型3 类型4 绿卡图书—走向成功的通行证 22 $