专项突破6　全等三角形的基本模型-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦全等三角形的基本模型，涵盖平移、对称、旋转（含手拉手）、一线三等角（含一线三垂直）四大模型，通过中考及期末真题实例导入，从问题解析到模型特征总结，构建从具体应用到抽象模型的学习支架。 其亮点在于以真题为载体，通过条件选择、推理过程培养学生推理意识（数学思维），模型解读提炼对应边、角关系发展抽象能力（数学眼光），手拉手等动态模型分析增强空间观念。学生能掌握模型应用技巧，教师可获得系统教学资源提升效率。

专项突破6　 全等三角形的基本模型 初中数学培优课堂  　平移模型 1.(2025山东青岛市南期末)如图,在△ABC和△DEF中,AB∥ DE,AB=DE,点B,E,C,F在同一直线上,请从下面的三个条件中 选择一个,用以说明△ABC和△DEF全等,并说明理由. 条件:①BE=CF;②AC=DF;③AC∥DF. 你选择的条件是_______(填写序号). 初中数学培优课堂 解析　若选择①. 理由:因为BE=CF, 所以BE+EC=CF+EC,即BC=EF. 因为AB∥DE, 所以∠B=∠DEF. 在△ABC和△DEF中,  所以△ABC≌△DEF(SAS). 初中数学培优课堂 若选择③. 理由:因为AC∥DF,所以∠ACB=∠F. 因为AB∥DE, 所以∠B=∠DEF. 在△ABC和△DEF中,  所以△ABC≌△DEF(AAS). 不能选择②,添加②无法说明△ABC和△DEF全等. 初中数学培优课堂 模型解读　常见的平移模型:   平移模型中的两三角形通过平移可完全重合,解题时要注意 两三角形的对应边平行(或在同一直线上)且相等. 初中数学培优课堂  　对称模型 2.(2025新疆中考)如图,AD=BC,∠DAB=∠CBA,试说明:AC= BD.   初中数学培优课堂 解析　在△DAB和△CBA中,  所以△DAB≌△CBA(SAS), 所以AC=BD. 初中数学培优课堂 3.(2025湖北中考)如图,AB=AD,AC平分∠BAD.试说明:∠B=∠ D.   初中数学培优课堂 解析　因为AC平分∠BAD, 所以∠BAC=∠DAC. 在△ABC和△ADC中,  所以△ABC≌△ADC(SAS). 所以∠B=∠D. 初中数学培优课堂 模型解读　常见的对称模型: 对称模型中的两三角形沿某直线折叠,可完全重合,有公共边 模型、公共角模型、对顶角模型等.解题时要注意隐含的公 共边相等,公共角相等. 初中数学培优课堂  　旋转模型 i.普通旋转模型 4.(2024云南中考)如图,在△ABC和△AED中,AB=AE,∠BAE= ∠CAD,AC=AD. 试说明:△ABC≌△AED.   初中数学培优课堂 解析　因为∠BAE=∠CAD, 所以∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE, 即∠BAC=∠EAD. 在△ABC与△AED中,  所以△ABC≌△AED(SAS). 初中数学培优课堂 5.(2025四川内江中考)如图,点B,F,C,E在同一条直线上,AC= DF,∠A=∠D,AB∥DE. (1)试说明:△ABC≌△DEF. (2)若BF=4,FC=3,求BE的长.   初中数学培优课堂 解析    (1)因为AB∥DE, 所以∠B=∠E. 在△ABC和△DEF中,  所以△ABC≌△DEF(AAS). (2)由(1)可得△ABC≌△DEF, 所以BC=EF,即BF+CF=EC+CF.所以EC=BF=4. 所以BE=BF+FC+EC=4+3+4=11. 初中数学培优课堂 模型解读　常常见的旋转模型:   旋转模型中的两三角形绕公共顶点旋转一定的角度可完全重 合,旋转过程中,两三角形无重叠或有部分重叠.解题时要注意 找等角,或利用角的和差得到等角. 初中数学培优课堂 ii.手拉手模型 6.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°.点D为直线BC上一动点,以 AD为直角边在AD的右侧作等腰直角三角形ADE,使∠DAE=9 0°,AD=AE,连接CE.        初中数学培优课堂 (1)当点D在线段BC上时,如图1,试说明:△ABD≌△ACE. (2)当点D在线段CB的延长线上时,如图2,判断CE与BC的位置 关系:_______. 初中数学培优课堂 解析    (1)因为∠BAC=90°,∠DAE=90°, 所以∠BAD=90°-∠DAC,∠CAE=90°-∠DAC, 所以∠BAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中,  所以△ABD≌△ACE(SAS). (2)CE⊥BC. 详解:因为∠BAC=∠DAE=90°, 初中数学培优课堂 所以∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE, 所以∠BAD=∠CAE, 在△DAB与△EAC中,  所以△DAB≌△EAC(SAS).所以∠ABD=∠ACE. 因为∠ABC=∠ACB=45°,所以∠ABD=∠ACE=135°. 所以∠BCE=∠ACE-∠ACB=135°-45°=90°, 所以CE⊥BC. 初中数学培优课堂 模型解读　手拉手模型是特殊的旋转模型,常见的手拉手模型如下: 图示       OC在△OAB内且拉手线无交点 OC在△OAB外且拉手线无交点 OC在△OAB外且拉手线有交点 初中数学培优课堂 条件 在等腰△OAB中,OA=OB,在等腰△OCD中,OC=OD,∠AOB=∠COD=α,将△OCD绕点O旋转一定角度后,连接AC,BD(称为“拉手线”,左手拉左手,右手拉右手),若有交点,设交点为点E,连接OE 结论 (1)△AOC≌△BOD,AC=BD(即拉手线相等); (2)EO平分∠AED; (3)∠AEB=∠AOB 初中数学培优课堂  　一线三等角模型 i.普通一线三等角模型 7.(1)探究:如图1,在△ABC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线m上, 并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α(其中α为任意锐角或钝角), 试猜想DE,BD,CE有怎样的数量关系,并说明理由. (2)解决问题:如图2,△ABF和△ACF均为等边三角形,它们的 各个角都为60°.D,E分别是直线m上A点左右两侧的动点,D,E, A互不重合,连接BD,CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断FD 与FE的数量关系,并说明理由. 初中数学培优课堂        初中数学培优课堂 解析    (1)DE=BD+CE. 理由:因为∠BAD+∠CAE=180°-∠BAC, ∠BAD+∠ABD=180°-∠ADB,∠ADB=∠BAC, 所以∠ABD=∠CAE. 在△BAD和△ACE中,  所以△BAD≌△ACE(AAS). 所以BD=AE,AD=CE.所以DE=AE+DA=BD+CE. 初中数学培优课堂 (2)FD=FE. 理由:因为△ABF和△ACF均为等边三角形, 所以AB=AC=AF=BF=CF. 由(1)得∠ABD=∠CAE,△BAD≌△ACE, 所以BD=AE. 因为∠FBA=∠FAC=60°, 所以∠ABD+∠FBA=∠CAE+∠FAC, 即∠FBD=∠FAE. 初中数学培优课堂 在△FBD和△FAE中,  所以△FBD≌△FAE(SAS). 所以FD=FE. 初中数学培优课堂 模型解读　常见的一线三等角模型:             一线三等角模型的特点是三个等角的顶点在同一直线上,此 模型的两三角形有一角相等,另一角相等易证,若有一边相等, 则两三角形全等. 初中数学培优课堂 ii.一线三垂直模型 8.(2025山东济南历下期中节选)【模型探究】 已知△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC.过点C作 直线l,AD⊥l,垂足为点D,BE⊥l,垂足为点E. (1)如图1,已知AD=3,CD=1,连接AE,则△ADE的面积为______. (2)如图2,已知AD=3,CD=1,连接AE,则△ADE的面积为_______. 【方法迁移】 (3)如图3,已知△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC. 初中数学培优课堂 以BC为斜边构造直角三角形BCD,其中CD=3,连接AD,求△ ACD的面积. 【思路拓广】 (4)如图4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=2.请以AB为直 角边在AB左侧构造等腰直角三角形ABD,连接CD,则△BCD 的面积为_______. 初中数学培优课堂 初中数学培优课堂 解析    (1)6. 详解:因为AD⊥l,BE⊥l,所以∠ADC=∠CEB=90°. 所以∠DAC+∠DCA=90°. 因为∠ACB=90°,所以∠DCA+∠ECB=90°. 所以∠DAC=∠ECB. 在△ACD和△CBE中,  所以△ACD≌△CBE(AAS).所以AD=CE. 因为AD=3,所以CE=3. 初中数学培优课堂 因为CD=1,所以DE=CD+CE=1+3=4. 所以△ADE的面积= DE·AD= ×4×3=6. (2)3. 详解:同(1)易得△ACD≌△CBE(AAS), 所以AD=CE. 因为AD=3,所以CE=3. 因为CD=1,所以DE=CE-CD=3-1=2. 所以△ADE的面积= DE·AD= ×2×3=3. 初中数学培优课堂 (3)过点A作AH⊥CD于点H,如图1所示, 所以∠AHC=∠CDB=90°.所以∠CAH+∠ACH=90°. 因为∠ACB=90°,所以∠ACH+∠BCD=90°. 所以∠CAH=∠BCD. 在△CAH和△BCD中,  所以△CAH≌△BCD(AAS).所以AH=CD=3. 所以△ACD的面积= CD·AH= ×3×3=4.5. 初中数学培优课堂             (4)1或2. 详解:依题意有以下两种情况: ①当∠DAB=90°,AD=AB时,过点D作DK⊥AC于点K,如图2所 示. 初中数学培优课堂 同(3)易得△DAK≌△ABC(AAS). 所以AK=BC=2.所以CK=AC-AK=3-2=1. 所以△BCD的面积= BC·CK= ×2×1=1. ②当∠ABD=90°,BD=AB时,过点D作DP⊥BC交BC延长线于 点P,如图3所示. 易得△PDB≌△CBA(AAS).所以PD=BC=2. 所以△BCD的面积= BC·DP= ×2×2=2. 综上所述,△BCD的面积为1或2. 初中数学培优课堂 素养解读　一线三垂直模型是一线三等角模型的特殊情况,当三个等角都是直角时,即为一线三垂直模型. 初中数学培优课堂 $