4.1 第3课时 三角形的高、中线及角平分线-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（北师大版·新教材）

该初中数学课件围绕三角形的高、中线及角平分线展开，通过基础知识点讲解、典型例题解析及易错警示，搭建从概念理解到综合应用的学习支架，帮助学生衔接前后知识，系统掌握性质与计算方法。 其特色在于融合学科特色（教材变式、易错题）与新考向（网格作图），通过微专题（中线面积计算）培养推理能力与几何直观，结合实例提升应用意识。学生能深化数学思维，教师可直接用于培优教学，有效提高课堂效率。

第四章　三角形 1　认识三角形 第3课时　三角形的高、中线及角平分线 初中数学培优课堂  　三角形的高 1.(2025山东济南高新区期末)下列能表示△ABC的边BC上的 高的是 ( )  　　     　　     　　          B     初中数学培优课堂 解析　△ABC的边BC上的高,是过点A向BC所在直线作垂线, 点A与垂足所连的线段,由此可判断B选项符合,故选B. 初中数学培优课堂 2.【学科特色·教材变式P92随堂练习T2】如图,若H是△ABC 三条高AD,BE,CF的交点,则△BHA中BH边上的高是_______.        　    AE 解析　△BHA中BH边上的高应以点A为端点,且垂直于BH所 在直线,即为线段AE. 初中数学培优课堂 易错警示　注意三角形的高是从顶点向对边所在直线作的垂线段. 初中数学培优课堂 3.(2025河北石家庄栾城期末)如图,在△ABC中,CD是AB边上 的高,BE是AC边上的高,点F是两条高线的交点,若∠A=70°,∠ FBC=15°,则∠FCB=_____________. 　    55°　     初中数学培优课堂 解析　因为CD是AB边上的高,BE是AC边上的高, 所以∠ADC=∠BEC=90°. 因为∠A=70°,∠FBC=15°, 所以∠ACD=90°-70°=20°,∠BCE=90°-15°=75°. 所以∠FCB=∠BCE-∠ACD=75°-20°=55°. 初中数学培优课堂  　三角形的中线及重心 4.(2024海南文昌期中)如图,AD,BE,CF是△ABC的三条中线, 则下列说法不一定正确的是( ) A.AE= AC　　    B.AB=2BF C.BD=DC　　    D.AD=CF     D     初中数学培优课堂 解析　∵AD,BE,CF是△ABC的三条中线,∴AE=EC= AC,AB =2BF=2AF,BD=DC= BC,故A,B,C选项中的说法都正确,由已 知条件无法推得AD=CF,故选D. 初中数学培优课堂 5.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成,点A,B,C,D,E, F,G均在小正方形的顶点上,则△ABC的重心是 ( ) A.点G　　    B.点D　　    C.点E　　    D.点F     B     初中数学培优课堂 解析　取BC的中点N,取AC的中点M,连接AN,BM,如图所示, AN与BM的交点为D,故点D是△ABC的重心, 故选B. 初中数学培优课堂 6.(2025甘肃嘉峪关期中)如图,在△ABC中,AD为BC边上的中 线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,AB=3,AC=4,DF=1.5,则DE= ___________.   　    2　     初中数学培优课堂 解析　因为在△ABC中,AD为BC边上的中线,所以BD=DC,所 以S△ABD=S△ADC,因为DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,所以 AB·DE=  AC·DF,因为AB=3,AC=4,DF=1.5,所以 ×3×DE= ×4×1.5,所以 DE=2,故答案为2. 初中数学培优课堂  　三角形的角平分线 7.【学科特色·易错题】下列对三角形的角平分线的叙述正确 的是　     ( ) A.三角形的角平分线是射线 B.三角形的三条角平分线交于一点,且这点一定在三角形的 内部 C.三角形的角平分线可能在三角形的外部 D.三角形的一条角平分线将三角形分成面积相等的两部分     B     初中数学培优课堂 解析    A项,三角形的角平分线是线段,故本选项错误; B项正确; C项,三角形的角平分线都在三角形的内部,故本选项错误; D项,三角形的一条角平分线不一定将三角形分成面积相等的 两部分,故本选项错误.故选B. 易错警示　注意角的平分线是射线,三角形的角平分线是线段. 初中数学培优课堂 8.(2025黑龙江哈尔滨道外五校联盟期末)如图,在△ABC中, AD是BC边上的高线,CE是一条角平分线,它们相交于点P,已 知∠APE=55°,∠AEP=80°,则∠BAC的度数是_____________.        　    65°　     初中数学培优课堂 解析　因为AD⊥BC,所以∠PDC=90°. 因为∠CPD=∠APE=55°, 所以∠PCD=90°-55°=35°. 因为CE是△ABC的一条角平分线, 所以∠ACE=∠PCD=35°. 所以∠BAC=180°-∠ACE-∠AEP=180°-35°-80°=65°. 初中数学培优课堂 9.如图,BE,CF是△ABC的两条角平分线,若∠BAC=62°,则∠ DAC=_____________. 　    31°　     初中数学培优课堂 解析　因为BE,CF是△ABC的两条角平分线, 所以AD是△ABC的角平分线. 因为∠BAC=62°,所以∠DAC= ∠BAC=31°. 关键点拨　三角形的三条角平分线交于一点. 初中数学培优课堂   10.【新考向·网格画图】(2025江西中考,★★☆)如图,在6×5 的正方形网格中,点A,B,C均在格点上,请仅用无刻度直尺按下 列要求完成作图.(保留作图痕迹) (1)在图1中作出BC的中点. (2)在图2中作出△ABC的重心. 初中数学培优课堂 解析    (1)如图1,点D即为所求.        (2)如图2,分别取BC,AC的中点D,E,连接AD,BE相交于点P,则 点P即为所求. 初中数学培优课堂 11.(2025山东东营利津期中,★★☆)如图,在△ABC中,BE是△ ABC的角平分线,点D在边AB上(不与点A,B重合),CD与BE交 于点O. (1)若CD是中线,BC=7,AC=5,则△BCD与△ACD的周长差为___. (2)若∠A=80°,CD是角平分线,则∠BOC=_______. (3)若∠ABC=62°,CD是高,求∠BOC的度数. 初中数学培优课堂 解析    (1)2. 详解:因为CD是中线,所以AD=DB. 因为BC=7,AC=5, 所以△BCD与△ACD的周长差为(BC+CD+BD)-(AC+CD+AD) =BC-AC=2.故答案为2. (2)130°. 详解:因为∠A=80°,所以∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°. 因为BE和CD是△ABC的角平分线, 所以∠OBC= ∠ABC,∠OCB= ∠ACB, 初中数学培优课堂 所以∠OBC+∠OCB= (∠ABC+∠ACB)=50°. 所以∠BOC=180°-50°=130°. (3)因为CD是高,所以∠CDB=90°. 因为∠ABC=62°,所以∠BCD=90°-62°=28°. 因为BE平分∠ABC,所以∠EBC= ∠ABC= ×62°=31°. 所以∠BOC=180°-∠BCD-∠EBC=180°-28°-31°=121°. 初中数学培优课堂   初中数学培优课堂 12.【新课标·推理能力】如图,在△ABC中,BO平分∠ABC,CO 平分∠ACB. (1)若∠ACB=80°,∠ABC=40°,求∠BOC的度数. (2)若∠A=60°,求∠BOC的度数. (3)直接写出∠A与∠BOC满足的数量关系式.   初中数学培优课堂 解析    (1)因为BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,∠ACB=80°,∠ ABC=40°, 所以∠CBO= ∠ABC=20°,∠BCO= ∠ACB=40°. 所以∠BOC=180°-∠CBO-∠BCO=120°. (2)因为∠A=60°,所以∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°. 因为BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, 所以∠CBO= ∠ABC,∠BCO= ∠ACB, 所以∠CBO+∠BCO= (∠ABC+∠ACB)=60°. 初中数学培优课堂 所以∠BOC=180°-(∠CBO+∠BCO)=120°. (3)∠BOC=90°+ ∠A. 详解:因为BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, 所以∠CBO= ∠ABC,∠BCO= ∠ACB. 因为∠ABC+∠ACB=180°-∠A, 所以∠CBO+∠BCO= (∠ABC+∠ACB)=90°- ∠A. 所以∠BOC=180°-(∠CBO+∠BCO)=90°+ ∠A. 初中数学培优课堂 微专题　利用三角形的中线计算面积 方法指引　三角形的每条中线都能把三角形分成两个三角 形,它们等底同高,因此面积相等. 进一步地,两个三角形若是 等高,则它们的面积比等于底边比. 初中数学培优课堂 1.(2025山东济南市中期中)如图,在△ABC中,已知点D,E,F分 别为BC,AD,CE的中点,若阴影部分的面积为3,则△ABC的面 积为 ( )   A.12　　    B.16　　    C.18 　　    D.20     A     初中数学培优课堂 解析　因为点F是CE的中点,阴影部分的面积为3, 所以S△BCE=2S阴影=6. 因为点D是BC的中点,所以S△BDE= S△BCE=3. 因为点E是AD的中点,所以S△ABD=2S△BDE=6. 因为点D是BC的中点,所以S△ABC=2S△ABD=12. 故选A. 初中数学培优课堂 2.如图,D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=2BD,BE=CE, 设△ADF的面积为S1,△CEF的面积为S2,若S△ABC=6,则S1-S2的值 为___________.   　    1　     初中数学培优课堂 解析　因为AD=2BD,BE=CE,所以S△ABE= S△ABC=3,S△BCD= S△ABC =2,所以S1+ =3,S2+S四边形BDFE=2,所以S1-S2=3-2=1. 初中数学培优课堂 $