专项突破3 平行线中辅助线的添加方法-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦平行线中辅助线添加方法，涵盖添加截线和过“拐点”作平行线两大核心技巧。通过三角尺放置、滑雪姿势等情境例题导入，衔接平行线性质与判定，搭建从基础到复杂几何问题的学习支架。 其特色在于融合生活情境、传统文化与跨学科元素，如“抖空竹”“汉字互”抽象几何模型、光的反射问题，培养学生数学眼光与推理意识。通过规范推理过程与易错警示，强化数学思维与表达，助力学生提升几何问题解决能力，为教师提供丰富教学案例与方法指导。

专项突破3　 平行线中辅助线的添加方法 初中数学培优课堂  　添加截线 1.将一副三角尺按如图所示的方式放置,点A,C,B共线,直线DF ∥BE,则∠FDC= ( )   A.60°　　    B.75°　　    C.80°　　    D.65°     B     初中数学培优课堂 解析　如图所示,延长DA交直线BE于点G,   因为∠DAC=90°,所以∠BAG=90°,所以∠EHB=∠BAG=90°, 所以HE∥DG,所以∠AGB=∠HEB=60°, 因为DF∥BE,所以∠FDG=180°-∠DGB=120°, 所以∠FDC=∠FDG-∠ADC=120°-45°=75°,故选B. 初中数学培优课堂 2.【新考向·生活情境】(2025山西晋中介休期中节选)正确的 滑雪姿势是上身挺直略前倾,与小腿平行,如图所示,AB∥CD, 如果人的小腿CD与地面的夹角∠CDE=60°,求出身体BA与水 平线的夹角∠BAF的度数.        初中数学培优课堂 解析　如图,延长AB交直线ED于点H.   因为AB∥CD,所以∠DHA=∠CDE=60°. 因为AF∥EH,所以∠BAF=∠DHA=60°. 初中数学培优课堂 3.(2025山西阳泉多校联考期中改编)中国汉字博大精深,方块 文字智慧灵秀,奥妙无穷,图1是一个“互”字.图2是由图1抽 象的几何图形,其中AB∥CD,MG∥FN,点E,M,F在同一直线上, 点G,N,H在同一直线上,且∠AEF=∠GHD.试说明:∠EFN=∠ G.        初中数学培优课堂 解析　如图,延长EF交CD于点P. 因为AB∥CD,所以∠AEF=∠EPD. 又因为∠AEF=∠GHD,所以∠EPD=∠GHD. 所以EP∥GH.所以∠EFN+∠FNG=180°. 又因为MG∥FN,所以∠FNG+∠G=180°. 所以∠EFN=∠G.   初中数学培优课堂  　过“拐点”作平行线 4.【新课标·中华优秀传统文化】某同学在研究传统文化“抖 空竹”时有一个发现:他把它抽象成数学问题,如图所示,已知 AB∥CD,∠BAE=84°,∠DCE=120°,则∠E的度数是 ( )        A.36°　　    B.38°　　    C.39°　　    D.42°     A     初中数学培优课堂 解析　如图,过点E作EF∥AB,   则∠AEF=180°-∠A=180°-84°=96°. 因为AB∥CD,所以EF∥CD. 所以∠FEC=180°-∠ECD=180°-120°=60°, 所以∠AEC=∠AEF-∠FEC=96°-60°=36°.故选A. 初中数学培优课堂 5.【学科特色·易错题】(2025河南郑州期中)如图1,已知直线 AB∥CD,点P在直线AB,CD之间,点E,F分别在直线AB,CD上, 连接EP,FP. (1)若∠BEP=30°,∠DFP=45°,则∠P的度数为_______. (2)若∠BEP=α,∠DFP=β,则∠EPF与α,β之间存在什么数量关 系?并说明理由. (3)如图2,EQ,FQ分别平分∠AEP,∠CFP,请直接写出∠P与∠ Q之间的数量关系. 　　　     初中数学培优课堂        初中数学培优课堂 解析    (1)75°. (2)∠EPF=α+β. 理由:如图,过P作PM∥AB,所以∠MPE=∠BEP=α.   因为AB∥CD,所以PM∥CD. 所以∠MPF=∠DFP=β. 初中数学培优课堂 所以∠EPF=∠MPE+∠MPF=α+β. (3)2∠Q+∠P=360°. 详解:因为EQ,FQ分别平分∠AEP,∠CFP, 所以∠AEQ= ∠AEP,∠CFQ= ∠CFP. 由(2)的结论可得∠P=∠BEP+∠DFP,∠Q=∠AEQ+∠CFQ=  (∠AEP+∠CFP). 因为∠AEP=180°-∠BEP,∠CFP=180°-∠DFP, 所以∠Q= (360°-∠BEP-∠DFP) 初中数学培优课堂 =180°- (∠BEP+∠DFP)=180°- ∠P, 所以2∠Q+∠P=360°. 易错警示　过拐点只能作与某一条直线平行的直线,不能作与多条直线同时平行的直线,只能通过推理得到所作直线与其他直线平行. 初中数学培优课堂 6.【跨物理·光的反射】(2025山东济南商河期中节选)【阅读 探究】如图1,已知AB∥CD,E,F分别是AB,CD上的点,点M在 AB,CD两平行线之间,∠AEM=45°,∠CFM=25°,求∠EMF的度 数.   解:过点M作MN∥AB, 初中数学培优课堂 所以∠EMN=∠AEM=45°. 因为AB∥CD,所以MN∥CD. 所以∠FMN=∠CFM=25°. 所以∠EMF=∠EMN+∠FMN=45°+25°=70°. 从上面的推理过程中,我们发现平行线具有“等角转化”的 功能,将∠AEM和∠CFM“凑”在一起,使问题得到解决. 【方法运用】如图2,已知直线m∥n,AB是一个平面镜,光线从 直线m上的点O射出,在平面镜AB上经点P反射后,到达直线n 上的点Q.我们称OP为入射光线,PQ为反射光线,镜面反射有 初中数学培优课堂 如下性质:入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜 的夹角,即∠OPA=∠QPB.   (1)由图2写出∠AOP,∠BQP,∠OPQ之间的数量关系,并说明 理由. (2)如图3,再放置3块平面镜,其中两块平面镜在直线m和n上, 初中数学培优课堂 另一块在两直线之间,四块平面镜构成四边形ABCD,光线从 点O以适当的角度射出后,其传播路径为O→P→Q→R→O→P →…,直接写出∠OPQ和∠ORQ之间的数量关系.   【应用拓展】 问题情境:“公路村村通”的政策让公路修到了山里,蜿蜒的 初中数学培优课堂 盘山公路连接了山里与外面的世界.数学活动课上,老师把山 路抽象成如图4所示的图形,并提出了一个问题: 在图4中,AB∥CD,∠B=125°,∠PQC=65°,∠C=145°,求∠BPQ 的度数.        初中数学培优课堂 解析　【方法运用】(1)∠OPQ=∠AOP+∠BQP. 理由:如图,过点P作PE∥m.   所以∠AOP=∠OPE. 因为m∥n,所以PE∥n. 所以∠BQP=∠QPE. 初中数学培优课堂 因为∠OPQ=∠OPE+∠QPE, 所以∠OPQ=∠AOP+∠BQP. (2)∠OPQ=∠ORQ. 详解:由(1)得∠AOP+∠BQP=∠OPQ, 同理可得∠DOR+∠CQR=∠ORQ. 因为∠AOP=∠DOR,∠BQP=∠CQR.所以∠OPQ=∠ORQ. 【应用拓展】如图,过点P作PM∥AB,过点Q作QN∥AB. 因为AB∥CD,所以AB∥PM∥QN∥CD. 初中数学培优课堂 所以∠ABP+∠BPM=180°,∠QPM=∠PQN,∠DCQ+∠CQN=1 80°. 因为∠B=125°,∠C=145°, 所以∠BPM=180°-125°=55°,∠CQN=180°-145°=35°. 因为∠PQC=65°, 所以∠PQN=∠PQC-∠CQN=65°-35°=30°. 所以∠QPM=∠PQN=30°, 所以∠BPQ=∠BPM+∠QPM=55°+30°=85°. 初中数学培优课堂 $