专项突破2 乘法公式的五类常见应用-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦乘法公式的五类常见应用，通过简便计算、整式运算、先化简再求值、连续应用及几何应用等例题导入，从数的运算逐步过渡到整式变形与几何问题，搭建由具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融入几何直观与推理意识，如通过长方形绿化面积计算、数形结合验证乘法公式，培养学生数学眼光与思维。采用例题分步解析与变式训练，帮助学生提升运算能力与应用意识，教师可直接用于课堂教学，提高教学效率。

专项突破2　 乘法公式的五类常见应用 初中数学培优课堂  　简化数的运算 1.用乘法公式进行简便计算. (1)700.12.(2)30 ×29 .(3)799×801+1. (4)(2025河南驻马店驿城期中)3992-401×397. 初中数学培优课堂 解析    (1)700.12=(700+0.1)2 =7002+2×700×0.1+0.12 =490 000+140+0.01=490 140.01. (2)30 ×29 = ×  =900- =899 . (3)799×801+1=(800-1)×(800+1)+1 =8002-12+1=640 000. 初中数学培优课堂 (4)3992-401×397=3992-(399+2)×(399-2) =3992-(3992-22)=3992-3992+22=4. 初中数学培优课堂  　简化整式的运算 2.运用乘法公式计算: (1)(2x-y+1)(y-1+2x). (2)(2a+3b-1)(1-2a-3b). 初中数学培优课堂 解析    (1)(2x-y+1)(y-1+2x) =[2x-(y-1)][2x+(y-1)] =(2x)2-(y-1)2=4x2-(y2-2y+1) =4x2-y2+2y-1. (2)(2a+3b-1)(1-2a-3b) =(2a+3b-1)[-(2a+3b-1)] =-(2a+3b-1)2 =-[(2a+3b)2-2(2a+3b)+12] =-4a2-12ab-9b2+4a+6b-1. 初中数学培优课堂 3.先化简,再求值: (1)(2025山东青岛崂山期中)9(x2+y)(x2-y)-(3x2-y)2,其中x=- ,y=3. (2)(2025山东济南历城期中)[(2a+3b)(2a-3b)-(2a-b)2-2ab]÷(- 2b),其中a=2,b=-1. (3)(2025山西晋中左权期中)[(x+2y)(x-2y)-(2x-y)2-(x2-5y2)]÷(- 2x),其中x,y满足x-y=-2. 初中数学培优课堂 解析    (1)9(x2+y)(x2-y)-(3x2-y)2 =9(x4-y2)-(9x4-6x2y+y2) =9x4-9y2-9x4+6x2y-y2=-10y2+6x2y. 当x=- ,y=3时, 原式=-10×32+6× ×3=-89.5. (2)[(2a+3b)(2a-3b)-(2a-b)2-2ab]÷(-2b) =[4a2-9b2-(4a2-4ab+b2)-2ab]÷(-2b) =(4a2-9b2-4a2+4ab-b2-2ab)÷(-2b) 初中数学培优课堂 =(-10b2+2ab)÷(-2b)=5b-a. 当a=2,b=-1时, 原式=5×(-1)-2=-5-2=-7. (3)[(x+2y)(x-2y)-(2x-y)2-(x2-5y2)]÷(-2x) =[x2-4y2-(4x2-4xy+y2)-(x2-5y2)]÷(-2x) =(x2-4y2-4x2+4xy-y2-x2+5y2)÷(-2x) =(-4x2+4xy)÷(-2x)=2x-2y. 当x-y=-2时,原式=2(x-y)=2×(-2)=-4. 初中数学培优课堂  　连续应用 4.(2025江苏无锡梁溪月考)18×(3+1)×(32+1)×(34+1)×…×(364+ 1)+7的个位数字为 ( ) A.9　　    B.7　　    C.3　　    D.1     B     初中数学培优课堂 解析    原式=9×2×(3+1)×(32+1)×(34+1)×…×(364+1)+7 =9×(3-1)×(3+1)×(32+1)×(34+1)×…×(364+1)+7 =9×(32-1)×(32+1)×(34+1)×…×(364+1)+7 =9×(34-1)×(34+1)×…×(364+1)+7 …… =9×(3128-1)+7 =3130-9+7 =3130-2, 初中数学培优课堂 因为31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,…… 所以个位数字每4个一循环, 因为130÷4=32……2, 所以3130的个位数字是9, 所以3130-2的个位数字是7,故选B. 初中数学培优课堂 5.计算: × × × × + . 初中数学培优课堂 解析　原式=2× × × × × ×  +  =2× × × × × +  =2× × × × +  =2× × × +  =2× × +  初中数学培优课堂 =2× +  =2- +  =2. 初中数学培优课堂  　变形应用 6.(1)已知(x+y)2=25,(x-y)2=9,求xy和x2+y2的值. (2)若a2+b2=15,(a-b)2=3,求ab和(a+b)2的值. 初中数学培优课堂 解析    (1)因为(x+y)2=25,(x-y)2=9, 所以x2+2xy+y2=25,x2-2xy+y2=9, 所以2(x2+y2)=34,所以x2+y2=17. 所以17+2xy=25,所以xy=4. (2)因为(a-b)2=3,所以a2-2ab+b2=3. 因为a2+b2=15,所以15-2ab=3,所以ab=6. 因为a2+b2=15,所以(a+b)2=a2+2ab+b2=15+12=27. 初中数学培优课堂 7.(2025四川达州月考)在数学中,通常可以运用一些公式来解 决问题,比如,运用两数和的完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2,能 够在三个代数式a+b,ab,a2+b2中,已知其中任意两个代数式的 值,求出第三个代数式的值. 例如:已知a+b=3,ab=2,求a2+b2的值. 解:将a+b=3两边同时平方,得(a+b)2=32,即a2+2ab+b2=9. 因为ab=2,等量代换,得a2+b2+2×2=9,所以a2+b2=5. 初中数学培优课堂 请根据以上信息,解答下列问题. (1)已知a-b=2,a2+b2=17,则ab=_______. (2)若(2 025-x)(x-2 024)=-5,求(2 025-x)2+(x-2 024)2的值. 初中数学培优课堂 解析    (1) . (2)令2 025-x=m,x-2 024=n, 则m+n=2 025-x+x-2 024=1,mn=-5, 所以(2 025-x)2+(x-2 024)2=m2+n2 =(m+n)2-2mn=12-2×(-5)=11. 初中数学培优课堂  　几何应用 8.(2025陕西咸阳三原期中)如图,和谐广场有一块长为(3a+b) 米,宽为(2a+b)米的长方形土地,现要将阴影部分进行绿化,在 上方两角处留两块边长为(a-b)米的小正方形空地. (1)用含有a,b的式子表示绿化部分的总面积.(结果写成最简形 式) (2)若a=40,b=20,求出绿化部分的总面积. 初中数学培优课堂 解析    (1)(3a+b)(2a+b)-2(a-b)2 =6a2+5ab+b2-2(a2-2ab+b2) =6a2+5ab+b2-2a2+4ab-2b2 =4a2+9ab-b2. 故绿化部分的总面积为(4a2+9ab-b2)平方米. (2)当a=40,b=20时, 4a2+9ab-b2=4×402+9×40×20-202=13 200. 故绿化部分的总面积为13 200平方米. 初中数学培优课堂 9.【学科特色·数形结合思想】(2025广东深圳宝安期中改编) 数形结合是一种非常重要的数学思想,我们可以通过计算几 何图形的面积来验证一些代数恒等式. 【探索】 (1)如图1所示的是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b 的两个正方形、长和宽分别为a和b的两个长方形,利用这个 图形可以验证乘法公式:_______. 利用上述公式解决以下问题. 初中数学培优课堂 【应用】 (2)若xy=4,x+y=6,则x2+y2=_______. 【迁移】 (3)如图2,在线段CE上取一点D,分别以CD,DE为边作正方形 ABCD,正方形DEFG,连接BG,CG,EG.若阴影部分的面积和为 11,△CDG的面积为7,求CE的长度.        初中数学培优课堂 解析    (1)(a+b)2=a2+2ab+b2. (2)28. 详解:因为xy=4,x+y=6,(x+y)2=x2+2xy+y2, 所以x2+y2=28. (3)设正方形ABCD的边长为m,正方形DEFG的边长为n, 则CE=m+n,S阴影=S△ABG+S△EFG= m(m-n)+ n2=11, 所以m2-mn+n2=22. 因为S△CDG= CD·DG= mn=7,所以mn=14. 初中数学培优课堂 所以(m+n)2=m2+2mn+n2=(m2-mn+n2)+3mn =22+3×14=64. 所以m+n=8或-8(舍去).所以CE=8. 初中数学培优课堂 $