1.3 第3课时 完全平方公式的认识-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦完全平方公式的认识与应用，通过基础等式辨析、图形割补面积推导等方式，衔接整式乘法知识，构建从具体实例到抽象公式的学习支架，帮助学生逐步理解公式结构与几何意义。 其亮点在于融合几何直观与运算能力，如通过割补法图形验证(a+b)²公式、正方形截去长方形推导(m-a)²，培养学生用数学眼光观察和思维推理。设置多解法、微专题等分层内容，助力学生提升运算技能与推理意识，同时为教师提供系统教学素材，提高课堂效率。

第一章　整式的乘除 3　乘法公式 第3课时　完全平方公式的认识 初中数学培优课堂  　完全平方公式 1.下列等式成立的是 ( ) A.(x-y)2=x2-xy+y2 B.(x+3y)2=x2+9y2 C. =x2-xy+ y2 D.(m-9)(m+9)=m2-9     C     初中数学培优课堂 解析    A.(x-y)2=x2-2xy+y2,故A不符合题意; B.(x+3y)2=x2+6xy+9y2,故B不符合题意; C.原式=x2-xy+ y2,故C符合题意; D.原式=m2-81,故D不符合题意.故选C. 初中数学培优课堂 2.如图所示的是利用割补法求图形面积的示意图,下列公式中 与之相对应的是 ( )   A.(a+b)2=a2+2ab+b2 B.(a-b)2=a2-2ab+b2 C.(a+b)(a-b)=a2-b2     A     D.(ab)2=a2b2 初中数学培优课堂 解析　由题图得,大正方形的边长为a+b,则面积为(a+b)2,大正 方形由1个边长为a的正方形,2个长为a、宽为b的长方形,1个 边长为b的正方形组成,所以(a+b)2=a2+2ab+b2.故选A. 初中数学培优课堂 3.(2025陕西咸阳三原期中)若y(y-8)+a=(y-4)2,则a的值是( ) A.8　　    B.16　　    C.32　　    D.64 B          解析　因为y(y-8)+a=(y-4)2, 所以y2-8y+a=y2-8y+16. 所以a=16.故选B. 初中数学培优课堂 4.(2025河南新郑期中)如果多项式4x2+16y2加上一个单项式后 成为一个整式的平方,那么加上的单项式为 ( ) A.16xy　　    B.-16xy　　    C.8xy　　    D.±16xy     D     解析    (2x)2=4x2,(4y)2=16y2, 所以中间项为±2×2x·4y=±16xy.故选D. 初中数学培优课堂 5.(2025贵州六盘水模拟)若(x-1)2=x2-2kx+1,则k的值是_________. 　    1     解析　因为(x-1)2=x2-2kx+1, 所以x2-2x+1=x2-2kx+1, 所以2k=2,解得k=1. 初中数学培优课堂 6.(2025江苏宿迁宿豫期中)已知边长为m的正方形纸片,现分 别在其右面、下面截去宽为a(a<m)的长方形纸片,得到一个 小正方形纸片(如图).用两种不同方法计算阴影部分面积,可 得到乘法公式为__________________________.   　    (m-a)2=m2-2am+a2　     初中数学培优课堂 解析　题图中阴影部分是边长为m-a的正方形,因此面积为(m -a)2,整体上大正方形的边长为m,则面积为m2,空白部分的面积 为2am-a2,因此有(m-a)2=m2-(2am-a2)=m2-2am+a2. 初中数学培优课堂 7.【学科特色·多解法】(2025四川达州宣汉期末)若(x-2a)2=x2 +8x+16,则a的值为_________. 　　-2　     解析　【解法一】因为(x-2a)2=x2+8x+16=(x+4)2, 所以-2a=4,解得a=-2. 【解法二】因为(x-2a)2=x2-4ax+4a2=x2+8x+16, 所以-4a=8,解得a=-2. 初中数学培优课堂 8.(2025山东青岛市北期中)请在下列横线上填上适当的式子: (2x+____________)2=_____________+20xy+______________. 　    25y2　     　    4x2　     　    5y　     解析　因为20xy=2×2x·5y,所以第一个空填5y,(2x+5y)2=4x2+20 xy+25y2,故答案为5y;4x2;25y2. 初中数学培优课堂 9.【学科特色·教材变式P21T2】(2025河南平顶山汝州期中) 已知a-b=2,则2a2-4ab+2b2的值为___________. 　    8　     解析　因为a-b=2,所以(a-b)2=a2-2ab+b2=4, 所以2a2-4ab+2b2=2(a2-2ab+b2)=2×4=8. 初中数学培优课堂 10.计算: (1)(7x-2)2.　    (2) . (3) .    (4)(-2a-3b)2. (5) . (6)(2x+3y)(-2x-3y). 初中数学培优课堂 解析    (1)(7x-2)2=49x2-28x+4. (2) = x2-4x+9. (3) =4a2b2+ a2b+ a2. (4)(-2a-3b)2=4a2+12ab+9b2. (5) = x2-xy+ y2. (6)(2x+3y)(-2x-3y) =-(2x+3y)2=-(4x2+12xy+9y2) =-4x2-12xy-9y2. 初中数学培优课堂   11.(2025浙江绍兴诸暨期中,★★☆)如图,有甲、乙、丙三种 地砖,其中甲、乙是正方形,边长分别为a,b,丙是长方形,长为a, 宽为b(其中a>b),如果要用它们拼成若干个边长为3a+b的正方 形,那么应取甲、乙、丙三种地砖块数的比是 ( ) A.无法确定　　    B.2∶1∶2     D     C.3∶1∶2　　     D.9∶1∶6 初中数学培优课堂 解析　因为(3a+b)2=9a2+6ab+b2,所以应取甲、乙、丙三种地 砖块数的比是9∶1∶6.故选D. 初中数学培优课堂 12.(2025山东潍坊安丘月考,★★☆)无论x,y为何有理数,代数 式x2+y2+2x-4y+7的值 ( ) A.总不小于2　　 　    B.总不小于7 C.可为任何有理数　　    D.可能为负数     A     解析    x2+y2+2x-4y+7=(x2+2x+1)+(y2-4y+4)+2 =(x+1)2+(y-2)2+2,因为(x+1)2≥0,(y-2)2≥0,所以(x+1)2+(y-2)2+2 ≥2,所以x2+y2+2x-4y+7≥2.故选A. 初中数学培优课堂 13.【学科特色·数形结合思想】(2025山东济南市中期中,★ ★☆)如图,点C是线段BG上的一点,以BC,CG为边向BG两侧作 正方形,面积分别是S1和S2,已知BG=8,图中阴影部分面积为6, 则S1+S2= ( )   A.58　　    B.88　　     C.40　　    D.52     C     初中数学培优课堂 解析　设正方形ABCD的边长为a,正方形CEFG的边长为b,则 a+b=BG=8, ab=6,即ab=12. 因为(a+b)2=a2+2ab+b2,即64=a2+24+b2, 所以a2+b2=40,即S1+S2=40,故选C. 初中数学培优课堂 14.(2025陕西西安长安期中,★★☆)如果代数式4x2+bx+36是 一个完全平方式,那么b的值为_____________. 　    ±24　     解析　因为4x2+bx+36是一个完全平方式,4x2+bx+36=(2x)2+bx +62,所以b=±2×2×6=±24. 初中数学培优课堂   15.【新课标·几何直观】(2025河南郑州期中)如图,在学习 “整式的乘法”的数学实践课上,小郑用4个长为m,宽为n的 小长方形围成了一个大正方形. (1)请认真观察,用不同方法表示阴影部分的面积,你能得到怎 样的等式?并验证它的正确性. (2)根据(1)中的等量关系,解决下列问题: ①若a+b=6,ab=8,求a-b的值. ②已知(a+3b)2=25,(a-3b)2=1,则ab的值为_______. 初中数学培优课堂 解析    (1)阴影部分的面积的两种计算方法: 第一种:其等于四个长为m,宽为n的长方形面积之和,即4mn; 第二种:其等于大正方形(边长为m+n)的面积减去小正方形(边 长为m-n)的面积,即(m+n)2-(m-n)2. 所以得到的等式为(m+n)2-(m-n)2=4mn. 验证如下: (m+n)2-(m-n)2=(m2+2mn+n2)-(m2-2mn+n2) =m2+2mn+n2-m2+2mn-n2=4mn. 初中数学培优课堂 (2)①由(1)知(a+b)2-(a-b)2=4ab, 所以(a-b)2=(a+b)2-4ab. 因为a+b=6,ab=8,所以(a-b)2=62-4×8=4. 所以a-b=±2. ②2.详解:由题意,得4·a·3b=(a+3b)2-(a-3b)2=25-1=24,所以ab=2. 初中数学培优课堂 微专题　完全平方式中字母参数的求解 例题 　当k取何值时,100x2-kxy+49y2是一个完全平方式? 解析　因为100x2-kxy+49y2是一个完全平方式,所以可将100x2- kxy+49y2写成(10x)2∓140xy+(7y)2,根据多项式对应项的系数相 等,得到k=±140. 初中数学培优课堂 变式1　若x2+2(m-3)x+25是完全平方式,则m的值为_________. 　    8或-2 解析　因为x2+2(m-3)x+25是完全平方式, 所以x2+2(m-3)x+25=(x±5)2=x2±10x+25, 所以2(m-3)=±10,解得m=8或m=-2. 初中数学培优课堂 变式2　若x2-6x+n(n为常数)是完全平方式,则n的值为_______. 　    9     解析　因为x2-6x+n(n为常数)是完全平方式, 所以x2-6x+n=(x-3)2=x2-6x+9,所以n=9. 初中数学培优课堂 变式3　已知(2x-a)2=4x2+bx+16,则b的值为________________. 　    16或-16　     解析　因为(2x-a)2=4x2+bx+16, 所以4x2-4ax+a2=4x2+bx+16.所以a2=16,-4a=b. 所以a=4,b=-16或a=-4,b=16. 初中数学培优课堂 $