1.3 第2课时 平方差公式的应用-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦平方差公式的应用，通过几何背景（剪拼正方形）导入，衔接整式乘法基础，构建从具体图形到抽象公式的学习支架，帮助学生理解公式来源与应用场景。 其亮点在于融合数形结合（几何直观）、实际问题（应用意识）与规律探究（推理意识），如剪拼图形验证公式、地主租地面积计算、幂的运算规律猜想，培养学生抽象能力与运算能力，助力教师高效教学，提升学生数学思维与应用能力。

第一章　整式的乘除 3　乘法公式 第2课时　平方差公式的应用 初中数学培优课堂  　平方差公式的几何背景 1.【学科特色·数形结合思想】(2025山东济南高新区期中)如 图1,将边长为x的大正方形剪去一个边长为2的小正方形(阴影 部分),并将剩余部分沿虚线剪开,得到两个长方形,再将这两 个长方形拼成如图2所示的长方形.这两幅图能解释下列哪个 等式（ ） A.(x-2)2=x2-4x+4 B.(x+2)2=x2+4x+4     C     C.(x+2)(x-2)=x2-4  D.x(x-2)=x2-2x 初中数学培优课堂 解析　因为题图1中大正方形的空白部分的面积=x2-22=x2-4, 题图2中长方形的面积=(x+2)(x-2),所以(x+2)(x-2)=x2-4.故选C. 初中数学培优课堂 2.(2025山东青岛市北期中)在数学实践课上,“智慧小组”将 大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形,以下4幅拼 法中,不能够验证平方差公式的是 （ ）     D     初中数学培优课堂 解析    A.原图阴影部分面积为a2-b2,拼后新图是平行四边形, 其中底边长为a+b时,底边上的高为a-b,故面积为(a+b)(a-b),则 有(a+b)(a-b)=a2-b2,故可以验证.B.原图阴影部分面积为a2-b2, 拼后新图是长方形,长为a+b,宽为a-b,故面积为(a+b)(a-b),则 有(a+b)(a-b)=a2-b2,故可以验证.C.原图阴影部分面积为a2-b2, 拼后新图是由两个相同的直角梯形组成的平行四边形,其中 底边长为a+b时,底边上的高为a-b,故面积为(a+b)(a-b),则有(a +b)(a-b)=a2-b2,故可以验证.D.原图阴影部分面积为(a+b)2-(a 初中数学培优课堂 -b)2,拼后新图是由四个相同长方形组成的大长方形,长为2a, 宽为2b,故面积为4ab,则有(a+b)2-(a-b)2=4ab,故不能验证(a+b) (a-b)=a2-b2.故选D. 初中数学培优课堂  　利用平方差公式简化数的运算 3.计算:(1)101×99.(2)90 ×89 . (3)3 001×2 999. 初中数学培优课堂 解析    (1)原式=(100+1)×(100-1) =1002-12=9 999. (2)原式= ×  =902- =8 100- =8 099 . (3)原式=(3 000+1)×(3 000-1) =3 0002-12=9 000 000-1=8 999 999. 初中数学培优课堂  　利用平方差公式简化整式的运算 4.计算: (1)(2025河南周口太康一模)(2x+3y)(2x-3y)-4x·(x-y). (2)2mn-n2+(-4m-n)(4m-n). 初中数学培优课堂 解析    (1)(2x+3y)(2x-3y)-4x(x-y) =4x2-9y2-(4x2-4xy)=4x2-9y2-4x2+4xy=-9y2+4xy. (2)2mn-n2+(-4m-n)(4m-n) =2mn-n2+(-n)2-(4m)2 =2mn-n2+n2-16m2 =2mn-16m2. 初中数学培优课堂 5.从前,有一个狡猾的地主,他把一块边长为a米的正方形土地 (如图)租给张老汉.过了一年,他对张老汉说:“我把你这块地 一边长减少9米,其邻边长增加9米,继续租给你,你也没有吃亏, 你看如何?”张老汉一听,觉得好像没有吃亏,就答应了.然而 张老汉的儿子却说张老汉吃亏了. (1)张老汉原来土地的面积为多少? (2)若是按地主的说法,变化后的土地面积为多少? 初中数学培优课堂 (3)土地的面积是增加了,还是减少了?增加或减少的数量是多 少? (4)张老汉儿子的判断是否正确?   初中数学培优课堂 解析    (1)原来土地的面积为a2平方米. (2)(a+9)(a-9)=(a2-81)平方米. 故变化后的土地面积为(a2-81)平方米. (3)土地的面积减少了,减少了81平方米. (4)张老汉儿子的判断正确. 初中数学培优课堂   6.(2025浙江金华义乌期中,★★★)两个大小不一的正方形① 和②按如图1所示的方式放置时,AB=a,CD=b.现有①和②两种 正方形各四个,摆放成如图2所示的形状,那么阴影部分的面积 可用a,b表示为 （ ） A.4a2-4b2　　    B.4ab　　     C.a2-b2　　     D.ab     B     初中数学培优课堂 解析　设正方形②的边长为x,正方形①的边长为y, 由题图1可得x+y=a,x-y=b, 所以(x+y)(x-y)=x2-y2=ab, 所以S阴影=4x2-4y2=4(x2-y2)=4ab. 故选B. 初中数学培优课堂 7.(★★☆)一个正方形的边长增加了3 cm,面积相应增加了 39 cm2,则原来这个正方形的边长为___________cm. 　    5　     解析　设原来正方形的边长是x cm. 根据题意,得(x+3)2-x2=39, 所以(x+3+x)(x+3-x)=3(2x+3)=39,解得x=5. 所以原来正方形的边长是5 cm. 初中数学培优课堂 8.(2025湖南郴州宜章两校联考期中改编,★★☆)计算:2 0352- 2 037×2 033=___________. 　    4　     解析　原式=2 0352-(2 035+2)×(2 035-2) =2 0352-(2 0352-4)=4. 初中数学培优课堂 9.(2025四川内江中考,★★☆)已知a,b满足a+b=2,则a2-b2+4b= _________. 　　 4　     解析　因为a+b=2,所以a2-b2+4b=(a+b)(a-b)+4b=2(a-b)+4b=2a -2b+4b=2a+2b=2(a+b)=2×2=4. 初中数学培优课堂 10. (2025山东济南高新区期中,★★★) (1)填空: (a-b)(a+b)=_______. (a-b)(a2+ab+b2)=_______. (a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=_______. (2)猜想:(a-b)(an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1)=_______.(其中n为正整 数,且n≥2) 初中数学培优课堂 (3)利用(2)猜想的结论计算: ①27+26+25+24+23+22+2+1. ②29-28+27-…+23-22+2. 初中数学培优课堂 解析    (1)a2-b2;a3-b3;a4-b4. 详解:(a-b)(a+b)=a2-b2. (a-b)(a2+ab+b2)=a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3=a3-b3. (a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4+a3b+a2b2+ab3-a3b-a2b2-ab3-b4=a4-b4. (2)an-bn. (3)①27+26+25+24+23+22+2+1 =(2-1)×(27+26+25+24+23+22+2+1) =(2-1)×(27+26×1+25×12+24×13+23×14+22×15+2×16+17) =28-18=255. 初中数学培优课堂 ②因为[2-(-1)](29-28+27-…+23-22+2-1) =210-(-1)10, 所以29-28+27-…+23-22+2-1= =341. 所以29-28+27-…+23-22+2=341+1=342. 初中数学培优课堂   11.【新课标·抽象能力】(2025河南平顶山汝州期中改编)在 边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形,如图甲,把 余下的阴影部分再剪拼成一个长方形,如图乙.        (1)图甲中阴影部分的面积为_______;图乙中阴影部分的面 积为_______.(均用含a,b的代数式表示) 初中数学培优课堂 (2)利用(1)的结果,说明a2,b2,(a+b)(a-b)的等量关系. (3)应用所得的公式计算: × × ×…×  × . 初中数学培优课堂 解析    (1)a2-b2;(a+b)(a-b). (2)a2-b2=(a+b)(a-b). (3)原式= × × × × × ×… × ×  = × × × × × ×…× ×  = ×  = . 初中数学培优课堂 $