第27讲 投影与视图、立体图形的展开与折叠-【夺冠百分百】2026年中考数学冲刺精讲册（河北专用）

(3)当点A'在线段AD上时， AA'=x, .DA'=4V3-x ,四边形AB'CD是正方形， .DA'=CD,即4V5-x=4, .x=4√3-4； 当点A'在线段AD的延长线上时， A 4 B AA'=x, .DA'=x-43 四边形A'B'CD是正方形， .DA'=CD,即x-4√3=4， .x=4√3+4. 综上，当x为4√3+4或4√3一4时，以A',B,C,D为顶 点的四边形是正方形， (④z=8y或x=85,提示：当点A在线段AD上时，如图1， 3 A'D F B'C 图1 AA'=,.DA'=4V3-x. 由平移的性质，知∠FA'D=∠CAD=30°， ..A'F=2DF,A'F2=A'D2+DE2, :DF=5(4Vg-)=4-5x 3 3, A'F=2DF=8-2Y3 3x, CF-4-D ,四边形AECF是菱形， F=cF即8-29-9， 3 当点A'在线段AD的延长线上时，如图2. B 图2 .AA'=x, ∴.DA'=x一43.由平移的性质知∠FA'D=∠CAD=30°， DF=9(x-4同=g-4,AF=2DF-2y,-8, .CF=4+DF-3 ， 四边形A'ECF是菱形， A=Cp,m2y9-8=9。 32, .x=8W3 综上，当工为8y臣或8V5时，以A,E,C,F为顶，点的四边 3 形是菱形. 第27讲投影与视图、立体图形的展开与折叠 【河北中考·考点梳理】 ①平行②正③同一点④变短⑤变长⑥由前向后 ⑦由上向下⑧由左向右⑨对正⑩平齐①相等 ②正方⑧等圆@矩形⑤等腰三角形 【自主复习·方法提炼】 1.解：(1)如图所示」 从左面看 从上面看 (2)4[解析]如图所示. +2+1 +1 从上面看 由图可知，最多可以再添加4个小正方体 (3)102×(2×6+2×6+2×6+2)=3800(cm2), 故这个几何体的表面积为3800cm2. 2.解：【画图操作】光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影 长如图1所示. g → Tmrminmrerimnmnimn mrmmmmmmgim 图1 图2 【数学思考】D[解析]如图2所示，等高的物体垂直于地 面时，在灯光下，离点光源近的物体的影子短，离点光源远 的物体的影子长，.小明从点A到点B的过程中，影长先 越来越短再越来越长」 【解决问题】如图3，CD∥EF∥AB, 图3 '.△CDFp△ABF,△ABGp△EFG 器膘器需 又CD=EF, 膘-器 DF=3 m,FG=4 m,BF=BD+DF=(BD+3)m,BG= BD+DF+FG=(BD+7)m, 3 六BD+3-BD+7' .BD=9m,BF=9+3=12(m), 8品 解得AB=6.4m, ∴.灯杆AB的高度为6.4m 第28讲尺规作图 【河北中考·考点梳理】 ①无刻度②圆规③OA=a④PQ长 ⑤大于2MN⑥大于号AB 【自主复习·方法提炼】 1.(1)D(2)A(3)B解析：(1)作法：①以点O为圆心，任 意长为半径画弧，分别交OA,OB于，点P,Q: ②作射线EG,并以点E为圆心，OP长为半径画孤交EG 于点D: ③以点D为圆心，PQ长为半径画孤，交②步中所画孤于 点F; ④作射线EF,∠DEF即为所求作的角. (2)连接PQ,DF(图略). 在△POQ和△DEF中， (OQ-EF, '〈OP=ED, PQ=DF, ∴.△POQ≌△DEF(SSS), ∠AOB=∠DEF(全等三角形的对应角相等). (3)如图，根据基本作图，得∠ADE=∠ACB,CE=DE= 6,BC=12,BD=10.5,设AE=x,AD=y,∠ADE= ∠ACB,∠DAE=∠CAB,∴.△ADE∽△ACB,.A x 2x=10.5十y”解得 2y=x+6, x=9, .裁下的小三角形纸片的周长为6十9十7.5=22.5. y=7.5, 2.解：(1)图形如图所示： (2)连接AE,由作图可知线段BC,DE互相垂直平分， .四边形BECD是菱形， .AB∥CE :∠ACB=∠DOB=90°， .DE∥AC, ∴四边形ACED是平行四边形， ∴.AC=DE=6. :回边形BBCD的面积=名·DE,BC=24, .BC=8. 过，点E作EHL⊥AC,交AC的延长线于点H. ,∠H=∠HCO=∠COE=90°， .四边形EHCO是矩形， :.EH-CO-BC-4,CH-OE-DE-3, ∴.AH=AC+CH=6+3=9 ∴.AE=AI+EH=/92+42=⑨7 第八模块统计与概率 第29讲统计 【河北中考·考点梳理】 ①全体②一部分③全体④每一个⑤个体⑥数目 ⑦数据⑧样本容量⑨百分比①具体数目①变化 情况@十十十…十之G西w十+…+xu 12 w1+2+…+en @小⑤大⑥大⑦小®中间位置©平均数 @最多④7[(x-)2+(x-)2+十（红，-五）门 ②大⑧小@大 【自主复习·方法提炼】 1.解：(1)5040[解析]本次随机抽取的学生人数为94÷ 47%=200, ∴.m=200×25%=50, .n=200-50-94-16=40. (2)补全条形统计图如图所示： 人数 100---94 80 60 -501 40 20 6.- ABCD组别 (3)72[解析]扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数 =72. 是360×200 (4)2000×40,t16=560(名). 200 答：估计该校参加竞赛的2000名学生中成绩为优秀的人 数为560.第27讲投影与视图、立体图形的展开与折叠 【2022课标要求】 1.通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念. 2.会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，并会根据视 图描述简单的几何体 3.了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作模型， 4.通过实例，了解上述视图与展开图在现实生活中的应用 河北中考。考点梳理 考点一、投影 投影 般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影 由① 光线形成的投影叫做平行投影.投影线垂直于投影面产 定义 生的投影叫做正投影 平行投影 性质 如图，同一时刻，不同物体的物高与影长成② 比 定义 由③ (点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影 中心投影 如图，当物体逐渐接近光源时，物体的影子逐渐④ 当 性质 物体逐渐远离光源时，物体的影子逐渐⑤ 温馨提示：()太阳光线看作是平行光线；(2)确定一个投影是平行投影还是中心投影的关 键是看光线平行还是相交 考点二、立体图形的三视图☆重点 1.三视图的定义 主视图 在正面内得到的⑥ 观察物体的视图，叫做主视图 俯视图 在水平面内得到的⑦ 观察物体的视图，叫做俯视图 左视图 在侧面内得到的⑧ 观察物体的视图，叫做左视图 主视图与俯视图的长⑨ ,主视图与左视图的高⑩ ,左视图 视图的画法 与俯视图的宽① 2.常见几何体的三视图 (1)正方体的三视图都是@ 形，球体的三视图一定都是⑧③ (2)圆柱的三视图为两个相同的@ 和圆，圆锥的三视图是两个相同的⑤ 和圆. 温馨提示：画三视图时，看不见又确定存在的轮廓线要画成虚线，不要漏掉 90 考点三、立体图形的展开与折叠 1.常见立体图形的展开图 几何体 立体图 表面展开图 侧面展开图 圆柱 圆锥 正三棱柱 ☑ 2.正方体的展开图类型（颜色相同的为对面） (1)一四一型： m中中中中中 (2)二三一型： (3)三三型： (4)二二二型： P田 温馨提示：正方体的表面展开图中不能出现 甘田日图形，更不能出现五个 排一行，若出现“□”类型，另两面必须在两侧. 3.立体图形的折叠：一个几何体能展开成一个平面图形，这个平面图形就可以折叠成相应的几 何体，展开与折叠是一个互逆过程. 4.最短路径问题：先把立体图形展开成平面图形，根据“两点之间，线段最短”原则，在平面图形 上构造直角三角形解决此类问题， 自主复习·方法提炼 1.如图，是由若干个完全相同的棱长为10cm 的小正方体组成的一个几何体， (1)在给出的网格中画出这个几何体从左 从左面看 从上面看 面和从上面看到的形状图； 91 (2)如果在这个几何体上再添加一些相同 化，那么表示y与x之间函数关系的图象 的小正方体，并保持这个几何体从上面和 大致为 左面看到的形状不变，最多可以添加 g 个小正方体； (3)求这个几何体的表面积. 图2 A. B. 0 y C 【解决问题】如图3，河对岸有一灯杆AB, 在灯光下，小明在点D处测得自己的影长 DF=3m,沿BD方向前进到达点F处测 得自己的影长FG=4m.已知小明的身高 为1.6m,求灯杆AB的高度. 通用通法 主视图主要反映几何体的长和高； E 左视图主要反映几何体的宽和高；俯视 图主要反映几何体的长和宽 图3 2.通常，路灯、台灯、手电筒…的光可以看 成是从一个点发出的，在点光源的照射下， 物体所产生的投影称为中心投影 【画图操作】如图1，三根底部在同一直线上 的旗杆直立在地面上，第一根、第二根旗杆 在同一灯光下的影长如图所示.请在图中 画出光源的位置及第三根旗杆在该灯光下 的影长（不写画法）； 图1 【数学思考】如图2，夜晚，小明从点A经过 路灯C的正下方沿直线走到点B,他的影 长y随他与点A之间的距离x的变化而变 92