第22讲 圆的有关概念和性质-【夺冠百分百】2026年中考数学冲刺精练册（河北专用）

.△ENC是等腰直角三角形， ,EN=CN,∴.BM=EN. ∠BMN=90°， .∠MEB+∠MBE=90. BE⊥FE, .∠MEB+∠FEN=90°，∴.∠FEN=∠EBM. I∠EBM=∠FEN, 在△BME和△ENF中，BM=EN, ∠BME=∠ENF, .△BME≌△ENF(ASA),∴BE=EF. ②解：√3[解析]将△ABE绕，点B顺时针旋转90°，得到 △CBH,如图2， ∴.AE=CH=1,∠ACB=∠BAC=∠BCH=45°，BE= BH,∠ABE=∠CBH, ∴.∠GCH=∠ACB+∠BCH=90° BE=EF,BE⊥EF, ∴∠EBF=∠EFB=45°， ∴.∠ABE+∠CBG=45°， .∠CBH+∠CBG=45°=∠GBH, ∠GBH=∠EBF. BE-BH, 在△BEG和△BHG中，∠GBE=∠GBH, BG=BG, ∴.△BEG≌△BHG(SAS), .EG=GH. 在Rt△GCH中，由勾股定理，得GC2+CH=GH, ∴.EG=GH=√GC+AE=√(W2)2+12=√3. H 图2 ③解：CE·AG是定值.理由如下： 如图2，：正方形的边长为3√2， ∴.AC=√2×3√2=6. 设AE=x,CG=y, .EG=6-x-y. 在Rt△GCH中，由勾股定理，得GC+CH=GH, .x2+y2=(6-x-y)2, .6(x+y)-xy=18, ..AG=AE+EG=6-y,CE=6-x, .AG·CE=(6-x)(6-y)=36-6(x十y)+xy=36-18=18. (2)解：如图3，连接BD,延长BE交AD于点F,连接FO 交BC于点M,连接DM交AC于点N,连接DE,BN,则 四边形BEDN是菱形. 5 M 图3 理由如下： 'AB=AD,∠BAE=∠DAE=45°，AE=AE, ,.△ABE≌△ADE(SAS), .DE=BE, 同理可得BN=DN. .∠FAO=∠MCO=45°，AO=CO,∠AOF=∠COM, .△AOF≌△COM(ASA), ∴.OF=OM.又OB=OD, .四边形DFBM是平行四边形， .BE∥DM,∴.∠BFM=∠DMF 又.'FO=OM,∠EOF=∠NOM, ∴.△EFO≌△NMO(ASA), ..EO-NO. 又BO=DO, ,∴，四边形BEDN是平行四边形， 又，DE=BE, .四边形BEDN是菱形. 第六模块 圆 第22讲圆的有关概念和性质 【河北十年真题练】 1.D2.D3.(1)= (2)5y7 8 4.A 5.解：(1)10[解析]四边形ABCD是矩形， ..AB=CD,AD=BC. .AB=1,AD=4, ..AB=CD=1,AD=BC=4, ∴.矩形ABCD的周长为 2(AB+AD)=2×(1+4)=10. (2)如下图所示， D M E 以点E为圆心，EO长为半径画孤，交BC于点M,延长 MO交AD于点N,线段MN即为所求. (3)四边形ABCD是矩形， .∠B=90°，AD∥BC. .BG=AB,.∠AGB=45°. .'AN=MG,.四边形AGMN是平行四边形， ∴.MN∥AG, .∠NMG=∠AGB=45°. 直线1是GC的垂直平分线， .'.GM=CM, ..GM-CM-AN .BM=BC-CM,DN=AD-AN, .'BM=DN, ..AN+AB+BM-CM+CD+DN, '.MN把矩形ABCD分成了周长相等的两部分， .直线MN符合要求. (4)①如下图所示，过点H作HG⊥BC于点G,连接AC 交PQ于点O,过点P作PK⊥BC于点K,过点O作OT⊥ BC于点T, ',四边形ABCD是矩形，且直线PQ将矩形ABCD分成 周长相等的两部分， .O是AC的中点， 六BT=CT=2BC=2, ∴0T=号0A= 1 ,∠PQC=45°， △OQT是等腰直角三角形， Q7=0r=号 BQ-BT-QT=是. BH⊥PQ, ∴.∠BHQ=90° 又，∠BQH=∠PQC=45, △BHQ是等腰直角三角形， HG=G02BQz×是-是 4 cG=CT+TQ+GQ=2+2+4=4, 1313 3 tan∠BCH=HG_4_ 3 cG=13-13 4 ②2√2.提示：如下图所示，连接BD交PQ于点O, H PQ把矩形ABCD分成了周长相等的两部分， .O为BD和PQ的中点. .BH⊥PQ, 5 点H在以BO为直径的⊙L上. 当CH与⊙L相切时，∠BCH最大。 ,AB=1,AD=4, .BD=√2+4=√I7, ∴BO-BD=四， 2 LH=BL-OL17 4 过点L作LT⊥BC于点T, ∠BTL=90°. :四边形ABCD是矩形， .∠BCD=90°， .TL∥CD, ∴.△BLT∽△BDC, 0品認. √17 :.4_=LT_BT 71=4, LT-BT-1. .CT=BC-BT=4-1=3, 4CL:-TL+C- ,CH是⊙L的切线， .∠CHL=90°， cH=c-亚=-√-（平）'-√ √8=2√2. 6.7√27.4≤m≤6 【全国视野分层练】 基础过关练 1.B2.A3.B4.C5.D 6.3√10 7.OHOE同圆的半径相等 8.69 9.(1)证明：，AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°，∴.BC⊥AC. .'OD∥BC, OD⊥AC, D为AC的中点. (2)解：，∠ACB=90°，AB=10,BC=6, AC=√AB-BC=8. ODLAC,∴AF=2AC=4 :0A=号AB=5, ∴.OF=√OA2-AF2=3, ∴.DF=OD-OF=2. 10.解：(1)如图，连接OA,设喷泉的半径为r米，则OA= OC=r米， B 0 .OD=OC-CD=(r-2)米. 由条件可知OC年分弦AB,AD=合AB=4米， .OC⊥AB ..OA2=AD2+OD2, .2=42+(r-2)2, .r=5. 答：喷泉的半径为5米. (2)由题意，得R=6米， 2×6×3.14÷1.5≈25（盏）. 答：大约需要安装25盏景观灯. 素养提升练 1.D2.C3.D4.D 5.90°6.6+2√66-2√6 7.31313 4 解析：：AB⊥CD,AG=12,GF=5,.CG= GF=5,即CF=2CG=10, .AC=√JAG+CG=√122+5=13. 四边形ACDE是菱形， .CD=AC=13, ∴.GD=CD-GC=13-5=8,DF=CD-CF=13-10=3, .AD=√AG+GD=√122+8z=4√I3. 如图，连接BC,BH, ,AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°，∠AHB=90°， m∠CaB-怨-品中号品 解得AB=, agah 12 AH cos∠DAB=AB-AB,即 4√13169' 12 解得AH=133 4 :四边形ACDE是菱形， .CD∥AE, .∠DAE=∠CDA. 5 如图，过点H作HM⊥AE于点M, ∴.sin∠DAE=sin∠GDA,cos∠DAE=cos∠GDA, :M但=AG.AMGD AΠ一AD'AF-AD' :MH12 AM 8 1334√/13'13134√13 4 MH-2,AM=号ME=AE-AM=13-号-号 2 EH=VF+Mm-√()+(2T-18 4 8.(1)证明：DE∥OC,∴∠COD=∠ODE. (OC-DO, 在△OCF和△DOE中，{∠COF=∠ODE, OF=DE, ∴.△OCF≌△DOE(SAS). (2)解：①C,D是AB的三等分点，∠AOB=90°， .∠AOC=∠COD=∠BOD=30°. 由(1)知△OCF≌△DOE, .∠OCF=∠DOE=30° :∠COG=∠COD+∠DOB=60°， .∠OGC=90°. ②在Rt△OGC中，∠OCG=30°，OA=OC=OB=23, .OG=√3. 又∠D0E=30°，∴OF=2. :∠0CF=∠C0F=30°， ..CF=OF=2. .'△OCF≌△DOE, ∴.OE=CF=2, ∴.GE=2-√3，BE=2√3-2. ,BE-GE=3√3-4>0，∴.BE>GE. 第23讲与圆有关的位置关系 【河北十年真题练】 1.C2.B3.B4.A5.B 6.解：(1)如图，连接OA7,OA11,由题意，知∠A,OA1=120°， AA. A,A1的长=120x6=4r>12, 180 .A,A1比直径长 (2)PA1⊥A,A1.理由如下： 连接OA1,如图， A1A,是⊙O的直径， ∠AA1A1=90°， .PA1⊥A,A1.中考冲刺数学 第一部分 河北中考·考点过关 第六模块 圆 第22讲 圆的有关概念和性质（近三年211分） 河北十年真题练 2016-2025) 考点一 垂径定理及其推论(10年6考) 桌面上，用一个圆形纸片将其完全覆盖，请 1.如图，CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直 设计三个正方形摆放的方案.”某小组提供 径)，AB⊥CD于点E,则下列结论正确的是 了如图2两个方案， A.AEBE B.AD=BC 方案一 方案二 C.∠D-2∠AEC 图1 图2 D.△ADEC∽△CBE (1)在图2中，方案一的圆形纸片的面积记 2.(2021河北16题)如图，在等腰△AOB中， 为S1,方案二的圆形纸片的面积记为S2,则 顶角∠AOB=40°，用尺规按①到④的步骤 S S2(选填“>”“<”或“=”)； 操作：①以点O为圆心，OA长为半径画圆； (2)能完全覆盖图1三个正方形硬纸板的圆 ②在⊙O上任取一点P(不与点A,B重 形纸片的直径的最小值为 合)，连接AP; 考点三圆周角定理及其推论(10年5考， ③作AB的垂直平分线与⊙O交于点M,N; 2025最新考查) ④作AP的垂直平分线与⊙O交于点E,F 4.(2020河北14题)有一题目：“已知：点O为 结论I:顺次连接M,E,N,F四点必能得到 矩形； △ABC的外心，∠BOC=130°，求∠A.”嘉 结论Ⅱ：⊙O上只有唯一的点P,使得 嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O, S扇形FOM=S扇形AOB, 连接OB,OC,如图.由∠BOC=2∠A= 对于结论I和Ⅱ，下列判断正确的是( 130°，得∠A=65°.而淇淇说：“嘉嘉考虑的 A.I和Ⅱ都对 M 不周全，∠A还应有另一个不同的值.” B.I和Ⅱ都不对 下列判断正确的是… C.I不对Ⅱ对 A.淇淇说得对，且∠A的 D.I对Ⅱ不对 一个值是115° 【创新考法】 B.淇淇说得不对，∠A就 3.在综合实践课上，老师拿出了如图1所示的 得65° 三个边长都为1cm的正方形硬纸板，并说： C.嘉嘉求的结果不对，∠A应得50° “若将这三个正方形硬纸板互不重叠平放在 D.两人都不对，∠A应有3个不同值 128 第一部分河北中考·考点过关 中考冲刺数学 5.(2025河北23题)综合与实践 (4)如图5，若直线PQ将 [情境]要将矩形铁板切割成相同的两部分， 矩形ABCD分成周长相等 焊接成直角护板（如图1），需找到合适的切 的两部分，分别交边AD, 割线 BC于点P,Q,过点B作 图5 [模型]已知矩形ABCD(数据如图2所示). BH⊥PQ于点H,连接CH. 作一条直线MN,使MN与BC所夹的锐角 ①当∠PQC=45°时，求tan∠BCH的值； 为45°，且将矩形ABCD分成周长相等的两 ②当∠BCH最大时，直接写出CH的长. 部分. [操作]嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决 问题， 图1 图2 如图4，淇淇的方法如下： ①在边BC上截取 如图3，嘉嘉的思路 BG=AB,连接AG; 如下： ②作线段GC的垂直平 ①连接AC,BD交于 分线l,交BC于点M; 点O: 【创新考法】 ③在边AD上截取AN ②过点O作EF⊥BC, 6.(折叠问题)如图，已知⊙O的半径为5，点 GM,作直线MN. 分别交BC,AD于点 A,B在⊙O上，将劣弧AB沿直线AB翻折， E.F...... 与弦BC交于点D,BC=8,BD=3CD,那么 弦AB的长为 图3 图4 7.(动点问题)如图，在平面直角坐标系中，已 [探究]根据以上描述，解决下列问题. 知点A(1-m,0),B(1+m,0),D(1,0),点 (1)图2中，矩形ABCD的周长为 C在以点E(5,3)为圆心，1为半径的⊙E上 (2)在图3的基础上，用尺规作图作出直线 运动，且始终满足∠ACB=90°，则m的取值 MN(作出一条即可，保留作图痕迹，不写 范围是 作法)； (3)根据淇淇的作图过程，请说明图4中的 直线MN符合要求； [拓展]操作和探究中蕴含着一般性结论，请 B x 继续研究下面的问题. 129 中考冲刺数学 全国视野分层练 基础过关练 1.(2025重庆)如图，点A,B,C在⊙O上， ∠AOB=100°，∠C的度数是·( A.40° B.50° C.80° D.100° R 第5题图 第6题图 6.(2024黑龙江牡丹江)如图，在⊙O中，直径 AB⊥CD于点E,CD=6,BE=1,则弦AC 的长为 第1题图 第2题图 7.（冀教九上P149习题B组 H 2.(2025四川宜宾)如图，AB是⊙O的弦，半 T2变式)如图，C是以点 O为圆心，AB为直径的 径OC⊥AB于点D.若AB=8,OC=5,则 AG 0 D B OD的长是 半圆上一点，且CO⊥AB,在OC两侧分别 ……………( 作矩形OGHI和正方形ODEF,且点I,F A.3 B.2 C.6 n 在OC上，点H,E在半圆上，可证：IG= 3.(2025山西)如图，AB为⊙O的直径，C,D是 FD.小云发现连接图中已知点得到两条线 ⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD,CD. 段，便可证明IG=FD. 若AC=BC,则∠D的度数为…( 请回答：小云所作的两条线段分别是 A.30° B.45° C.60° D.75° 和 D 证明IG=FD的依据是矩形的对角线相等， 和等量代换， ●0 8.（2025河北沧州盐山校级摸拟)如图，AB是 C ⊙O的直径，C,E为圆上两点，若C为BD 的中点，连接DE并延长与⊙O交于点F, 第3题图 第4题图 与CA的延长线交于点H.若2∠D十 4.(2025甘肃)如图，四边形ABCD内接于 ∠DBE=180°，BC=3,HC=12,则BE= ⊙O,AB=BC,连接BD,若∠ABC=70°，则 ,AH= ∠BDC的度数为…（ ) A.20° B.35°C.55° D.70 H 5.（2025河北保定涿州一模)如图，A,B,C是 ⊙O上的三点，已知∠OAB=21°，那么∠C 的度数为…() A.60° B.61°C.68 D.69° 130 第一部分河北中考·考点过关 中考冲刺数学 9.(2025河北保定莲池校级模拟)如图，AB是 素养提升练— ⊙O的直径，C,D是⊙O上的点，且OD∥ 1.（2025河北邯郸丛台校级三摸)如图，AB, BC,AC分别与BD,OD相交于点E,F. AC是半径为1的⊙O的两条弦，OD⊥AB (1)求证：D为AC的中点； 于点D,OE⊥AC于点E,连接DE.若 (2)若BC=6,AB=10,求DF的长. ∠A=45°，则DE的长为…() A.1 B.√2 C1.7D号 10.（2025河北秦皇岛青龙一模)如图1，某公 园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安 第1题图 第2题图 全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防 2.(2025四川南充)如图，AB是⊙O的直径， 护栏.现在对喷泉进行测量和规划，其示意 AD⊥AB于点A,OD交⊙O于点C,AE⊥ 图如图2所示，相关信息如下： OD于点E,交⊙O于点F,F为BC的中点， 信息一：点O为喷泉中心，AB是喷泉边缘 P为线段AB上一动点，若CD=4,则PE十 的一条弦，AB=8米，D是弦AB的中点，连 PF的最小值是 ………( 接OD并延长，交劣弧AB于点C,CD=2米. A.4 B.2√7 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米， C.6 以点O为圆心，R为半径作防护栏所在圆. D.45 请根据以上信息解答下列问题： 3.（2025河北邯郸三摸)如图，公园里A,B,C,D 四个亭子（看作点）在⊙O上，且点B在点A的 (1)求喷泉的半径； 南偏西70°方向上，点C在点B的正南方，点D (2)要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景 在点C的南偏东80°方向上.计划在CD的延 观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（π取 长线上再修建一个亭子E,使∠AED=46°.下 3.14,结果保留整数) 列说法正确的是 北 十东 70° 图1 图2 C80° A.∠ABC=105° B.点D在点A的南偏东14°方向上 C.点E在点A的南偏东46°方向上 D.设AE与AD交于点F,连接CF,则 ∠DCF=24° 中考冲刺数学 4.如图，已知AB是半圆O的直径，点C,D将 8.(一题练透)如图，在扇形AOB中，∠AOB= AB分成相等的三段弧，点P在AC上.若点 90°，C,D是AB上两点，过点D作DE∥OC Q在AB上，∠APQ=x,对于下列三个结论 交OB于点E,在OD上取点F,使OF= 判断正确的是…（) DE,连接CF并延长交OB于点G. 结论I:若点Q在CD的中点处，则a=145°； (1)求证：△OCF≌△DOE: 结论Ⅱ：当点Q在BD上时，a的最小值 (2)若C,D是AB的三等分点，OA=2√3. 为90°； ①求∠OGC: 结论Ⅲ：若a=115°，则点Q在BD上 ②请比较GE和BE的大小. A.I和Ⅲ都对 B.I和Ⅱ都不对 C.Ⅱ对Ⅲ不对 D.I不对Ⅲ对 备用图 第4题图 第5题图 5.（2024江苏连云港)如图，AB是圆的直径， ∠1，∠2，∠3，∠4的顶点均在AB上方的圆 弧上，∠1，∠4的一边分别经过点A,B,则 ∠1+∠2+∠3+∠4= 6.如图，⊙O的半径是6，AB是⊙O的弦，C是 AB上一点，AC=6,BC=2,P是⊙O上一 动点，则点P与点C之间的最大距离是 ,最小距离是 G F B B 第6题图 第7题图 7.(2025重庆)如图，AB是⊙O的直径，点C 在⊙O上，连接AC.以AC为边作菱形 ACDE,CD交⊙O于点F,AB⊥CD,垂足 为G.连接AD,交⊙O于点H,连接EH.若 AG=12,GF=5,则DF的长度为 EH的长度为 132