第23讲 与圆有关的位置关系-【夺冠百分百】2026年中考数学冲刺精练册（河北专用）

第一部分河北中考·考点过关 中考冲刺数学 第23讲 与圆有关的位置关系 河北十年真题练 2016-2025) 考点一 三角形的内心和外心(10年7考) AC的中点. 连接OD,.∠ADC=90°， 1.(2019河10题)根据圆规作图的痕迹，可用 直尺成功找到三角形外心的是…( .OD=O,点D在⊙O上， 即点D在△ABC的外接圆上. 如果嘉淇的证明过程正确，○可以为( A.OA B.AB C.BC D.AD B O 考点二直线与圆的位置关系(10年10考) 2.(2018河北15题)如图，点I为△ABC的内 5.如图，BE为半圆O的直径，点A在EB的 心，AB=4,AC=3,BC=2,将∠ACB平移 延长线上，AD切半圆O于点D,BC⊥AD 使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周 于点C,AB=2,半圆O的半径为2，则BC 长为… ( ) 的长为…() A.4.5 B.4 C.3 D.2 E A.2 B.1 C.1.5D.0.5 6.(2021河北24题)如图，⊙O的半径为6，将 该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟 第2题图 第3题图 点为An(n为1~12的整数)，过点A,作 3.(2016河北9题)如图为4×4的网格图，A, ⊙O的切线交A1A1的延长线于点P, B,C,D,O均在格点上，点O是…() (1)通过计算比较直径和劣弧A,A1的长度 A.△ACD的外心B.△ABC的外心 哪个更长 C.△ACD的内心D.△ABC的内心 (2)连接A7A11,则A7A1和PA1有什么特殊 【创新考法】 位置关系？请简要说明理由， 4.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°， (3)求切线长PA,的值. 证明：点D在△ABC的外接圆上.嘉淇的证 A12 明过程如下： A A A 设点O为△ABC的外接圆的圆心 ∠B=90°，.AC为⊙O的直径，即O为 133 中考冲刺数学 ..... 【创新考法】 8.如图，在□ABCD中，AB=4,BC=6,点E 7.已知⊙0的半径是关于x的方程x°2 在边AD上，且△DEC是等边三角形，O是 对角线AC上一点.如果⊙O经过点E且与 x一=1的增根，圆心O到直线1的距离 x-2 边BC没有公共点，那么⊙O的半径r的取 d=2,则直线l与⊙O的位置关系是( 值范围是 A.相切 B.相交 C.相离 D.平行 全国视野分层练 —一基础过关练 4.(2025河北摸拟)如图，点P1~P8是⊙O的 1.(2024上海)在△ABC中，AC=3,BC=4, 八等分点，直线MN与⊙O切于点P;,连接 AB=5,点P在△ABC内，分别以点A,B, PP6,则∠P6PM的度数为…（) P为圆心画圆，圆A半径为1，圆B半径为 2,圆P半径为3，圆A与圆P内切，圆P与 圆B的关系是 …………() A.内含 B.相交 C.外切 D.相离 N 2.（2025河北石家庄摸拟)如图，PA,PB是 A.20° B.22.5 ⊙O的切线，A,B是切点，C为⊙O上一点， C.25° D.30 若∠ACB=70°，则∠P的度数为…() 5.（2025河北沧州盐山模拟)如图，已知四边 形ABCD是⊙O的内接四边形，且AD= BC,过点D作⊙O的切线交BA的延长线 于点E,连接OB,OC,若∠BOC=64°，则 B ∠ADE的度数为……( ) A.70° B.50°C.40° D.20 3.(2025福建)如图，PA与⊙O相切于点A, PO的延长线交⊙O于点C.AB∥PC,且交 ⊙O于点B.若∠P=30°，则∠BCP的大小 为… A.32 B.36° C.26° D.32.5° 6.(2025云南)已知⊙O的半径为5cm.若点 P在⊙O上，则点P到圆心O的距离为 A.30° B.45° C.60° D.75 cm. 134 g, 第一部分河北中考·考点过关 中考冲刺数学 7.(2025安徽)如图，AB是⊙O的弦，PB与⊙O 10.(2025四川南充)如图，在Rt△ABC中， 相切于点B,圆心O在线段PA上.已知∠P ∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,以CD为 50°，则∠PAB的大小为 直径的⊙O交BC于点E,交AC于点F, M为线段DB上一点，ME=MD. (1)求证：ME是⊙O的切线； (2)若CF=3,sinB=号求OM的长. 8.如图，在平面直角坐标系 y↑ 分 中，点A(0,6),点B(8,0), 0 点I是△OAB的内心，则 (1)AB= DMB (2)点I关于x轴对称的点的坐标是 9.(2025山东)如图，在△OAB中，点A在⊙O 上，边OB交⊙O于点C,AD⊥OB于点D. AC是∠BAD的平分线. (1)求证：AB为⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为2，∠AOB=45°，求CB 的长. D C B 135 中考冲刺数学 一 素养提升练— 1.（2025上海)在锐角三角形ABC中，AB=AC, BC=8,它的外接圆⊙O的半径长为5，若D是 B 边BC的中点，以点D为圆心的⊙D和⊙O相 7.(一题练透)如图，在平行四边形ABCD中， 交，那么⊙D的半径长可以是…( AB=10,AD=m,∠D=60°，以AB为直径 A.2 B.5 C.8 D.10 作⊙0. 2.(2025四川有贡)PA,PB分别与⊙O相切于 (1)求圆心O到BC的距离； A,B两点，点C在⊙O上，不与点A,B重合. (2)求圆心O到CD的距离（用含m的代数 若∠P=80°，则∠ACB的度数为…() 式来表示)； A.50° B.100 (3)当m取何值时，CD与⊙O相切？ C.130° D.50°或130° (4)当m取何值时，CD与⊙O有两个交点？ 3.(2025河北石家庄正定三模)如图，点I是 △ABC的内心，点O是△ABC的外心，若 ∠BOA=160°，则∠BIA的度数是…( ) A.120°B.125°C.130°D.135 D 第3题图 第4题图 4.（2025河北摸拟)如图，在△ABC中，BA= BC,∠B=40°，点D在BC边上，点O为 △ADC的内心，当△ABD为钝角三角形时， a<∠AOC<B,则α和3的值分别为() A.a=110°，8=130° B.a=100°，3=135 C.a=110°，B=135 D.a=100°，β=1309 5.(2025上海)已知平面内有一个角，一个圆 与这个角的两边都有两个交点，若此圆在角 的边上截得的两条弦恰好是某正五边形的 一边，那么这个角的度数为 6.（2025四川泸州)如图，梯形ABCD中， AD∥BC,AB=CD=10,⊙O与梯形ABCD 的各边都相切，且⊙O的面积为16π，则点B 到CD的距离为 13610.解：(1)如图，连接OA,设喷泉的半径为r米，则OA= OC=r米， B 0 .OD=OC-CD=(r-2)米. 由条件可知OC年分弦AB,AD=合AB=4米， .OC⊥AB ..OA2=AD2+OD2, .2=42+(r-2)2, .r=5. 答：喷泉的半径为5米. (2)由题意，得R=6米， 2×6×3.14÷1.5≈25（盏）. 答：大约需要安装25盏景观灯. 素养提升练 1.D2.C3.D4.D 5.90°6.6+2√66-2√6 7.31313 4 解析：：AB⊥CD,AG=12,GF=5,.CG= GF=5,即CF=2CG=10, .AC=√JAG+CG=√122+5=13. 四边形ACDE是菱形， .CD=AC=13, ∴.GD=CD-GC=13-5=8,DF=CD-CF=13-10=3, .AD=√AG+GD=√122+8z=4√I3. 如图，连接BC,BH, ,AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°，∠AHB=90°， m∠CaB-怨-品中号品 解得AB=, agah 12 AH cos∠DAB=AB-AB,即 4√13169' 12 解得AH=133 4 :四边形ACDE是菱形， .CD∥AE, .∠DAE=∠CDA. 5 如图，过点H作HM⊥AE于点M, ∴.sin∠DAE=sin∠GDA,cos∠DAE=cos∠GDA, :M但=AG.AMGD AΠ一AD'AF-AD' :MH12 AM 8 1334√/13'13134√13 4 MH-2,AM=号ME=AE-AM=13-号-号 2 EH=VF+Mm-√()+(2T-18 4 8.(1)证明：DE∥OC,∴∠COD=∠ODE. (OC-DO, 在△OCF和△DOE中，{∠COF=∠ODE, OF=DE, ∴.△OCF≌△DOE(SAS). (2)解：①C,D是AB的三等分点，∠AOB=90°， .∠AOC=∠COD=∠BOD=30°. 由(1)知△OCF≌△DOE, .∠OCF=∠DOE=30° :∠COG=∠COD+∠DOB=60°， .∠OGC=90°. ②在Rt△OGC中，∠OCG=30°，OA=OC=OB=23, .OG=√3. 又∠D0E=30°，∴OF=2. :∠0CF=∠C0F=30°， ..CF=OF=2. .'△OCF≌△DOE, ∴.OE=CF=2, ∴.GE=2-√3，BE=2√3-2. ,BE-GE=3√3-4>0，∴.BE>GE. 第23讲与圆有关的位置关系 【河北十年真题练】 1.C2.B3.B4.A5.B 6.解：(1)如图，连接OA7,OA11,由题意，知∠A,OA1=120°， AA. A,A1的长=120x6=4r>12, 180 .A,A1比直径长 (2)PA1⊥A,A1.理由如下： 连接OA1,如图， A1A,是⊙O的直径， ∠AA1A1=90°， .PA1⊥A,A1. (3)PA,是⊙O的切线， .PA,⊥A1A, .∠PA7A1=90° .'∠PA1A2=60°，A1A2=12, .PA,=A1A7·tan60°=12√5. 7.A82T≤<2 【全国视野分层练】 基础过关练 1.B2.C3.C4.B5.A6.57.20 8.(1)10(2)(2,一2)解析：(1).点A(0,6),点B(8,0), .OA=6,OB=8, 在Rt△AOB中，AB=√OA+OB=√62+8=10. (2)如图，过，点I作IC⊥x轴于点C,ID⊥y轴于点D, IE⊥AB于点E,连接IA,IB,IO, 、E D .点I是△OAB的内心，.IC=ID=IE. 设IC=ID=IE=r, 'S△AOB=S△AIO十S△BIO+S△AIB, ∴20A0B=20A+20B·+2ABn .6X8=6r+8r+10r,解得r=2,点I的坐标为(2,2)， 点I关于x轴对称的点的坐标是(2，一2). 9.(1)证明：AD⊥OB于点D, ∴.∠ADB=90°. AC是∠BAD的平分线， .∠DAC=∠BAC. .OA=OC, .∠OAC=∠OCA ∠DAC+∠OCA=90°， .∠OAB=∠OAC+∠BAC=∠DCA+∠DAC=90°. OA是⊙O的半径，且AB⊥OA, .AB为⊙O的切线 (2)解：，∠OAB=90°，∠AOB=45°， ∴.∠B=∠AOB=45°， .'.AB=OA. ⊙0的半径为2， ..AB=OA=OC=2 .OB=√AB2+OA=√2OA=2V2, ∴.CB=OB-OC=2√2-2. 10.(1)证明：连接OE,DF,如图所示， E DM B 5 CD为⊙O的直径，点E在⊙O上， ..OD=OE=OC. OE=OD, 在△OME和△OMD中，{ME=MD, LOM-OM, ∴.△OME≌△OMD(SSS), .∠OEM=∠ODM. CD⊥AB, ∠ODM=90°， ∴.∠OEM=90°， 即OE⊥ME. 又：OE是⊙0的半径， ,ME是⊙O的切线. (2)解：.∠ACB=90°，CD⊥AB, ∴.∠A+∠B=90°，∠A+∠DCF=90°， .∠B=∠DCF 如8=号， sn<Dcr=号 .CD为⊙O的直径 .∠DFC=90°. 在R△DCF中，sn∠DCFS=台， 设DF=4x,CD=5x， 由勾股定理，得CF=√CD一DF2=/(5x)2一(4x)2=3x. .CF=3, .3x=3,解得x=1, .CD=5x=5, 0D=3cD=2.5 由(1)可知△OME≌△OMD, ∴.∠EOM=∠DOM, ∴.∠DOE=∠EOM+∠DOM=2∠DOM. OE=OC,.∠OEC=∠OCE. ,∠DOE是△OCE的外角， ∴.∠DOE=∠OEC+∠OCE=2∠OCE, .2∠DOM=2∠OCE,∴.∠DOM=∠OCE, ∴.OM∥BC,∴.∠OMD=∠B, sin∠OMD=sinB=5 4 在Rt△ODM中，sin∠OMD=OD, OM 4.OM- 素养提升练 1.B2.D3.C4.C 5.108或366号 7.解：(1)如图，过点O作OH⊥BC于点H, ,四边形ABCD是平行四边形，.∠B=∠D=60° :AB=10,OB=5,0H=5OB=5y5, 2 2 ·国心0到BC的距离为5y3 2 D. (2)如图，分别过A,O两点作AE⊥CD,OF⊥CD,垂足分 别为E,F, AE∥OF,OF就是圆心O到CD的距离. :四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,.AE=OF. 在Rt△ADE中，∠D=60°，sinD=AE, AD m60-怎得-5AE= 2n, ∴0F=AE=号m,国心O到CD的距离为号m (3)OF=3m,AB为⊙O的直径，且AB=10 .当OF=5时，CD与⊙O相切于点F, ③ m=5,解得m=103 39 :当m=105时，CD与⊙0相切. 3 (4)若⊙O与线段CD有两个交点，则该圆和线段CD相 交，则5≤m<103 3 第24讲圆的有关计算 【河北十年真题练】 1.A 2.解：(1)正方形ABCD的边长为5， .'.AD=CD=5. 当AE=3时，ED=DF=2. OE=OF=2, .ED=DF=OE=OF, ,四边形EOFD是菱形. ∠EDF=90°， ∴，四边形EOFD是正方形， .∠EOF=90°， ∴∠EM=∠E0F=45. (2).四边形OEMF为菱形， .'EM-MF-OE-OF. ,扇形OEF所在圆的圆心O在对角线BD上， ∴.OE=OM=EM=2, 5 .△OEM是等边三角形， 如图1所示，连接EF交BD于点G, ∴EF⊥BD, ∴∠MBG=z∠ME0=80, MG-OG-EM-1, ∴.EG=√E-MG=√3. 图1 :∠EDG=45°， ',△EGD是等腰直角三角形， .EG=DG=√3， .DE=√EG+DG=√6. (3)如图2所示，当EMF是劣孤时， ∠E0F=150°，半径OE=2, “EMF的长=150xX2_5x 180 3 图2 图3 如图3所示，当EMF是优孤时， :∠E0F=150°，半径0E=2, .360°-150°=210°， ·EMF的长=210x×2_7x 180 31 综上所述，EMF的长为晋或行。 3.解：(1)如图1，连接OA,OB, ⊙O的半径为3，AB=3,.OA=OB=AB=3, △AOB为等边三角形， ∠A0B=60,AN的长为903=元 .劣孤AN的长为π. N(B) BH 图1 图2 (2)如图2，过点B作BI⊥OA于点I,过点O作OH⊥MN 于点H,连接MO, .OA∥MN, ∴.∠IBH=∠BHO=∠HOI=∠BIO=90°， ∴四边形BIOH是矩形，.BH=OI,BI=OH, .'MN=2√5，OH⊥MN,∴.MH=NH=√5. 而OM=3,∴.OH=w√/O-MH=2=BI, ∴.点B到OA的距离为2.