第20讲 平行四边形-【夺冠百分百】2026年中考数学冲刺精讲册（河北专用）

2.(2025江苏镇江期中)如图1~3，分别是正 (1)请直接写出s= 方形、正五边形和正六边形，将这三种正多 (2)请直接写出正n边形相邻两条对角线 边形的相邻两条对角线的夹角分别记作 的夹角an= (用含n的代数式 a4,as,a6,我们知道根据正方形的性质，可 表示)； 知a4=90°. (3)爱思考的小敏提出：如图4，M,N分别 D D 是正五边形BC,CD上的动点，且始终保持 BM=CN,BM与CN的夹角B与a5相等， as 你同意她的观点吗？请说明理由. 图1 图2 D 图3 图 第20讲 平行四边形 【2022课标要求】 1.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形（新增）的概念，以及它们之间的关系. 2.了解四边形的不稳定性. 3.探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.探 索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分 别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形 4.理解两条平行线之间距离的概念，能度量两条平行线之间的距离. 河北中考，考点梳理 考点、平行四边形的概念、性质与判定☆重点 概念 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 1.边：(1)两组对边分别平行； (2)两组对边分别相等； 2.角：(1)两组对角分别① 性质 (2)四组邻角分别② 3.对角线：对角线互相③ 4.对称性：是中心对称图形，但不是轴对称图形 69 续表 1.边：(1)两组对边分别④ 的四边形是平行四 边形； (2)两组对边分别⑤ 的四边形是平行四边形； 判定 (3)一组对边⑥ 的四边形是平行四边形； 2.角：两组对角分别⑦ 的四边形是平行四边形； 3.对角线：对角线互相⑧ 的四边形是平行四边形 面积计算公式 SOABCD=BC·AE=AD·AE 温馨提示：平行四边形中辅助线的作法 1.连接对角线或平移对角线，构造相等线段或平行； 2.过顶点作对边的垂线，构造直角三角形； D E B 3.连接对角线交点与另一边中点或过对角线交点作一边的平行线，构造中位线或平行线； D 0 4.连接顶点与边上一点或连接顶点与一边延长线上一点，构造相似三角形 D E D 自主复习·方法提炼 1.已知：四边形ABCD是平行四边形，E是 周长为 BC上一点 (3)如图3，AE⊥BC于点E,若∠D=45°， (1)如图1，若AE平分∠BAD,∠D=50°， AE=4,AC=5,则平行四边形ABCD的周 则∠AEC= 长为 (2)如图2，若E是BC的中点，O为对角线 (4)如图4，若AB=2,BC=3,∠ABC= 的交点，△CEO的周长为6，则△ABC的 60°，则 70 ①平行四边形ABCD的面积为 (1)求AD与BC之间的距离； △AOB的面积为 (2)当t为何值时，四边形MNCD是平行 ②若E为BC边上一动点，连接AE,DE, 四边形？求此时四边形MNCD的面积. 则AE十DE的最小值为 (5)如图5，若AB⊥AC,AB=8,BD=20, 则AC的长为 ,AD,BC之间的距 离为 图 图3 图4 图5 提分技法 (1)求角度：先将题中的已知角找出来， 再结合平行四边形的性质（即对角相 等，邻角互补及对边平行)，将所求角与 已知角逐渐联系起来. (2)求线段长： ①根据平行四边形的性质将已知条件 转化到一个三角形中，利用勾股定理、 直角三角形的性质、等腰三角形的性质 或三角形面积公式等进行求解； ②根据平行四边形的性质，利用中位线 定理、平行线分线段成比例定理、全等 三角形的判定与性质或相似三角形的 判定与性质，求线段长或线段比值 2.(2025河北邢台平乡县期中)如图，在四边 方法点拔 涉及动点问题，常见的命题模式是 形ABCD中，AD∥BC,∠A=∠B=90°， “某线段取何值时，以某四个点为顶点 AD=18,BC=CD=10.点M从点A出 的四边形为平行四边形”，解题时要注 发，沿AD方向运动到点D,同时点N从点 意运用逆向思维，即将要判定的平行四 C出发，沿CB方向运动到点B,点M,N 边形作为已知条件，利用其性质求线段 的速度均为每秒1个单位长度.设点M,N 的长，但要注意正向检验， 的运动时间为t(s). 71由题意可得四边形ABGC是 矩形， ∴.CG=AB=12cm. 又：∠OAC=a-∠BAC=40°， .∠AC0=90°-∠OAC=50°， ∠GCD=40°. 图1 在Rt△CDG中，CD= CG cos∠GCD≈15.7cm (2)淇淇看法正确.理由如下： 如图2，延长AM,BM交底部于 点C,D 由题意，得MN∥CD,MC∥ND, 、M N .四边形MNDC是平行四边形， ∴.MN=CD. 0 EC 同理，MN=EF. 图2 ∴.EF=CD≈15.7cm. 第五模块 四边形 第19讲多边形 【河北中考·考点梳理】 ①(n-2)×180° ②360° ③(n-3) ④n(n-3) ⑤n-2)·180° ⑥360° ⑦同心圆⑧n⑨轴对称 n ①中心对称①外接圆②外接圆⑧圆心角@中心 ®VR-(受】画7adm2a四360 【自主复习·方法提炼】 1.(1)30°2√5(2)60°√3 (3)60°直角三角形 (4)<(5)3,3 2 2.解：(1)108°120°解析]AC⊥BD,.a4=90°. 由题意可得AB=BC=CD,∠ABC=∠BCD=108°， ∠DBC=∠ACB=180°，108=36， 2 .a5=180°-∠DBC-∠ACB=108. 在正六边形ABCDEF中，AB=BC=CD,∠ABC= ∠BCD=120°， ∠DBC=∠ACB=180°，120°=30， 2 .a6=180°-∠DBC-∠ACB=120°. (2)n-2)X180°[解析]根据(1)中的结果发现a等于 正n边形一个内角的度数， am=（n-2)X180° n (3)同意，理由如下： N 设BN与AM的交点为F, 由题意可得AB=BC=CD,∠ABC=∠BCD=108°， (AB=BC, 在△ABM和△BCN中，∠ABC=∠BCD, BM=CN, ,'.△ABM≌△BCN(SAS), ∴.∠AMB=∠BNC, ,.∠AMB+∠CBN=∠BNC+∠CBN=180°-∠DCB=72°， ∴.∠BFM=180°-（∠AMB+∠CBN)=108°， .B=∠BFM=108°， ∴.B=a5: 第20讲平行四边形 【河北中考·考点梳理】 ①相等②互补③平分④平行⑤相等⑥平行且 相等⑦相等⑧平分 【自主复习·方法提炼】 1.(1)115°(2)12(314+8V24)03V53y5 4 ②√2ī(5)122413 13 解析：(1)如图1，：∠B=∠D=50°，且 AE平分∠BAD,故∠1=∠2=65°，则 ∠AEC=∠1+∠B=50°+65°=115°. (2)由平行四边形对角线互相平分且 图1 E为BC的中点，可知OE为△ABC 的中位线，：C△co=6,C△cBo=OC+OE+CE,C△ABc= AC+AB+BC-2(OC+OE+CE)-2X6-12. (3),∠B=∠D=45°，AE⊥BC,故△ABE为等腰直角三 角形，AE=BE=4,在Rt△AEC中，由勾股定理，得CE= √AC-AE=√53-4=3，.BC=BE+CE=7;同理， 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=4√2，∴COABCD 2(AB+BC)=2X(7+4√2)=14+8√2. (4)①如图2，作AH⊥BC,垂足为 H,:∠ABC=60°，∠AHB=90°， M AB=2,在Rt△ABH中，AH= 0 B H ABsin60°=V3,SGABCD=AH· 图2 BC=3V3.作OM∥BC,且ON⊥ AB,:O为AC的中点，∴.OM为△ABC的中位线， OM=2BC=,且∠AM0=60,∴MN=2OM= 是，在R△ONN中，ON-3Y点，Sm-号AB· OW=33 4Γ ②如图3，以BC为对称轴作，点A的 对称点A',连接AA',交BC于点F, 连接A'D,BF为中垂线，故BF=1; 在Rt△ABF中，由勾股定理，得AF= √3，AA'=2AF=2√3，AD=BC=3, 在Rt△ADA'中，A'D=√AD+AAF= 图3 √，由图可知AE+DE=A'E十DE≥A'D=√2I. (5)BD=20,.BO=10.又ABL1 AC,.∠BAC=90°.在Rt△ABO 中，由勾股定理，得AO=6,故AC= 2AO=12,如图4，过点A作AM 图4 BC,垂足为M,SOABCD=AC·BA= BC·AM,在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=4√13， 12X8=4√13·AM,AM=243,即AD与BC之间的 13 距离为24V13 13 2.解：(1)如图，过点C作CE⊥AD于点E, M E D B ∠A=∠B=90°，CE⊥AD, .四边形ABCE是矩形， ∴.AE=BC=10,AB=EC, .'DE=AD-AE=8, ∴.EC=√CD-DE=6, '.AD与BC之间的距离为6. (2)四边形MNCD是平行四边形， ∴.MD=CN,∴.18-t=t,.t=9,∴.CN=9, .四边形MNCD的面积=6X9=54. 第21讲矩形、菱形及正方形 【河北中考·考点梳理】 ①直角②直角③相等④2⑤三⑥相等⑦邻边 ⑧相等⑨垂直平分①平分①两条对角线②两条对 角线的交点⑧一半④相等⑤垂直⑥邻边⑦直角 ⑧都相等四直角④垂直平分①4②矩形⑧菱形 必互相垂直平分且相等 【自主复习·方法提炼】 1.(1)证明：选择①，，AD∥BC,AB∥CD, .四边形ABCD是平行四边形， 又.∠ABC=90°， ,四边形ABCD是矩形. 选择②，'AD∥BC,AD=BC, .四边形ABCD是平行四边形. 又'∠ABC=90°， .四边形ABCD是矩形 (2)解：.∠ABC=90°，AB=3,AC=5, .BC=√/AC2-AB2=4, .矩形ABCD的面积=AB·BC=3×4=12. 2.解：(1)70°[解析].四边形ABCD是菱形， ÷AD∥BC,∠CAD=∠CAB=2∠BAD, .∠BAD+∠ABC=180°. 若∠ABC=40°，则∠BAD=180°-∠ABC=140°， ∴∠CAD-合∠BAD=70. (2)①20[解析]在菱形ABCD中，AB=BC=CD=AD, ACLBD.OA-OC-AC.OB-OD-BD, .∠AOB=90°. 若AC=6,BD=8,则 0A=0C=7AC=3, OB=OD=号BD=4, 在Rt△AOB中，由勾股定理，得 AB=√OA2+OB=√32+4=5， ..AB-BC=CD-AD=5, ∴.AB+BC+CD+AD=5+5+5+5=20, 即菱形的周长为20， ②酷[解析]设AD,BC之同的距离为，则由 Sm=BCA=2AC·BD,得 h=AC.BD_6X8_24 2BC 2X55, 即AD,BC之间的距离为4 ⑧(1)号 [解析]在Rt△AOB中，E是斜边AB的中点， “0E=合AB=号（直角三角形斜边上的中线等于针边的 一半). (i)取AD的中点E',连接BE,则点F在BE'与AC的 交点处时，EF十BF的值最小，即当EF+BF取最小值时， 点F的位置如图1所示. 解题思路如下： :AC所在直线是菱形ABCD的 一条对称轴，点E,E分别是AB； AD的中点， B 点E与点E关于直线AC对称， 图1 AC上任意一点到点E与点E 的距离相等，即有EF=EF, 由“两点之间，线段最短”可知：点F在BE′与AC的交，点 处时，EF十BF的值最小，从而EF十BF的值最小，即当 EF十BF取最小值时，点F的位置如图1所示.