第18讲 锐角三角函数及其应用-【夺冠百分百】2026年中考数学冲刺精讲册（河北专用）

第18讲锐角三角函数及其应用 【2022课标要求】 1.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sinA,cosA,tanA),知道30°，45°，60°角 的三角函数值. 2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角. 3.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题. 河北中考·考点梳理 考点一、锐角三角函数的概念 正弦 sinA=∠A的对边 斜边 二① 余弦 cosA=∠A的邻边=② 斜边 正切 tan A= ∠A的对边 ∠A的邻边 温馨提示：锐角三角函数的值是一个比值，没有单位，它只与角的大小有关，而与三角形的 三边长无关 考点二、特殊角的三角函数值 a 30° 45° 60° sin a 2 ④ 2 ⑤ 2 1 cos a 2 tan a 1 ⑥ 温馨提示：锐角的正弦、正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），锐角的余弦值随 着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 考点三、解直角三角形☆重点 1.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形 2.直角三角形的边角关系（在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c): (1)三边之间的关系：⑦ .(2)两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. (3)边角之间的关系：sinA-cosB-名，cosA=sinB=名，tanA=分anB=合 64 3.解直角三角形的几种常见类型（在△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C分别对应a,b,c) 条件 图形 解法 已知两直角边a,b c=匠+B,由amA=君得∠A,∠B= 90°-∠A 已知斜边c和一直角 B b=⑧ ,由⑨ 得∠A, a 边a ∠B=90°-∠A B ∠B=90°-∠A,c= sin A,6=. a a 已知一直角边a和锐 tan A a 角∠A (或b=√c2-a) 已知斜边c和锐 ∠B=90°-∠A,a=c·sinA,b=c· 角∠A cosA(或b=√c2-a) 温馨提示：解直角三角形时，已知的两个元素中至少要有二条边 考点四、解直角三角形的应用☆重点 1.俯角、仰角 视线 铅 在视线与眼睛所在的水平线所成的角中，视线在水平线⑩ 的是仰 他角水平线 线 又俯角 角，视线在水平线① 的是俯角， 视线 2.坡度（坡比）、坡角 坡面的垂直② h和③ l之比叫坡度（坡比），用字母i表h 示，坡面与水平面的夹角a叫坡角，坡度=an&一女，坡度越大，坡角越大，坡 面越陡。 3.方向角 北 北偏东30° 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角. 北偏西70 70° 30° 温馨提示：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向， 东 /4545o 西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向 西南方向「南偏东45° 自主复习·方法提炼 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，a,b,c分别是 (3)已知c=12,sinA=号，求边AC的长. ∠A,∠B,∠C的对边. (1)已知a=2,b=1,求sinA,cosA,tanA; (2)已知c=2√3，b=√6，求∠B的度数； 65 变式1：（变换设问）如图，在Rt△ABC中，3.(2025河北邯郸模拟)情境 ∠BAC=90°，AD⊥BC于点D,下列结论 嘉嘉和淇淇利用水槽和射灯进行综合实践 正确的是…() 探究，如图1、图2所示，一水槽放置在水平 面上，射灯支架OA垂直于水平面，射灯 AB发出垂直于AB的光线，OA和AB的 B D 夹角a=130°，AB=12cm. A血B品 B.cos C=AD 操作 D 嘉嘉进行了两步实验操作： AB C.sin C= ①如图1，光线投射到空水槽底部CD处， BC D.tan C-D ②如图2，向水槽注水，光线投射到水面 变式2：（变换条件）如图，△ABC的顶点均 MN处，然后发生折射，最后投射到底部 在正方形网格的格点上，则tanB的值为 EF处. 探究 (1)请求出CD长（结果保留一位小数）； (2)在图2中，嘉嘉认为需要知道折射角的 B 度数，才能求EF的长度，淇淇认为不需知 A.v①0 道折射角度数就可以求出EF长.你认为 2 C.1 0.3 谁的看法正确，并写出理由，(sin40°≈ 2.如图，AD是△ABC的中线，tanB= 0.643,cos40°≈0.766，tan40°≈0.839) 3’ cos CA (1)求BC的长； (2)求∠ADC的值. 图1 图2 66.∠HDF=30°，.∠ADE=∠HDF=30°. ②.'BC=10,∴.FC=10-8=2. .'AB=AC,AD平分∠BAC, ∴BH=CH=2BC=5, .HF=5-2=3. 在Rt△DHF中，.∠HDF=30°， .DF=2HF=6.∴.DE=8-6=2. ③：∠BAC=30°，AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=15° .EM=2, ∴.EM=DE ∠ADE=30°，∴∠EMD=30°. :∠BMD=∠BAD+∠ABM=30°， .∠ABM=15°， ∴.AM=BM. .BM=BE+EM=8+2=10,∴.AM=10. 变式1：C变式2：D 2.解：(1)：∠BAC=90°，BC=4√3，AC=2√2， ,根据勾股定理可得AB=√BC一AC =√(4√3)-(2√2)2=2√10. (2)55°同角的余角相等 (3).∠BAC=90°，D为BC的中点， ∴AD=号BC=2×45=2V5. 【解题依据】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 (4)证明：由(2)可知AD=BD, ∠B=60°， .△ABD为等边三角形. E为BD的中点， .AE为BD边上的中线，.AE⊥BD, .∠AED=90°， .△ADE为直角三角形. 【解题依据】有一个角等于90°的三角形是直角三角形 变式：解：(1)在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10, .∠ABC=30°， ∴.AB=2AC=20,AC=10. ∴.BC=√AB2-AC=√202-102=10W3. (2)如图，过点B作BM⊥FD于点M, FM D :AB∥CF, .∠BCM=∠ABC=30°， BM-BC-5/5.CM-/BC-BVF-15, 由题意可得∠EDF=45°， ∴.MD=BM=5√3， .CD=CM-MD=15-5√3. 第18讲锐角三角函数及其应用 【河北中考·考点梳理】 0:@名@号⑧号⑤鸣@v5@a+=c ⑧V2F-云⑨sinA=名四上方四下方@高度 B水平宽度 【自主复习·方法提炼】 1.解：(1)根据勾股定理，得c=√a2十6=√22+1下=√5， 后=，osA=点=1=5 ∴.sinA=a=2=25 c55,tan A= =2 (2):c=2V3,b=√6， ∴sinB=b=62 025=2∠B=45 8如A=分小号-号年号=日a=4, 1 .由勾股定理，得AC=√c2-a=√122-4=8√②. 变式1：C变式2：C 2.解：(1)如图，过点A作AE⊥BC于点E, B ·osC=2 21 ,.∠C=45°. 在Rt△ACE中，CE=AC·cosC=1, .'.AE=CE=1. 在R△ABE中，mB=分，能=寸 .BE=3AE=3, .'BC=BE+CE=4. (2):AD是△ABC的中线， ∴CD=2BC=2, .DE=CD-CE=1. AE⊥BC,DE=AE, .∠ADC=45°. 3.解：(1)OA和AB的夹角a=130°，AB=12cm.如图1，作 CG⊥BD于点G, 由题意可得四边形ABGC是 矩形， ∴.CG=AB=12cm. 又：∠OAC=a-∠BAC=40°， .∠AC0=90°-∠OAC=50°， ∠GCD=40°. 图1 在Rt△CDG中，CD= CG cos∠GCD≈15.7cm (2)淇淇看法正确.理由如下： 如图2，延长AM,BM交底部于 点C,D 由题意，得MN∥CD,MC∥ND, 、M N .四边形MNDC是平行四边形， ∴.MN=CD. 0 EC 同理，MN=EF. 图2 ∴.EF=CD≈15.7cm. 第五模块 四边形 第19讲多边形 【河北中考·考点梳理】 ①(n-2)×180° ②360° ③(n-3) ④n(n-3) ⑤n-2)·180° ⑥360° ⑦同心圆⑧n⑨轴对称 n ①中心对称①外接圆②外接圆⑧圆心角@中心 ®VR-(受】画7adm2a四360 【自主复习·方法提炼】 1.(1)30°2√5(2)60°√3 (3)60°直角三角形 (4)<(5)3,3 2 2.解：(1)108°120°解析]AC⊥BD,.a4=90°. 由题意可得AB=BC=CD,∠ABC=∠BCD=108°， ∠DBC=∠ACB=180°，108=36， 2 .a5=180°-∠DBC-∠ACB=108. 在正六边形ABCDEF中，AB=BC=CD,∠ABC= ∠BCD=120°， ∠DBC=∠ACB=180°，120°=30， 2 .a6=180°-∠DBC-∠ACB=120°. (2)n-2)X180°[解析]根据(1)中的结果发现a等于 正n边形一个内角的度数， am=（n-2)X180° n (3)同意，理由如下： N 设BN与AM的交点为F, 由题意可得AB=BC=CD,∠ABC=∠BCD=108°， (AB=BC, 在△ABM和△BCN中，∠ABC=∠BCD, BM=CN, ,'.△ABM≌△BCN(SAS), ∴.∠AMB=∠BNC, ,.∠AMB+∠CBN=∠BNC+∠CBN=180°-∠DCB=72°， ∴.∠BFM=180°-（∠AMB+∠CBN)=108°， .B=∠BFM=108°， ∴.B=a5: 第20讲平行四边形 【河北中考·考点梳理】 ①相等②互补③平分④平行⑤相等⑥平行且 相等⑦相等⑧平分 【自主复习·方法提炼】 1.(1)115°(2)12(314+8V24)03V53y5 4 ②√2ī(5)122413 13 解析：(1)如图1，：∠B=∠D=50°，且 AE平分∠BAD,故∠1=∠2=65°，则 ∠AEC=∠1+∠B=50°+65°=115°. (2)由平行四边形对角线互相平分且 图1 E为BC的中点，可知OE为△ABC 的中位线，：C△co=6,C△cBo=OC+OE+CE,C△ABc= AC+AB+BC-2(OC+OE+CE)-2X6-12. (3),∠B=∠D=45°，AE⊥BC,故△ABE为等腰直角三 角形，AE=BE=4,在Rt△AEC中，由勾股定理，得CE= √AC-AE=√53-4=3，.BC=BE+CE=7;同理， 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=4√2，∴COABCD 2(AB+BC)=2X(7+4√2)=14+8√2. (4)①如图2，作AH⊥BC,垂足为 H,:∠ABC=60°，∠AHB=90°， M AB=2,在Rt△ABH中，AH= 0 B H ABsin60°=V3,SGABCD=AH· 图2 BC=3V3.作OM∥BC,且ON⊥ AB,:O为AC的中点，∴.OM为△ABC的中位线， OM=2BC=,且∠AM0=60,∴MN=2OM= 是，在R△ONN中，ON-3Y点，Sm-号AB·