第7讲 一元二次方程及其应用-【夺冠百分百】2026年中考数学冲刺精讲册（河北专用）

.乙每小时走6千米 (2)设这种商品的单价为y元， 根据题意，得2400+10=3000 y y 解得y=60, 经检验可知y=60是所列分式方程的解，且满足题意. 答：这种商品的单价为60元. (3)该商品的单价为40元，比第一次购买的单价少了 20元. 理由如下：设第二次购买时，该商品的单价为(60十m)元， 则乙两次购买该商品的总件教为3000×2=100， 60 而甲第一次购买该商品的件教为2400=40， 60 ∴.甲第二次购买该商品的件数为100一40=60， 0060,解得m=-20,经检验，当n=二20时，60+ m≠0，∴.m=一20是原方程的解且符合题意.60十m=40, 故第二次购买时，该商品的单价为40元，比第一次购买的 单价少了20元. 变式1：B变式2：B 第7讲一元二次方程及其应用 【河北中考·考点梳理】 ①2②x=二b士-4ac③不相等④相等⑤没有 2a ⑥-名⑦÷⑧-p⑨g⑩a(1+m2=b①a1- a m)=6®(a-2x6-2）®6.2®(a-x06-z） 【自主复习·方法提炼】 1.解：(1)当t=3时，原方程化为x2一12x十32=0， 整理，得(x一8)(x一4)=0， x-8=0,或x-4=0,∴.x1=8,x2=4. (2)方程有两个实数根. 理由如下： b2-4ac=(-4t)2-4(3t2+2t-1)=16t2-12t2-8t+4= 4t2一8+4=4(t-1)2, 当t=1时，b2一4ac=0,方程有两个相等的实数根； 当t≠1时，b一4ac>0,方程有两个不相等的实数根， 综上所述，方程有两个实数根。 (3)将x=2代入x2-4tx+32+2t-1=0可得4-8t+ 3t2十2t一1=0，整理，得t-2t十1=0，解得t=1,将t=1 代入x2一4tx+3t2十2t-1=0,可得x2-4x十4=0，解得 x1=x2=2,故t的值为1，方程的另一个根也为2， (4)解方程，得x=3t-1,或x=t十1， ,x1=nx2,∴.3t-1=n(t+1),或t+1=n(3t-1), 当34-1=a+10时，n=3-A ,n,t为正整数， .当t+1=2时，n=1;当t+1=4时，n=2; 当t+1=n(3t-1)时，n=t=1. 综上所述，n的值为1或2. (5)对于关于x的一元二次方程x2-4tx十3t2十2t一1=0. 由一元二次方程根与系数的关系，可得x1十x2=4t, 1x2=3t+2t-1,∴.x+x2=(x十x2)2-2x1x2=102 4t+2,.3(x1+x号)=10x1x2,.3(10t-4t+2)= 10(3+2-1D,解得1=. 变式1：C变式2：C变式3：D 2.解：(1)设将要剪去的正方形的边长为xcm, 根据题意，列方程为(30一2x)(16一2x)=240, 解得x1=20,x2=3, 当x=20时，30-2x<0,16-2x<0, 不符合题意，舍去： 答：将要剪去正方形的边长为3cm. (2)①画出的图形如图所示； ◇ ②设剪去的正方形的边长为ycm. 根据题意可列方程为30×16-2y-2×0) 2y=412, 解得y1=一17（舍去），y2=2, 答：剪去的正方形的边长为2cm. (3)玩具机械狗不能完全放入该收纳盒.理由如下： 设剪去小长方形的长为bcm(b<15),则折成的有盖的长 方体收纳盒的底面长为(30-2b)cm,宽为(46-4b)cm, 根据题意，得(30一2b)(46一4b)=60, 整理，得2b2一53b+330=0, 解得b1=10,b2=16.5>15(不符合题意，舍去)， “30-2b=30-20=10,46-4h=46-4X10=6,30-10X2=5, 2 ∴.折成的有盖的长方体收纳盒的长为10m,宽为6m,高 为5cm. .10>8,6=6,5<7, ∴玩具机械狗不能完全放入该收纳盒。 (4)设销售单价为a元/个，则每天的销售量为[200十20× 10(10-a)]个，则 (a-4)[200+200(10-a)]=2400, 整理，得a2一15a十56=0， 解得a1=7,a2=8, 但是要尽可能减少库存，∴.a=8不符合题意，取a=7. 答：该厂家将销售单价定为7元/个时，每天的销售利润为 2400元. 第8讲一元一次不等式（组）及其应用 【河北中考·考点梳理】 ①不等②未知数③所有④集合⑤解集⑥> ⑦>⑧>⑨<⑩<①1@同一⑧x>b第7讲一元二次方程及其应用 【2022课标要求】 1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程. 2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等. 3.了解一元二次方程的根与系数的关系。 4.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性. 河北中考·考点梳理 考点一、一元二次方程及其解法 1.概念及一般形式 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 概念 ① (二次)的方程 二次项系数 (a≠0)一次项系数 一般形式 @网+@+回=0 二次项一次项常数项 2.解法 解法 适用情况 注意事项/步骤 (1)当方程缺少一次项时，即方程为 直接开 ax2+c=0(a≠0，ac<0), 开方后所取值前记得加“士” 平方法 (2)形如(x十b)2=a(a≥0)的方程 (1)使用求根公式时要先把一元二次方程化 适用于所有一元二次方程，求根公式为一般形式，方程的右边一定要化为0. 公式法 为② (b一4ac≥0)(2)将a,b,c代入公式时应注意其符号. (3)若b2一4ac<0,则原方程无解 (1)化二次项系数为1. 适用所有一元二次方程，其中当二次(2)把常数项移到方程的另一边， 配方法项系数化为1，一次项系数为偶数(3)在方程两边同时加上一次项系数一半的平方. 时，配方法较简单 (4)把方程整理成(x十b)2=a(a≥0)的形式. (5)运用直接开平方法解方程 22 续表 解法 适用情况 注意事项/步骤 将方程右边化为0后，方程的左边可以 因式分 提出含有x的公因式，形如x(ax十 不能在方程两边同除以相同的因式 解法 b)=0或(ax+b)(cx+d)=0,并令 ax十b=0和cx十d=0进行求解 考点二、一元二次方程根的判别式 对于关于x的方程ax2+bx十c=0(a≠0)的根的判别式b2一4ac: 失分警示：应用根的判 1.b2-4ac>0台方程有两个③ 的实数根。 别式b2一4ac时注意隐 2.b2-4ac=0台方程有两个④ 的实数根 含条件a≠0. 3.b2-4ac<0台方程⑤ 实数根 考点三、一元二次方程的根与系数的关系☆2022年版课标新增考点 1.设x1,x2是一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)的两个根，则x1十x2=⑥ ’x1x2= ⑦ 2.设x1,x2是一元二次方程x2十x十q=0的两个根，则x1十x2=⑧ ,x1x2=⑨ 温馨提示：应用根与系数的关系时，一定要注意隐藏条件，即a≠0，b二4ac>0. 考点四、一元二次方程的实际应用 1.平均增长（下降）率问题 方法指导：解决增长率问题关键要找到 (1)增长率= 基研量X100%. 增长量 增长的基础量，增长的百分率，增长的次 (2)设a是基础量，当m为平均增长率，2为增 数等。 长次数，b为增长后的量，则⑩ 公式a(1土x)"=b,a表示增长（或下降） 当m为平均下降率，2为下降次数，b为下降后 前的数据，b表示增长（或下降）后的数 的量，则① 据，x表示增长（或下降）率，n表示增长 2.几何图形面积问题 (或下降)的次数 (1)S阴影=S全一S空白，如图1，设空白部分的宽为x,则S阴影=② (2)如图2，栏杆总长为a,BC的长为b,S阴影=③ (3)如图3、图4，设阴影道路的宽为x,则S空白=④ 图1 23 3.单循环赛（握手）与送礼物问题 单循环赛（握手）总次数=n(,1D(n为人数)，礼物总份数=n(m一1)(m为人数). 2 4.利润问题 利润=售价一进价； 利润率 利润×100%； 进 售价=进价×(1+利润率)； 总利润=每件利润×销售量=总收人一总支出. 自主复习·方法提炼 1.已知关于x的一元二次方程x2一4tx十3t十 通用通法 2t-1=0. 解一元二次方程的方法选择： (1)当t=3时，解这个方程； (1)若给定的方程为x2=n或(x十 (2)试判断这个一元二次方程根的情况，并 m)2=n(n≥0)型时，选用直接开平 说明理由； 方法； (3)如果方程的一个根是2，求t的值和方 (2)若给定的方程（或者变形后）右边为 程的另一个根； 0,左边能因式分解，选用因式分解法； (4)x1,x2是这个方程的两个实数根，若n,t (3)若给定的方程右边为0，左边不能 为正整数，且x1=nx2,求n的值； 因式分解时，一般选用公式法； (5)若3(x+x)=10x1x2,求t的值， (4)对于二次项系数化为1后，一次项系 数是偶数（即形如“x2+2kx十m=0”)的 一元二次方程，采用配方法比较简单 易楷警示 已知一元二次方程的根的情况，求 方程二次项系数中所含字母参数的取值 范围时，除了考虑b一4ac的符号，还要 考虑二次项系数不为0这个前提， 变式1：已知a,c互为倒数，则关于x的方程 ax2-x十c=0(a≠0)的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.有一根为1 24 变式2：(2025河北云家庄裕华区校级二模) 问可否把家里一个玩具机械狗收纳入内？机 亮亮在解一元二次方程x2-6x十☐=0 械狗的实物图和尺寸大小如图5，请通过计算 时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元 判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒； 二次方程有实数根，则丢掉的常数项的最 (4)已知该矩形包装盒的生产成本为4元/个， 大值是…( ) 市场调研发现：如果以10元/个销售，每天可 A.7 B.8 C.9 D.10 以售出200个.为了减少库存，厂家决定降价销 变式3：(2025河北沧州任丘市摸拟)已知m, 售，根据近期销售情况发现，销售单价每降低 0.1元，每天销售量就会增加20个，在尽可能 n是关于x的一元二次方程x2+6.x十k=0 减少库存的情况下，该厂家将销售单价定为多 的两个根，且m(n十1)+n(m+1)=8,则k 少元/个时，每天的销售利润为2400元？ 的值为 A.-7 B.-1C.1 D.7 E(H 2.综合实践一用矩形纸板制作长方体盒子 如图1，有一块矩形纸板，长为30cm,宽为 1 FG) 16cm,要将其四角各剪去一个同样大小的 图4 正方形，折成图2所示的底面积为240cm 的无盖长方体盒子.（纸板厚度忽略不计） 6cm8 cm 图5 图1 图2 图3 (1)求将要剪去的正方形的边长； (2)如图3，小明先在原矩形纸板的两个角 各剪去一个同样大小的正方形（阴影部 分)，经过思考他发现，再剪去两个同样大 小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖 的长方体盒子. ①请你在图3的矩形纸板中画出示意图 (用阴影表示将要剪去的矩形并用虚线表 示折线)； 通用通法 ②若折成的有盖长方体盒子的表面积为 审 利润问题 412cm2,请计算剪去的正方形的边长； 设 几何图形问题 (3)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同 平均增长率问题 建立一元 列 二次模型 解 的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳 甬道问题 盒，如图4所示.若EF和HG两边恰好重 传播问题 验 答 合且无重叠部分，盒子的底面积为60cm, 25