第8讲 一元一次不等式(组)及其应用-【夺冠百分百】2026年中考数学冲刺精讲册（河北专用）

.乙每小时走6千米 (2)设这种商品的单价为y元， 根据题意，得2400+10=3000 y y 解得y=60, 经检验可知y=60是所列分式方程的解，且满足题意. 答：这种商品的单价为60元. (3)该商品的单价为40元，比第一次购买的单价少了 20元. 理由如下：设第二次购买时，该商品的单价为(60十m)元， 则乙两次购买该商品的总件教为3000×2=100， 60 而甲第一次购买该商品的件教为2400=40， 60 ∴.甲第二次购买该商品的件数为100一40=60， 0060,解得m=-20,经检验，当n=二20时，60+ m≠0，∴.m=一20是原方程的解且符合题意.60十m=40, 故第二次购买时，该商品的单价为40元，比第一次购买的 单价少了20元. 变式1：B变式2：B 第7讲一元二次方程及其应用 【河北中考·考点梳理】 ①2②x=二b士-4ac③不相等④相等⑤没有 2a ⑥-名⑦÷⑧-p⑨g⑩a(1+m2=b①a1- a m)=6®(a-2x6-2）®6.2®(a-x06-z） 【自主复习·方法提炼】 1.解：(1)当t=3时，原方程化为x2一12x十32=0， 整理，得(x一8)(x一4)=0， x-8=0,或x-4=0,∴.x1=8,x2=4. (2)方程有两个实数根. 理由如下： b2-4ac=(-4t)2-4(3t2+2t-1)=16t2-12t2-8t+4= 4t2一8+4=4(t-1)2, 当t=1时，b2一4ac=0,方程有两个相等的实数根； 当t≠1时，b一4ac>0,方程有两个不相等的实数根， 综上所述，方程有两个实数根。 (3)将x=2代入x2-4tx+32+2t-1=0可得4-8t+ 3t2十2t一1=0，整理，得t-2t十1=0，解得t=1,将t=1 代入x2一4tx+3t2十2t-1=0,可得x2-4x十4=0，解得 x1=x2=2,故t的值为1，方程的另一个根也为2， (4)解方程，得x=3t-1,或x=t十1， ,x1=nx2,∴.3t-1=n(t+1),或t+1=n(3t-1), 当34-1=a+10时，n=3-A ,n,t为正整数， .当t+1=2时，n=1;当t+1=4时，n=2; 当t+1=n(3t-1)时，n=t=1. 综上所述，n的值为1或2. (5)对于关于x的一元二次方程x2-4tx十3t2十2t一1=0. 由一元二次方程根与系数的关系，可得x1十x2=4t, 1x2=3t+2t-1,∴.x+x2=(x十x2)2-2x1x2=102 4t+2,.3(x1+x号)=10x1x2,.3(10t-4t+2)= 10(3+2-1D,解得1=. 变式1：C变式2：C变式3：D 2.解：(1)设将要剪去的正方形的边长为xcm, 根据题意，列方程为(30一2x)(16一2x)=240, 解得x1=20,x2=3, 当x=20时，30-2x<0,16-2x<0, 不符合题意，舍去： 答：将要剪去正方形的边长为3cm. (2)①画出的图形如图所示； ◇ ②设剪去的正方形的边长为ycm. 根据题意可列方程为30×16-2y-2×0) 2y=412, 解得y1=一17（舍去），y2=2, 答：剪去的正方形的边长为2cm. (3)玩具机械狗不能完全放入该收纳盒.理由如下： 设剪去小长方形的长为bcm(b<15),则折成的有盖的长 方体收纳盒的底面长为(30-2b)cm,宽为(46-4b)cm, 根据题意，得(30一2b)(46一4b)=60, 整理，得2b2一53b+330=0, 解得b1=10,b2=16.5>15(不符合题意，舍去)， “30-2b=30-20=10,46-4h=46-4X10=6,30-10X2=5, 2 ∴.折成的有盖的长方体收纳盒的长为10m,宽为6m,高 为5cm. .10>8,6=6,5<7, ∴玩具机械狗不能完全放入该收纳盒。 (4)设销售单价为a元/个，则每天的销售量为[200十20× 10(10-a)]个，则 (a-4)[200+200(10-a)]=2400, 整理，得a2一15a十56=0， 解得a1=7,a2=8, 但是要尽可能减少库存，∴.a=8不符合题意，取a=7. 答：该厂家将销售单价定为7元/个时，每天的销售利润为 2400元. 第8讲一元一次不等式（组）及其应用 【河北中考·考点梳理】 ①不等②未知数③所有④集合⑤解集⑥> ⑦>⑧>⑨<⑩<①1@同一⑧x>b @x<a⑤a<x<b⑥无解⑦≥⑧≤ 【自主复习·方法提炼】 1.解：(1)不等式两边减去同一个数，不等号的方向不变 不等式两边除以同一个负数，不等号的方向改变 (2)将a=1代入，得一2x+3≤1， -2x≤1-3， -2x≤-2， x≥1. -5-4-3-2-10123451 (3)-2x+3≤a, >32, :x>3满足不等式-2x十3≤a, 32≤3， .a≥-3. ≥3，， (4)解不等式组，得 2 x≤3. ”不等式组无解， 32>3,解得a<-3. (5)解不等式，得 公3e 2 x≤3. ,不等式组 一2x十3<a‘有三个正整数解， 2-x≤5-2x 0<322≤1,3>a≥1 变式：B 2.解：(1)115-100=15（点），110-115=-5（点）， 答：每关的奖励值为十15点，惩罚值为-5点. (2)设失败了n次， 根据题意，得100+4×15+（一5）n=145, 解得n=3. 答：一共失败了3次 (3)设嘉嘉失败了x次， 根据题意，得100+10×15+（一5）x≥220， 解得x≤6， x最大取6. 答：嘉嘉最多能失败6次 第三模块函数及其图象 第9讲 函数初步 【河北中考·考点梳理】 ①垂直②重合③一一④<⑤>⑥<⑦< ⑧>⑨<⑩纵①横@横⑧纵④y=一x ⑤每一个⑥唯一⑦≠⑧≥©> 【自主复习·方法提炼】 1.解：(1)(-6,0)(2)(0,12) (3)(-12,-12)或(-4,4) (4)-4<a<2(5)-2 (6)①(-1，-10)②(1,10)③(1，-10) (7)点P的纵坐标比横坐标大3， ∴.2a十8=a-2十3，解得a=-7. .a-2=一9,2a十8=一6.∴.点P的坐标为（一9，一6）. (8)点P到x轴的距离为2， .|2a十8|=2，解得a=-3或a=-5. 又点P在第三象限，.2a十8<0，即a<-4,.a=一5， .a-2=-7,2a+8=-2. 点P的坐标为（一7，一2） (9),点P在过点A(一5,1)且与y轴平行的直线上， 点P的横坐标为一5， .a-2=一5，解得a=-3, ∴.2a十8=2..点P的坐标为(-5,2). (10)由题意知，点M的坐标为(a-2+5,2a十8一3) ,点M在第三象限，且点M到y轴的距离为4， .点M的横坐标为一4，.a一2十5=一4，解得a=一7. .2a+8一3=一9，.点M的坐标为（一4，一9）. 变式：(51,16) 2.解：(1)在这个变化过程中，y是x的函数. (2)能.根据题意，得 y与x的画数关系式为y=50-0. 1 (3)-六x+50≥0且≥0， 自变量x的取值范围是0≤x≤500. (4)当x=200时，y=30; 当x=320时，y=18. 汽车行驶了200km时，油箱中还剩余30L汽油，行驶了 320km时，油箱中还剩余18L汽油. 变式：D 3.解：观察题图可知： (1)小莹到达离家最远的地方是在12时. (2)10时开始第一次休息；休息了0.5h. (3)她可能在12~13时休息，并吃午餐. (4)小莹郊游过程中，各时间段的速度分别为 8~10时，速度为15÷(10-8)=7.5（千米/时）； 10~10.5时，速度为0； 10.5~12时，速度约为(30-15)÷(12-10.5)=10（千米/时）： 12~13时，速度为0； 13~15时，速度为30÷(15-13)=15（千米/时）； 她骑车速度最快是在13~15时，车速是15千米/时.第8讲一元一次不等式（组）及其应用 【2022课标要求】 1.结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质. 2.能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定两个一元一次不 等式组成的不等式组的解集 3.能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的实际问题 河北中考。考点梳理 考点一、不等式的基本概念及性质 1.不等式的基本概念 (1)不等式的定义 用不等号表示① 关系的式子叫做不等式，如x十2>0等. (2)不等式的解、解集 能使不等式成立的② 的值叫不做等式的解；满足不等式成立的未知数的 ③ 的值组成这个不等式的解的④ ,简称不等式的⑤ 2.不等式的性质 (1)不等式的性质1：如果a>b,那么a士c⑥ b士c (2)不等式的性质2：如果a>b,c>0,那么ac⑦ bc(或a⑧ (3)不等式的性质3：如果a>b,c<0,那么ac⑨ bc(或a⑩ 失分警示：应用不等式的性质3时，要注意不等号改变方向 考点二、一元一次不等式（组）及其解法 1.一元一次不等式定义 含有一个未知数，未知数的次数是① 的不等式，叫做一元一次不等式。 2.解一元一次不等式的步骤 (1)去分母；(2)去括号；(3)移项、合并同类项；(4)系数化为1. 失分警示：()在去分母时，注意不要漏乘不含分母的项；(2)在最后系数化为1时，要注意 不等号的方向： 3.一元一次不等式组 一般地，关于② 个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不 等式组， 26 4.一元一次不等式组的解集情况 由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况，如表所示：已知0<α<b. 不等式组 数轴表示 解集 一般规律 [x>a, 。子 ⑧ 同大取大 xb x<a, 。。一 ④ 同小取小 lx<b (x>a, 。方 ⑤ 大小小大中间找 [I<b [I<a, 0品a。二 ⑥ 大大小小找不着 x-b 温馨提示：()用数轴表示解集时，有等号用实点，无等号用圆圈，大于向右拐，小于向左拐； (②)不等式组的解集是各不等式解集的公共部分，含有字母时，要注意对字母的取值进行 讨论 考点三、一元一次不等式的实际应用☆重点 1.用不等式（组）解决实际问题的一般步骤： 实际找不等关系 列不 解不 得出 →检验 问题 设未知数 等式（组） 等式（组） 答案 2.解决不等式的实际应用问题时，常用关键词与不等号的关系表 常用关键词 符号 大于，多于，超过，高于 > 小于，少于，不足，低于 < 至少，不低于，不少于，不小于 ⑦ 至多，不超过，不高于，不大于 ⑧ 自主复习·方法提炼 1.已知关于x的不等式一2x+3≤a(a为 解：一2x+3≤a, ① 常数). 2x≤a-3,… ② (1)下面是小明的解题过程，请你补充解题 x≥3a 乙”“””””””***””””◆”◆0”◆。◆ ③ 依据. 从①到②的解题依据是 27 从②到③的解题依据是 变式：（变换设问）(2025河北沧州盐山县模拟) (2)当a=1时，求出不等式一2x+3≤a的 2x-1>-1, 解集，并把解集在数轴上表示出来； 已知关于x的不等式组 3 下面是 (x-m≤0， -5-4-3-2-1012345 (3)若x>3满足不等式-2x+3≤a,求a 某小组给出的结论： 结论1：当m<一1时，此不等式组无解； 的取值范围， 2x+3≤a, 结论2：若不等式组的解集是一1<x≤3， (4)若不等式组 无解，求a的 2-x≤5-2x 则m=3; 取值范围； 结论3：若此不等式组有整数解，则m≥ 2x+3≤a, -1； (5)若不等式组〈 有三个正整 2-x≤5-2x 结论4：若不等式组的整数解只有0,1,2， 数解，求a的取值范围. 则m=2. 其中结论正确的有 A.1个B.2个C.3个D.4个 2.(2025河北石家庄二摸)某闯关小游戏，玩 家初始能量值为100点，每通过1关可获 得固定能量奖励；相反，每失败1关需要扣 除固定能量惩罚，只有低级的关卡胜利才 能到高级的关卡.例如：玩家闯第1关，一 次成功，能量值变为115点；玩家闯第2 关，第一次失败，能量值变为110点. (1)求每关的奖励值和惩罚值（用正负数表 示奖励和扣除)； (2)嘉嘉同学通过第4关后能量值变为了 145,求嘉嘉同学闯关中一共失败了几次； 通用通法 (3)嘉嘉要想能玩到第11关，且能量值不 根据给定的解集或整数解个数确 低于220点，则嘉嘉最多能失败几次？ 定待定系数的取值范围的步骤： (1)将待定系数看作常数，分别求出不 等式组中各个不等式的解集； (2)结合所提供的解集或整数解个数， 依据不等式解集的确定方法，得出待定 字母的大致范围； (3)验证特殊值（即临界点）是否满足要 求，得出最后答案， 28