第17讲 等腰三角形与直角三角形-【夺冠百分百】2026年中考数学冲刺精讲册（河北专用）

第17讲 等腰三角形与直角三角形 【2022课标要求】 1.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等； 底边上的高线、中线及顶角平分线重合.探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等 的三角形是等腰三角形.探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°.探索等 边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三 角形 2.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余， 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形， 3.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题. 河北中考·考点梳理 考点一、等腰三角形 概念 有两条边① 的三角形是等腰三角形 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的② 线 性质1：等腰三角形的两个底角③ (简写成“④ ”) 性质 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的⑤ 底边上的⑥ 相互 重合（简写成“⑦ ”) (1)有两条边⑧ 的三角形是等腰三角形； 判定 (2)有两个角相等的三角形是等腰三角形，简写成“⑨ 面积 S- 2ah,其中a是底边长，h是底边上的高 温馨提示：()等腰三角形的顶角与底角、腰与底不确定时要分类讨论；(2)“三线合二”中的角 平分线必须是顶角的，中线和高线必须是底边上的。 考点二、等边三角形 概念 ① 条边相等的三角形叫做等边三角形 三个内角都相等，每个角都等于① 性质 等边三角形是轴对称图形，有② 条对称轴 内心和外心重合 三边都相等的三角形是等边三角形 判定 三个角都⑧ 的三角形是等边三角形 有一个角是④ 的等腰三角形是等边三角形 面积 ,a是等边三角形的边长 S3 61 考点三、直角三角形☆重点 概念 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 直角三角形的两个锐角⑤ 性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的⑥ 直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的⑩ 勾股定理：直角三角形中，两条直角边a,b的⑧ 等于斜边c的 性质 © ,即四 有一个角是90°的三角形是直角三角形 有两个锐角互余的三角形是直角三角形 判定 勾股定理的逆定理：如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角 形是① 三角形 面积 2ab(a,b为两直角边长) S= 温馨提示：能够成为直角三角形三条边长的三个正整教，称为勾股数： 自主复习，方法提炼 1.已知△ABC为等腰三角形，请回答下列 30°，EM=2,求AM的长. 问题 (1)若∠A=40°，则∠B= (2)若△ABC的周长为22，AB=8,则 AC= (3)如图1，在△ABC中，AB= y AC,点D在AC上.若BD= 图2 BC=AD,则∠A= 0 D 图中有 个等腰三 角形； B (4)如图2，在△ABC中， 图1 变式1：（变换条件）如图，B,D两点在AE边上， AB=AC,D,E是△ABC内两点，AD平分 C,F两点在AG边上，并且AB=BC=CD= ∠BAC,∠EBC=∠BED=60°，且BE= DF=EF,∠A=20°，则∠EFG=·() 8,BC=10. ①求∠ADE的度数； ②求DE的长； ③延长BE,与AD相交于点M,若∠BAC= A.20° B.80°C.100° D.120° 62 变式2：（变换设问）(2025河北模拟)已知：如 点，且∠B=60°，求证：△ADE为直角三角 图，在△ABC,△ADE中，∠BAC= 形.【解题依据]解决此问所用的判定依据 ∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE,C,D,E 是 三点在同一条直线上，连接BD,BE.以下 四个结论：①BD=CE;②∠ACE+ ∠DBC=45°；③BD⊥CE;④∠BAE+ 图 图2 ∠DAC=180°. 其中结论正确的个数是 图3 变式：（变换条件）(2025河北唐山玉田县二 模)三角板是我们学习数学的好帮手.将一 对直角三角板按如图方式放置，点C在 FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF, A.1 B.2 C.3 D.4 ∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°， 通用通法… 等腰三角形中求边长、周长或角度 AC=10. 时，要对三角形的边和角进行分类讨 (1)求BC的长； 论，并利用三角形的三边关系、内角和 (2)求CD的长. 等知识进行合理性的分析；等边三角形 作为特殊的等腰三角形，包含等腰三角 形的所有性质，既可以在等腰三角形的 条件下通过添加一个60°角证明等边三 角形，也可以在任意三角形的前提下添 加两个60°角证明等边三角形。 2.已知，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC= 45,D为BC上的点. (1)若AC=2√2，求AB的长； (2)如图1，若AD⊥BC,∠B=55°，则 易错警示 应用勾股定理要注意： ∠CAD= ;【解题依据】解决此问 (1)分清直角边与斜边，无法判断的情 用到的依据是 况下要分情况讨论； (3)如图2，若D为BC的中点，求AD的 (2)应用方程思想，当已知一边的长和 长；【解题依据】解决此问用到的依据是 另外两边的关系时，常设出未知数列方 程求解。 (4)如图3，若D,E分别为BC,BD的中 63∴EC=AC-AE=4-号-号(em. 2.(1)∠AED=∠B(答案不唯一) (2)①AE DE AC BC ∠B∠C②2：34：9 (3)2:3(④号或是 3.(1)①证明：，点P在MB上，∠APQ=∠B, ∴.PQ∥BC, 器 ②解：，PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分， ,SQ=4 ,Sa边彩PBCQ5S△BC三 9 PQ∥BC,△APQ△ABC,A=名 AB3 AB=5,AP=号 .AM=2 MP=AP-AM=子： (2)解：①当x=5时，点P在BC上，且BP=2+5一5=2， .'PC=BC-BP=6. '∠APC=∠B+∠BAP=∠APQ+∠CPQ,∠APQ=∠B, .∠BAP=∠CPQ. AB=AC,.∠B=∠C,∴.△ABP△PCQ, 瓷-器中营-高0导 ②0<<3或x=想 提示：当点P在AB上时，PQ∥BC, ∴.0≤x<3; 当PQ∥AB时，∠BAP=∠APQ, .'AB-AC, ∠B=∠C 又：∠APQ=∠B, ∠BAP=∠C, '.△ABP∽△CBA, 能器号， BP-, x=3+智=想 4.解：(1)EF∥CD, .△GFE∽△GDC, .'.GE:GC=EF:CD. .'GE=6m,EF=1.5m,CD=10m, .6:(6+EC)=1.5:10, 解得EC=34m. (2)如图， D 由(1)可得EH:HA=GE:GC=EF:CD=1.5:10, .'HE:AE=GE:CE. 又∠GEH=∠CEA, .△GHE∽△CAE, .∠ACE=∠HGE, .GH∥AC. (3)碧m提示：同(2)可得△GHED△CAE, ..GH:AC=GE EC. .GH=9 m,AC=40 m,CE=34 m, ..GE:EC=GH:AC=9:40, ∴GE:GC=9·49,GE=20m. 又△GFE∽△GDC, 设最大高度为xm, ..x:DC=GE GC, 六x:10=9:49,解得=90， 49, “小凯头顶高地面的最大高定智m 变式：D 5.12 (2)(3,6)(3)1:24:1 变式：C 第17讲等腰三角形与直角三角形 【河北中考·考点梳理】 ①相等②垂直平分③相等④等边对等角⑤中线 ⑥高⑦三线合一⑧相等⑨等角对等边⑩三 ①60°②三⑧相等@60°⑤互余G一半⑩一半 ⑧平方和©平方@a2+=c2①直角 【自主复习·方法提炼】 1.解：(1)40°或70°或100 (2)6或7或8(3)363 (4)①如图，延长ED,交BC于点F,延长 AD,交BC于点H. :∠EBC=∠BED=60°， M △BEF是等边三角形， D ∴.EF=BF=BE=8,∠EFB=60°. .AB=AC,AD平分∠BAC, H C ∴.AH⊥BC,.∠AHC=90°， .∠HDF=30°，.∠ADE=∠HDF=30°. ②.'BC=10,∴.FC=10-8=2. .'AB=AC,AD平分∠BAC, ∴BH=CH=2BC=5, .HF=5-2=3. 在Rt△DHF中，.∠HDF=30°， .DF=2HF=6.∴.DE=8-6=2. ③：∠BAC=30°，AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=15° .EM=2, ∴.EM=DE ∠ADE=30°，∴∠EMD=30°. :∠BMD=∠BAD+∠ABM=30°， .∠ABM=15°， ∴.AM=BM. .BM=BE+EM=8+2=10,∴.AM=10. 变式1：C变式2：D 2.解：(1)：∠BAC=90°，BC=4√3，AC=2√2， ,根据勾股定理可得AB=√BC一AC =√(4√3)-(2√2)2=2√10. (2)55°同角的余角相等 (3).∠BAC=90°，D为BC的中点， ∴AD=号BC=2×45=2V5. 【解题依据】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 (4)证明：由(2)可知AD=BD, ∠B=60°， .△ABD为等边三角形. E为BD的中点， .AE为BD边上的中线，.AE⊥BD, .∠AED=90°， .△ADE为直角三角形. 【解题依据】有一个角等于90°的三角形是直角三角形 变式：解：(1)在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10, .∠ABC=30°， ∴.AB=2AC=20,AC=10. ∴.BC=√AB2-AC=√202-102=10W3. (2)如图，过点B作BM⊥FD于点M, FM D :AB∥CF, .∠BCM=∠ABC=30°， BM-BC-5/5.CM-/BC-BVF-15, 由题意可得∠EDF=45°， ∴.MD=BM=5√3， .CD=CM-MD=15-5√3. 第18讲锐角三角函数及其应用 【河北中考·考点梳理】 0:@名@号⑧号⑤鸣@v5@a+=c ⑧V2F-云⑨sinA=名四上方四下方@高度 B水平宽度 【自主复习·方法提炼】 1.解：(1)根据勾股定理，得c=√a2十6=√22+1下=√5， 后=，osA=点=1=5 ∴.sinA=a=2=25 c55,tan A= =2 (2):c=2V3,b=√6， ∴sinB=b=62 025=2∠B=45 8如A=分小号-号年号=日a=4, 1 .由勾股定理，得AC=√c2-a=√122-4=8√②. 变式1：C变式2：C 2.解：(1)如图，过点A作AE⊥BC于点E, B ·osC=2 21 ,.∠C=45°. 在Rt△ACE中，CE=AC·cosC=1, .'.AE=CE=1. 在R△ABE中，mB=分，能=寸 .BE=3AE=3, .'BC=BE+CE=4. (2):AD是△ABC的中线， ∴CD=2BC=2, .DE=CD-CE=1. AE⊥BC,DE=AE, .∠ADC=45°. 3.解：(1)OA和AB的夹角a=130°，AB=12cm.如图1，作 CG⊥BD于点G,