第16讲 相似三角形-【夺冠百分百】2026年中考数学冲刺精讲册（河北专用）

②内部③直角边④外部⑤一半⑥相等⑦相等 ⑧相等©相等①夹角①夹边 【自主复习·方法提炼】 1.解：(1)3<x<7[解析]根据三角形两边的和大于第三 边，则x<5十2， 即x<7. 根据三角形两边的差小于第三边，则5一2<x,即3<x. 综上所述，3<x<7. (2)第三边长为奇数， ∴.第三边长为5cm. .三角形的周长=5+5+2=12(cm) ,'三角形两边长为5cm,另外一边长为2cm, '这个三角形是底边和腰不相等的等腰三角形， (3),第三边长为偶数，设第三边的长为xcm,则根据题 意可得5一2<x<5十2，即3<x<7,.x的值为4或6，当 x=4时，这个三角形的周长为5十4+2=11(cm),当x=6 时，这个三角形的周长为5十6十2=13(cm),即当这个三角形 第三边的长是偶数时，这个三角形的周长为11cm或13cm (4)若AB=2cm,BC=5cm,已知BD是△ABC的中线， △ABD的周长为9cm,则BD十AD=BD+DC=9-2=7(cm), ∴.△BCD的周长为BC+BD+DC=5+7=12(cm). (5)由(1)可知3<x<7,于是x+1一x一8一2x-2|=x十 1-(8-x）-2(x-2)=x+1-8+x-2x+4=-3. 2.(1)54(2)40°20°(3)13(4)①126②1 变式：A 3.(1)解：∠BOD=∠COE (2)证明：由(1)知△OBD≌△OCE, ..OD=OE. 又.∠ODB=∠OEC=90°， ∴∠ODA=∠OEA=90°. 在Rt△AOD和Rt△AOE中， (OA=OA, OD-OE, .Rt△AOD≌Rt△AOE(HL). (3)证明：由(2)知Rt△AOD≌Rt△AOE, ∴.AD=AE. 在△ABE和△ACD中， I∠BAE=∠CAD, AE=AD, ∠BEA=∠CDA, ∴.△ABE≌△ACD(ASA) (4)证明：由(2)知△AOE≌△AOD, .∠EAO=∠DAO 由(3)知△ABE≌△ACD,∴.AB=AC. 在△ABO和△ACO中， (AB=AC, ∠BAO=∠CAO, AO=AO, .△ABO≌△ACO(SAS). (5)证明：由(3)知△ABE≌△ACD,.BE=CD. 在Rt△BCD和Rt△CBE中， (CD=BE, BC=CB, ,.Rt△BCD≌Rt△CBE(HL). 变式：D 第16讲相似三角形 【河北中考·考点梳理】 ①k②法③分@成比例⑤成比例⑥相等 d ⑦成比例⑧相等⑨成比例⑩相似①成比例@夹角 ⑧角@成比例⑤相似比⑥相似比⑦相似比的平方 ⑧相似©位似中心四同一点（位似中心）@同一条直 线上②(kx,ky)图（一kx,一ky) 【自主复习·方法提炼】 1.解：(1)AD∥BE∥CF, .AB_DE 2 AC-DF-7 DE 2 六DE年10-7’ ∴.DE=4, .DF=DE+EF=4+10=14. (2),G是DE的中点，AD∥BE,QG=3, 器-器 ∴.QH=6. ,AD∥BE∥CF, 器器 “品清 4 .PH=15 变式：解：(1)，DE∥BC, 瓷品 EC=是cm (2):DE∥BC, 铝怎中号架 4, AB=号cm ∴EC=AC-AE=4-号-号(em. 2.(1)∠AED=∠B(答案不唯一) (2)①AE DE AC BC ∠B∠C②2：34：9 (3)2:3(④号或是 3.(1)①证明：，点P在MB上，∠APQ=∠B, ∴.PQ∥BC, 器 ②解：，PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分， ,SQ=4 ,Sa边彩PBCQ5S△BC三 9 PQ∥BC,△APQ△ABC,A=名 AB3 AB=5,AP=号 .AM=2 MP=AP-AM=子： (2)解：①当x=5时，点P在BC上，且BP=2+5一5=2， .'PC=BC-BP=6. '∠APC=∠B+∠BAP=∠APQ+∠CPQ,∠APQ=∠B, .∠BAP=∠CPQ. AB=AC,.∠B=∠C,∴.△ABP△PCQ, 瓷-器中营-高0导 ②0<<3或x=想 提示：当点P在AB上时，PQ∥BC, ∴.0≤x<3; 当PQ∥AB时，∠BAP=∠APQ, .'AB-AC, ∠B=∠C 又：∠APQ=∠B, ∠BAP=∠C, '.△ABP∽△CBA, 能器号， BP-, x=3+智=想 4.解：(1)EF∥CD, .△GFE∽△GDC, .'.GE:GC=EF:CD. .'GE=6m,EF=1.5m,CD=10m, .6:(6+EC)=1.5:10, 解得EC=34m. (2)如图， D 由(1)可得EH:HA=GE:GC=EF:CD=1.5:10, .'HE:AE=GE:CE. 又∠GEH=∠CEA, .△GHE∽△CAE, .∠ACE=∠HGE, .GH∥AC. (3)碧m提示：同(2)可得△GHED△CAE, ..GH:AC=GE EC. .GH=9 m,AC=40 m,CE=34 m, ..GE:EC=GH:AC=9:40, ∴GE:GC=9·49,GE=20m. 又△GFE∽△GDC, 设最大高度为xm, ..x:DC=GE GC, 六x:10=9:49,解得=90， 49, “小凯头顶高地面的最大高定智m 变式：D 5.12 (2)(3,6)(3)1:24:1 变式：C 第17讲等腰三角形与直角三角形 【河北中考·考点梳理】 ①相等②垂直平分③相等④等边对等角⑤中线 ⑥高⑦三线合一⑧相等⑨等角对等边⑩三 ①60°②三⑧相等@60°⑤互余G一半⑩一半 ⑧平方和©平方@a2+=c2①直角 【自主复习·方法提炼】 1.解：(1)40°或70°或100 (2)6或7或8(3)363 (4)①如图，延长ED,交BC于点F,延长 AD,交BC于点H. :∠EBC=∠BED=60°， M △BEF是等边三角形， D ∴.EF=BF=BE=8,∠EFB=60°. .AB=AC,AD平分∠BAC, H C ∴.AH⊥BC,.∠AHC=90°，(3)求证：△ABE≌△ACD; A.方案一：√、方案二：√ (4)求证：△ABO≌△ACO; B.方案一：X、方案二：× (5)求证：△BCD≌△CBE. C.方案一：X、方案二 D.方案一：√、方案二：X 通用通法 三角形全等的证明思路 找夹角→SAS 已知两 找直角→HL或SAS 边相等 找第三边→SSS 变式：（变换设问）(2025河北邯郸一模)有一 边为角的对边→找另 -角→AAS 张三角形纸片ABC,已知∠B=∠C=a,按 如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开， 找夹角的另一边 已知一 路 →SAS 若方案中两个阴影部分的三角形一定全等 边和一 打“√”，若不一定全等打“X”.则下列关于 边为角找夹边的另一邻角 角相等 的邻边 两种方案中两个阴影部分三角形全等情况 →ASA 找边的对角→ 的判断正确的是 AAS 已知两找夹边ASA 角相等（找其中一角的对边→AAS 方案 方案二 第16讲 相似三角形 【2022课标要求】 1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割. 2.通过具体实例认识图形的相似.了解相似多边形和相似比， 3.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 4.了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两 个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似.了解相似三角形判定定理的证明. 5.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平 方.（不要求证明) 6.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小. 7.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题. 8.在平面直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点）分别扩大 或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的. 56 河北中考·考点梳理 考点一、比例线段的相关概念及性质 1.成比例线段：对于四条线段Q,b,c,d.如果其中两条线段的比（即温馨提示：求两条线段比 它们长度的比)与另两条线段的比相等.如号-台（即ad=bc),我 值时，两条线段要用同一 长度单位 们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段. 2.比例的性质：1)如果号=司那么ad=D (2)如果若-音，那么“吉-@ b (3)如果号-导…兴611…≠0)，那么号牛牛段=③ 黄金分割：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),如果片C=A是 那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金 比，黄金比为5,1，线段AB有2个黄金分割点C和C,且它们关于线段中点中心对称. 2 5-1a C3-5 B 2 考点二、平行线分线段成比例 1.基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段④ 2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段⑤ 考点三、相似多边形 1.定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别⑥ ,边⑦ ,那么这两个多 边形叫做相似多边形。 2.性质：相似多边形的对应角⑧ ,对应边⑨ ,周长比等于相似比，面积比等于 相似比的平方. 考点四、相似三角形☆重点 1.相似三角形的判定 (1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形⑩ (2)三边① 的两个三角形相似， 温馨提示：直角三角形 (3)两边成比例且② 相等的两个三角形相似. 被斜边上的高分成的两 (4)两③ 分别相等的两个三角形相似. 个直角三角形和原三角 (5)斜边和一条直角边④ 的两个直角三角形相似. 形相似。 57 2.相似三角形的性质 (1)相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于⑤ 即对应 线段的比等于相似比， (2)相似三角形周长的比等于⑥ ,面积的比等于⑦ 3.相似三角形的实际应用 (1)运用相似三角形的判定条件和性质解决实际问题的方法和步骤 ①将实际问题转化为相似三角形问题；②找出一对相似三角形；③根据相似三角形的性质， 表示出相应的量，并求解， (2)常见题目类型 ①利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形求解；②计算从底部不能直接测量的物体的高 度；③计算不能直接测量的河的宽度： 考点五、图形的位似 1.定义：两个图形不仅⑧ ,而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相 平行或共线，这两个图形叫做位似图形，这个点叫做⑨ 2.性质：(1)两个图形是相似图形，具有相似图形的一切性质.(2)对应点的连线所在的直线都 经过四 .(3)对应边互相平行或在① 3.在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，且相似比为 k,则原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为② 或⑧ 失分警示：位似图形是相似的一种特殊形式，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定 是位似图形.位似图形具有相似图形的所有性质， 4.已知位似中心和位似比可以作出两个位似图形，并且它们两个关于位似中心成中心对称 自主复习·方法提炼 1.如图，已知AD∥BE∥CF,它们依次交直 变式：（变换图形）如图，在△ABC中， 线l1,l2,L3于点A,B,C、点D,E,F和点 DE∥BC. Q,H,P,l2与L3相交于DE的中点G,若 (1)AD=2 cm,DB=3 cm,AE=1 cm, AB2 求EC的长； AC7 (2)AB=5 cm,AD=2 cm,AC=4 cm, (1)如果EF=10,求DE,DF的长； 求EC的长. (2)在(1)的条件下，如果QG=3,求 PH的长 B G H 58 通用通法 ①求证：AB一AC AP_AQ (1)若已知条件中有平行线，求两条线 段的比或某条线段的长度，常考虑应用 ②当PQ将△ABC的面积分成上下4：5 平行线分线段成比例的性质求解； 两部分时，求MP的长； (2)应用定理时，看清平行线组，找准对 (2)设点P移动的路程为x. 应线段，防止出错。 ①当x=5时，求CQ的长； ②当PQ与△ABC的边平行时，请直接写 2.如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC 出x的取值范围. 边上一点，AD=2,BD=1. (1)增加一个条件（不添加辅助线）： 使△ADEC∽△ACB. (2)若△ADE∽△ABC. ①对应边角的关系：把 通用通法 判定三角形相似的思路 ,∠ADE= ,∠AED= (1)有平行线，用平行线找等角； (2)有一组对应角相等找另一组对应角 ②C△ADE:C△ABC= ,S△ADE· 相等或该角的两边对应成比例； SAABC= (3)有两边对应成比例找它们的夹角相 (3)若DE∥BC,则DE:BC= 等或第三边也对应成比例； (4)若△ADE与△ABC相似，AC=4,则 (4)直角三角形：一组锐角对应相等；两 AE- 条直角边对应成比例；斜边、直角边对 3.如图1、图2，在△ABC中，AB=AC=5, 应成比例。 BC=8,点M,N分别在AB,BC上，且 AM=CN=2.点P从点M出发沿折线 4.晚上小凯在广场上散步，如图，在广场两盏 MB一BN匀速移动，到达点N时停止；而 路灯AB,CD的照射下，地面上形成了他 点Q在边AC上随点P移动，且始终保持 的两个影子EH,EG.已知光源B,D的高 ∠APQ=∠B. 均为10m,小凯的身高EF为1.5m,两盏路 灯相距40m,A,C,E,G,H在同一平面内. (1)当影子EG长为6m时，求此时小凯到 路灯CD的距离EC; 图1 图2 (2)连接GH,判断GH与AC的位置关系， (1)若点P在MB上， 并说明理由； 59 (3)小凯向上跳起再落下，该过程中GH最 5.如图，已知△ABC与△DEF位似，且相似 长达到9m,直接写出小凯跳起的最大 比为. 高度. y 8 01234567x (1)k= (2)位似中心P的坐标为 变式：（变换设问)(2025河北唐山路南区三 (3)△PAC与△PFD的周长比为 模)如图，在大树AB的右侧有三个台阶 △DEF与△ABC的面积比为 T1~T3,每个台阶的高、宽分别是0.2m 变式：（变换设问）如图，在平面直角坐标系 和0.4m.某一时刻，测得台阶在地面上的 中，△ABC与△A'BC'位似，位似中心为 影子DE=0.45m,此时树梢顶点A的影 原点O,相似比为1：2，若点C(一2,3)，则 子落在台阶T2上（包含两个端点）.已知大 点C的坐标为 树AB的底部到台阶的距离BC=1.9m, 则大树AB的高度不可能是…( A.(6,-3) B.(3,-6) A.4m B.3.5m C.(4,-6) C.3.8m D.4.2m 通用通法 D.（6,-4) 应用三角形相似解决实际问题的 通用通法 步骤： (1)确定位似中心的方法：各对应点连 线所在直线的交点是位似中心： (1)建立数学模型，把实际问题转化为 数学问题； (2)以一点为位似中心把图形放大或缩 小时，要考虑到两种情况：位似图形在 (2)找到相似三角形并证明； 位似中心的同侧；位似图形在位似中心 (3)由相似三角形对应边成比例列出等 的两侧，所作出的两个位似图形关于位 式，代入数据计算； 似中心成中心对称. (4)不能直接计算时可设出未知数，列 方程求解。 60