第14讲 几何初步及平行线、相交线-【夺冠百分百】2026年中考数学冲刺精讲册（河北专用）

第四模块 图形的认识与三角形 模块体系框图 平行线 直线 三边关系 垂线相交线 内角和、内外角关系 角平分线角射线 几何初步 般 中线、高、角平分线、中位线 中点 线段 稳定性 基本尺规作图 三角形 等腰（边） 轴对称性 边 定义 三角形 角 性质 边 重要线段 殊 全等三角形 边 角 周长、面积 判定 四边形 线合 线 重要线段 应用 定义 直角三 角形 锐角三角函数 实际应用 性质 相似三角形 判定 图形的相似 位似 应用 第14讲 几何初步及平行线、相交线 【2022课标要求】 1.直线、射线、线段、角 (1)会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义. (2)掌握基本事实：两点确定一条直线， (3)掌握基本事实：两点之间线段最短 (4)理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离. (5)理解角的概念，能比较角的大小；认识度、分、秒等角的度量单位，能进行简单的单位换算， 会计算角的和、差 2.相交线与平行线 (1)理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角（或等角）的余角相等、同角 (或等角)的补角相等的性质： (2)理解垂线、垂线段等概念，能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线. (3)掌握基本事实：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. (4)理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离. 48 (5)识别同位角、内错角、同旁内角， (6)理解平行线的概念， (7)掌握平行线基本事实I:过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行， (8)掌握平行线基本事实Ⅱ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线 平行. (9)探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等（或同旁内角 互补)，那么这两条直线平行. (10)掌握平行线的性质定理I:两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.了解定理的 证明， (11)探索并证明平行线的性质定理Ⅱ：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等（或同旁 内角互补). (12)能用三角板和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线， (13)了解平行于同一条直线的两条直线平行. (14)理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离 相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 (15)理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点 到线段两端点的距离相等；反之，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上. 3.定义、命题、定理 (1)通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义. (2)结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个互逆 的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立. (3)知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可以用不同的形式表述 证明的过程，会用综合法的证明格式. (4)了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的. (5)通过实例体会反证法的含义， 河北中考。考点梳理 考点一、直线、射线和线段 1.直线、射线和线段的区别与联系 端点 属性 表示方法 联系 直线 无 无长度，不可度量 用两个大写字母表示（射线的表 射线、线段是 示要注意：端点字母在前，方向字 射线 1个 无长度，不可度量 直线的 母在后)，直线和线段也可以用一 部分 线段 2个 有长度，可度量 个小写字母表示 49 2.基本事实 (1)经过两点有一条直线，并且① 直线（两点确定一条直线）； (2)两点的所有连线中，② 最短（两点之间，线段最短）. 3.两点的距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离 4.线段的和与差：在线段AC上取一点B,则有AB十BC=AC;AB=AC-BC;BC=AC-AB. AB 5.线段的中点：点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB, 失分警示：所有的距离都 点M叫做线段AB的中点.几何语言：AM=③ A 是指相关线段的长度，不 要把线段当成距离。 A M B 考点二、角的有关概念 1.1周角=2④ =4⑤ =360°；1°=⑥ ′，1'=⑦ 2.角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线 3.余角和补角 定义 如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角 余角 性质 同角（等角）的余角⑧ 定义 如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角 补角 性质 同角（等角）的补角⑨ 温馨提示：互余（或互补）都是针对两个角而言，它们反映的是角的数量关系，与位置无关， 考点三、相交线与垂线 1.对顶角的性质：对顶角相等. 2.邻补角的性质：互为邻补角的两个角之和等于180°. 温馨提示：对顶项角是成 3.垂线的性质 对出现的同时具有特殊 (1)在同一平面内，过一点有且只有⑩ 条直线与已知直线位置关系和数量关系 垂直 的角。 (2)垂线段最短. 温馨提示：()垂线是一条直线，不可度量长度；(2)垂线段是一条线段，可度量长度，(3)点 到直线的距离：直线外一，点到这条直线的垂线段的长度。 4.“三线八角” 如右图，∠1与∠2是同位角，∠2与∠3是① ，∠2与∠4是 1② 50 考点四、平行线的性质及判定 平行 公理 经过直线外一点，有且只有③ 条直线与这条直线平行 基本事实 推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 (1)两直线平行台同位角相等； 性质和判定 (2)两直线平行台内错角④ (3)两直线平行台同旁内角⑤ 两平行线间的距离 两条平行线之间的距离处处相等 温馨提示：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平 行关系来寻找角的数量关系， 考点五、命题与反证法 1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题.它由⑥ 和⑦ 两部分组成.如果题设 成立，那么结论⑧ ,这样的命题叫做真命题.题设成立时，© 结论一定成 立，这样的命题叫做@ 命题 2.互逆命题：两个命题中，第一个命题的题设是第二个命题的@ ,第一个命题的结论 是第二个命题的② ,那么这两个命题叫互逆命题. 3.逆定理：将一个定理的条件和结论互换所得的定理，就是原来定理的逆定理， 4.判断真命题需要推理证明，判断假命题只需举出一个⑧ 温馨提示：命题一定有 5.反证法：不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不逆命题，逆命题的真假 成立，由此推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原与原命题无关 命题成立的方法 考点六、角平分线与线段垂直平分线 1.角平分线性质定理及其逆定理 (1)角的平分线上的点到角两边的距离④ (2)角的内部到角两边的距离相等的点在⑤ 2.线段垂直平分线性质定理及其逆定理 温馨提示：(1)三角形三个内角的平分线交于 (1)线段垂直平分线上的点到线段的两个端点一，点（即内心），这一点到三角形三边的距离 的距离® 相等；(2)三角形三边的垂直平分线交于同一 (2)到线段两端点距离相等的点在这条线段的点（即外心），这一，点到三角形三个顶，点的距 ⑦ 上 离相等 自主复习·方法提炼 1.(1)如图1，线段AB=16cm,C为线段AB 中点. 上的一个动点，D,E分别是AC,BC的 ①若AC=6cm,则线段DE的长为 cm; 51 ②设AC=acm,则线段DE的长为 cm; 2.如图，直线AB,CD相交于点O,OM平分 (2)如图2，若∠MON=60°，OC是∠AOB ∠AOC,ON⊥OM,连接MN交直线CD 内部的一条射线，射线OM平分∠AOC,射 于点C. 线ON平分∠BOC,求∠AOB的度数； (1)指出直线AB与CD相交形成的对顶 (3)已知∠COD在∠AOB内的位置如图3 角有哪些； 所示，若∠COD=30°，且∠DOM= (2)在图中找出∠BON的内错角，并指明 2∠AOM,∠CON=2∠BON,求∠MON 是哪两条直线被哪条直线所截而形成的； 与∠AOB的数量关系， (3)指出∠AON的同旁内角； B (4)若∠BON=55°，求∠BOD的度数； (5)当线段CO为点O到线段MN的最短 A DC E B 距离时，直线CD与线段MN的位置关系 0 图1 图2 是 B 图3 变式：（变换设问）将两根矩形木条如图放置， 固定其中一根，转动另一根，若∠1增大 3°，则下列说法正确的是…() A.∠2减小3° B.∠3减小3° C.∠4增大3° D.∠2与∠4的和不变 52-0.05×1+0.6=0.55(元/千克)， 5月份一千克此种蔬菜的利润可表示为W2=之一n =(-0-子+31)-(-吉x+2), 即w,=动-品+1.1 1 由函数解析式可知，5月份一千克此种蔬菜的利润随周数 支化特合二次函数且对称轴为直线=一会=一之 即在第1至4周的利润随周数的增大而减小，.在第1周 的利润最大，最大为W=一20一20十1.1=1（元/千克）， 2.解：(1)由题意，二次函数y1=ax2十bx十1.8经过点(2， 3.2)和(4,4.2)， /4a+26+1.8=3.2,」 a=-0.05, 16a+4b+1.8=4.2,b=0.8, .二次函数为y1=-0.05x2十0.8x十1.8. (2)由(1)知二次函数为y1=-0.05x2十0.8x十1.8， 0.8 其对称轴为直线x=一2a2X005=8, .此时最大高度为ymx=-0.05×82+0.8×8十1.8=5. 又根据信息二，x与t是一次函数关系， .可设x=kt十c. 又结合表格数据可得，图象过(0,0)和(0.4,4)， .c=0,且0.4k十c=4.∴.k=10,c=0. .一次函数为x=10t. '.当x=8m时，t=0.8s. .经过0.8s达到最大高度，最大高度是5m. (3)p≤0.36[解析]由题意，当t=1.6s时，x=10X 1.6=16, .代入原抛物线得y1=一0.05×162十0.816十1.8= 1.8,即此时球的坐标为(16,1.8). 又，新抛物线y2=-0.02x2十pz十m过点(16,1.8)，得 m=1.8+0.02×162-16p=6.92-16p, .抛物线为y2=一0.02x2+px十6.92一16p. 又当x=2时，y2≥1.8， ∴.-0.02×22+2p+6.92-16≥1.8. .p≤0.36. 第四模块 图形的认识与三角形 第14讲几何初步及平行线、相交线 【河北中考·考点梳理】 ①只有一条②线段③MB④平角⑤直角⑥60 ⑦60⑧相等⑨相等⑩一①内错角@同旁内角 ⑧一④相等⑤互补G题设⑦结论⑧一定成立 ©不能保证①假①结论②题设⑧反例四相等 ⑤角的平分线上⑥相等⑦垂直平分线 【自主复习·方法提炼】 1.解：(1)①8[解析]D,E分别是AC,BC的中点， ∴DC=2AC,CE=号BC, ∴DE=DC+CE=合AC+合BC=合(AC+BC)= 合AB 又AB=16cm, .'DE=8 cm. .DE=CD+CE=3+5=8(cm). ②8[解析]由①可知DE=8cm. (2).·由射线OM平分∠AOC,射线ON平分∠BOC, ∠M0C=合∠A0c,∠coN=合∠cOB, :∴∠MON=∠M0C+∠CON=号（∠A0C+∠C0B)= 2∠AOB, 1 ∠MON=60°，∴∠A0B=120° (3):∠DOM=2∠AOM,∠CON=2∠BON, ∠MOD=号∠AOD,∠CON=号∠BOC .∠COD=30°， ∴.∠MON=∠MOD+∠CON+∠COD =号∠A0D+号∠B0C+号∠COD+号∠C0D =号(LA0D+∠B0C+∠C0D)+3∠COD -号∠A0B+号∠COD =号∠A0B+1c 2.解：(1)直线AB与CD形成的对顶角有∠AOC与∠BOD, ∠BOC与∠AOD. (2)∠BON的内错角为∠N,∠BON与∠N是直线MN 与AB被直线ON所裁而形成的. (3)∠AON的同旁内角是∠N. (4).'ON⊥OM,.∠MON=90° ,∠B0N=55°，∠A0M=180°-90°-55°=35°. :射线OM平分∠AOC,∠AOC=2∠AOM=70°， ∴.∠BOD=∠AOC=70. (5)CD⊥MN 变式：A 第15讲三角形的基本性质及全等三角形 【河北中考·考点梳理】 ①首尾顺次②等边③直角三角形④大于⑤小于 ⑥180°⑦360°⑧不相邻⑨大于⑩内心①三边