第13讲 二次函数的实际应用-【夺冠百分百】2026年中考数学冲刺精讲册（河北专用）

第13讲二次函数的实际应用 【2022课标要求】 能解决相应的实际问题. 河北中考，考点梳理 考点、二次函数的应用☆重点 1.二次函数y=ax2十bx十c的最值 (1)如果a>0,当x=① 时，函数有最小值，最小值为y=② (2)如果a<0,当x=③ 时，函数有最大值，最大值为y=④ 2.二次函数应用类型 (1)二次函数与实际问题的基本类型 ①抛物线型问题；②销售问题；③几何图形面积问题. 注意：实际问题中的函数，往往自变量的取值范围受到限制，这时对应的函数图象应是原函 数图象的一部分. (2)二次函数实际问题求最值 ①先根据题意列出二次函数解析式； ②再用配方法把得到的解析式化为顶点式； ③若二次项系数大于0，则抛物线开口向上，自变量的值离对称轴越近，函数的值越小，在对 称轴处，函数取得最小值；若二次项系数小于0，则抛物线开口向下，自变量的值离对称轴越 近，函数的值越大，在对称轴处，函数取得最大值； ④在实际问题中要根据具体情况来确定自变量的取值范围从而确定最值， 自主复习·方法提炼 1.受季节影响，某蔬菜价格呈上升趋势，其前 第1周的2.8元/千克下降至第2周的 四周每周的平均销售价格变化如下表： 2.4元/千克，且之与周数x的变化情况满 周数x 1 2 3 4 足二次函数之=一 r产十6x十c,请球出5 价格y/ 月份之与x的函数解析式： 2 2.2 2.4 2.6 (元/千克) (3)若4月份此种蔬菜的进价m(元/千克) (1)请观察题中的表格，用所学过的一次 与周数x所满足的函数关系为m=寻x十 函数、反比例函数或二次函数的有关知 1.2,5月份此种蔬菜的进价n(元/千克)与 识直接写出4月份y与x的函数解 析式； 周数x所满足的函数关系为n= 5x+2. (2)进入5月份，由于本地蔬菜上市，此种 试问4月份与5月份分别在哪一周销售此 蔬菜的平均销售价格之（元/千克）从5月份 种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分 46 别是多少？ (2)网球被击出后经过多长时间达到最大 高度？最大高度是多少？ (3)当t为1.6s时，小明将球击回，球在第 一象限的运动路线可以看作是二次函数 y2=-0.02x2+px+m(p,m为常数)图象 的一部分，其中y2(m)是球的高度，x(m)是 球和原点的水平距离.当网球所在点的横坐 标x为2，纵坐标y2大于等于1.8时，p的 取值范围为 (直接写出结果). 以s1 4.2 小明击球点 通用通法 x/m 应用二次函数模型解决实际问题 的步骤： (1)根据题意确定二次函数的解析式； (2)根据已知条件确定自变量的取值范围； (3)利用二次函数的性质和自变量的取 值范围确定最大（小）值，注意二次函数 的最值不一定是实际问题的最值，要结 合自变量的取值范围确定最值 2.（2025山东青岛)小磊和小明练习打网球. 在一次击球过程中，小磊从点O正上方 1.8m的A点将球击出， 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中， O为原点，OA在y轴上，球的运动路线可 以看作是二次函数y1=a.x2+bx十1.8(a,b 为常数)图象的一部分，其中y1(m)是球的 高度，x(m)是球与原点的水平距离，图象 经过点(2,3.2)，(4,4.2) 信息二：球与原点的水平距离x(m)与时间 通用通法 t(s)(0≤t≤1.6)之间近似满足一次函数关 解决抛物线型实际问题： 系，部分数据如下： (1)用待定系数法确定抛物线解析式； t/s 0 0.4 0.6 … (2)把实际问题转化为点的坐标，代入 x/m 0 4 6 解析式求解。 (1)求y1与x的函数解析式； 47(5)当一1<k<1时，在1≤x≤2范围内，y随x的增大而 增大， -十1=1，解得=-1，不特合题意，合去： 当k>1时，在1≤x≤2范周内，y随x的增大而减小， k-1-,-1,解得=3，符合题意. 2 综上所述，k的值为3. 变式：D2.B变式：7 3.解：(1)蓄水池的最低蓄水量是50×25×1.8=2250(m3). (2)①：xy=2250,y与x成反比例关系， 六y与x之间的函数关系式为y=2250 2250=10. ②当x=225时，y=225 ③减小 @y=2250≤5， x 解得x≥450， 即每小时的排水量至少为450m3, .450-225=225, .每小时排水量最少增加225m3 变式：D 第12讲二次函数的图象和性质 【河北中考·考点梳理】 ①(，)®直线x=h③k国-易 (-会如。) ⑥4ac-62 ⑦4ac-& Aa Aa ⑧减小⑨增大⑩增大①减小②a(x一h十m)2十k Ba(x-h-m)2+k 1a(x-h)2+k+n ⑤a(x一h)2+k-n⑤两⑦一⑧没有 ©y=ax2十bx十c(a≠0)@y=a(x-h)2十k(a≠0) ④y=a(x-x1)(x一x2)(a≠0) 【自主复习·方法提炼】 1.(1)上直线x=1小一4 (2)(-1,0),(3,0)(0,-3) (3)0-4 (4)①(-4,21)②(-3,12)或(5,12)③2 (5)y1>y9>y2 (6)m=0或m=2 变式1：B变式2：D 2.(1)<>>< (2)>(3)=(4)= (5)>(6)= (7)> (8)=(9)< 变式：D 3.解：(1)画出抛物线C2如图所示. 5↑ 4 3 2 4-3-2-1,012345x 2 (2)抛物线C3的解析式为y=2(x+1)2+2. (3)先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度 (4):C1的解析式为y=2x2, ∴.C1先向下平移3个单位长度，再向右平移m(m>0)个单 位长度，得到的新抛物线C为y=2(x-m)2-3, 将(1,5)代入，得5=2(1-m)2-3, 解得m=3,m=一1（不符合题意，舍去）. (5)C1的解析式为y=2x2, .C1先向上平移1个单位长度，再向右平移n(n>0)个单 位长度，得到的新抛物线C6为y=2(x一n)2+1, .其顶点坐标为(n,1), ,·抛物线C6的顶点在抛物线C1上， 1-2,解得用号-号不将合超意，合去) 2 第13讲二次函数的实际应用 【河北中考·考点梳理】 ①-品四如。龙@-会@如。 Aa 【自主复习·方法提炼】 1.解：(1)y=0.2x十1.8. 提示：通过观察可见4月份周数y与x的关系符合一次函 数解析式，设这个解析式为y=kx十b, k十b=2, 解得 k=0.2, 则 2k+b=2.2, b=1.8, ∴.4月份y与x的函数解析式为y=0.2x十1.8. (2)将(1,2.8)，(2,2.4)代入之= 品r+r+e, 2.8=-0+b+c, b=- 1 可得 解得 4, 2.4=-号+2+6 c=3.1, 即=动-子.1 (3)4月份一千克此种蔬莱的利润可表示为W1=y一m= (0.2x+1.8)-(x+1.2),脚W1=-0.05x+0.6; 由函数解析式可知，4月份一千克此种蔬莱的利润随周数 的增大而减小，在第1周的利润最大，最大为W= -0.05×1+0.6=0.55(元/千克)， 5月份一千克此种蔬菜的利润可表示为W2=之一n =(-0-子+31)-(-吉x+2), 即w,=动-品+1.1 1 由函数解析式可知，5月份一千克此种蔬菜的利润随周数 支化特合二次函数且对称轴为直线=一会=一之 即在第1至4周的利润随周数的增大而减小，.在第1周 的利润最大，最大为W=一20一20十1.1=1（元/千克）， 2.解：(1)由题意，二次函数y1=ax2十bx十1.8经过点(2， 3.2)和(4,4.2)， /4a+26+1.8=3.2,」 a=-0.05, 16a+4b+1.8=4.2,b=0.8, .二次函数为y1=-0.05x2十0.8x十1.8. (2)由(1)知二次函数为y1=-0.05x2十0.8x十1.8， 0.8 其对称轴为直线x=一2a2X005=8, .此时最大高度为ymx=-0.05×82+0.8×8十1.8=5. 又根据信息二，x与t是一次函数关系， .可设x=kt十c. 又结合表格数据可得，图象过(0,0)和(0.4,4)， .c=0,且0.4k十c=4.∴.k=10,c=0. .一次函数为x=10t. '.当x=8m时，t=0.8s. .经过0.8s达到最大高度，最大高度是5m. (3)p≤0.36[解析]由题意，当t=1.6s时，x=10X 1.6=16, .代入原抛物线得y1=一0.05×162十0.816十1.8= 1.8,即此时球的坐标为(16,1.8). 又，新抛物线y2=-0.02x2十pz十m过点(16,1.8)，得 m=1.8+0.02×162-16p=6.92-16p, .抛物线为y2=一0.02x2+px十6.92一16p. 又当x=2时，y2≥1.8， ∴.-0.02×22+2p+6.92-16≥1.8. .p≤0.36. 第四模块 图形的认识与三角形 第14讲几何初步及平行线、相交线 【河北中考·考点梳理】 ①只有一条②线段③MB④平角⑤直角⑥60 ⑦60⑧相等⑨相等⑩一①内错角@同旁内角 ⑧一④相等⑤互补G题设⑦结论⑧一定成立 ©不能保证①假①结论②题设⑧反例四相等 ⑤角的平分线上⑥相等⑦垂直平分线 【自主复习·方法提炼】 1.解：(1)①8[解析]D,E分别是AC,BC的中点， ∴DC=2AC,CE=号BC, ∴DE=DC+CE=合AC+合BC=合(AC+BC)= 合AB 又AB=16cm, .'DE=8 cm. .DE=CD+CE=3+5=8(cm). ②8[解析]由①可知DE=8cm. (2).·由射线OM平分∠AOC,射线ON平分∠BOC, ∠M0C=合∠A0c,∠coN=合∠cOB, :∴∠MON=∠M0C+∠CON=号（∠A0C+∠C0B)= 2∠AOB, 1 ∠MON=60°，∴∠A0B=120° (3):∠DOM=2∠AOM,∠CON=2∠BON, ∠MOD=号∠AOD,∠CON=号∠BOC .∠COD=30°， ∴.∠MON=∠MOD+∠CON+∠COD =号∠A0D+号∠B0C+号∠COD+号∠C0D =号(LA0D+∠B0C+∠C0D)+3∠COD -号∠A0B+号∠COD =号∠A0B+1c 2.解：(1)直线AB与CD形成的对顶角有∠AOC与∠BOD, ∠BOC与∠AOD. (2)∠BON的内错角为∠N,∠BON与∠N是直线MN 与AB被直线ON所裁而形成的. (3)∠AON的同旁内角是∠N. (4).'ON⊥OM,.∠MON=90° ,∠B0N=55°，∠A0M=180°-90°-55°=35°. :射线OM平分∠AOC,∠AOC=2∠AOM=70°， ∴.∠BOD=∠AOC=70. (5)CD⊥MN 变式：A 第15讲三角形的基本性质及全等三角形 【河北中考·考点梳理】 ①首尾顺次②等边③直角三角形④大于⑤小于 ⑥180°⑦360°⑧不相邻⑨大于⑩内心①三边