第10讲 一次函数及其应用-【夺冠百分百】2026年中考数学冲刺精讲册（河北专用）

第10讲一次函数及其应用 【2022课标要求】 1.结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式；会运用待定系 数法确定一次函数的表达式， 2.能画一次函数的图象，根据图象和表达式y=kx十b(k≠0)探索并理解k>0和k<0时图象 的变化情况；理解正比例函数， 3.体会一次函数与二元一次方程的关系. 4.能用一次函数解决简单实际问题. 河北中考·考点梳理 考点一、正比例函数的图象和性质 1.定义：形如① (k是常数，k≠0)的函数， 2.图象和性质 正比例函数 y=kx(k≠0)，图象必经过原点(0,0) >0,直线的倾斜方向为“/”，y k决定函数的倾 随着x的增大而② k<0,直线的倾斜方向为“\”，y随着 (形 斜方向和增减性 x的增大而③ (形如“捺”) 如“撇”) 图象 经过象限 第④ 象限 第⑤ 象限 考点二、一次函数的图象和性质☆重点 1.定义：形如⑥ (k,b是常数，k≠0)的函数 失分警示：正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函教， 2.图象和性质 一次 函数 y=kx十b(k≠0) k,b的 k>0 k<0 符号 b⑦0 b⑧ 0 b⑨0 b⑩0 b① 0 b② 0 图象 并：老米米 位置 、二、三象限 一、三象限 、三、四象限 一、二、四象限 二、四象限 二、三、四象限 增减性 y随x的增大而③ y随x的增大而④ 34 温馨提示：图象不经过第一或第三象限，则k≤0：图象不经过第二或第四象限，则>0. 3.直线y=kx与y=kx十b的关系 直线y=x十b可以看作由直线y=kx上下平移⑤ 个单位长度而得到.当b>0时，向 ⑥ 平移；当b<0时，向⑦ 平移. 温馨提示：两直线平行三二次项系教飞相等，且6不相等， 考点三、确定一次函数解析式☆重点 1.确定一次函数解析式 方法 待定系数法 (1)一设：设一次函数的解析式为y=kx十b. (2)二列：将图象上的两点A(x1,y1),B(2,y2)分别代入y=x十b中，得到二元 [y1=kx1+b, 步骤 次方程组 y2=kx2+b. (3)三解：解方程组，求出，b的值. (4)四还原：将，b代入所设解析式中 2.一次函数图象的平移 （1)直线y=z十6向左平移mm>0)个单位长度直线)y=k(z十m)十b x左加右减 (2)直线y=6x十6向右平移mm>0)个单位长度直线y=(红一m十6 （3)直线y=kx十b向上平移m心0)个单位长度直线y=k红十b十 解析式等号右侧整体上加下减 (4直线)y=k红十6向下平移m>0)个单位长度直线y=红十b一n 考点四、一次函数与方程（组）、不等式的关系 元一次方程kx十b=0的根就是一次函数y=kx+b(k≠0)的 次函数与一元一次方程 图象与x轴的交点的⑧ 坐标 直线y=k1x十b1和y=k2x十b2的交点坐标就是关于x,y的方 次函数与二元一次方程组 程组© 的解 元一次不等式x十b>0(或kx十b<0)的解集可以看作是一次 函数y=k.x十b当y四0（或y<0)时自变量x的取值范围 一次函数与不等式 或直线y=kx十b在x轴(y=0)上方（或下方）部分所对应的x 的取值范围 35 考点五、一次函数的应用☆重点 (1)函数图象是直线（或直线的一部分）； 判断等量关系为 (2)当自变量x“匀速”变化时，函数值y也呈现“匀速”变化，而且当自 一次函数的情况 变量x每增加1时，函数值y就相应变化 (1)最优方案或方案选择问题：常通过比较函数值的大小关系确定 方案； 常见类型 (2)利润最大或费用最小问题：通过函数增减性确定最值. 注意：根据实际情况确定变量的取值范围 自主复习·方法提炼 1.已知函数y=(m十1)x十3m一1，解决下列 变式1：（变化条件）已知函数y=x的图象如 问题： 图所示，那么函数y=kx一k的图象大致是 (1)若函数值y随x的增大而减小，则m 的取值范围是 (2)若函数图象与y轴交于正半轴，则m的 取值范围是 (3)若该函数过第一、三、四象限，求m的取 值范围 (4)当m=1时，函数图象与x轴的交点坐标 是 ,与y轴的交点坐标是 与直线y=一x十1的交点坐标为 (5)当m=0时，点A(x1,y1),B(x2,y2)是 函数图象上的两个点，且x1<x2,则y y2(填“>”“<”或“=”). 通用通法 解决这类问题的关键是熟知一次 变式2：（文化设问）对于点P(需号)和直线 函数的图象和性质：由k,b的符号可决 l:y=x,下列说法正确的是…( 定直线y=kx十b的位置；反过来，由直 A.若a=b=0,则l经过点P 线y=kx十b的位置可确定k,b的符 B.若a=b=一2，则l不经过点P 号.这种“数”与“形”的转化是数学中的 C.若a>6,则点P在1上方 重要思想 D.若a>b>0,则点P在l下方 36 2.如图1，在平面直角坐标系中，一次函数 3.(2025河北沧州任丘市模拟)周末，嘉嘉和 名宁2的图象4与y轴交于成A,一 淇淇一起去体育场看球赛.如图1，共享单 车停放点A,B和体育场C依次在一条东 次函数y2=kx十b的图象12经过点(3,0) 西走向的路上.两人从A,B之间的点P处 和点(0，一3)，直线11与l2交于点E 同时出发，嘉嘉步行去停放点A,淇淇步行 (1)直接写出直线12的解析式和点E的 去停放点B,然后各自骑共享单车前往体 坐标； 育场C.已知嘉嘉和淇淇两人步行速度均 (2)直线1与x轴交于点B,直线12与y 为75m/min,两人到体育场的距离 轴交于点C,则四边形OBEC的面 s嘉嘉(m)、s淇旗(m)与时间t(min)的函数关 积= 系图象如图2所示 (3)结合图象直接写出：当x 时， (1)在图2中，求纵轴上a的值； y<y2; (2)①嘉嘉骑上共享单车后，求5嘉嘉与t的 (4)如图2，已知矩形MNPQ,PQ=2, 函数关系式； NP=1,M(a,1),矩形MNPQ的边PQ在 ②求嘉嘉追上淇淇的时间t; x轴上平移，若矩形MNPQ与L2有交点， (3)若淇淇改为先步行去停放点A,然后骑 直接写出a的取值范围： 共享单车去体育场，骑行速度与原来相同， y↑/4 直接写出与原来到达体育场相差的时间. A NM(a,1)2 /0 西● B P A B 东 图1 ↑s/m E 6000- 一嘉嘉 淇淇 图1 图2 06142632t/min 图2 37第10讲一次函数及其应用 【河北中考·考点梳理】 ①y=kx②增大③减小④一、三⑤二、四⑥y= kx十b⑦>⑧=⑨<⑩>①=②<⑧增大 减小西6西上而下⑧横©y=x+6, y=kzx+b2 @> 【自主复习·方法提炼】 1.1)m<-1(2)m>3(3)-1<m<3 (4)(-1,0) (0,2) (-3) (5)< 变式1：C变式2：D 2.解：(1)2：y=x-3,E(-2,-5) 提示：把，点(3,0)和点(0，-3)代入一次函数y2=kx十b,得 (3k十b=0, 1k=1, 解得 1b=-3, b=-3 .直线2的解析式为y2=x一3， 7 联立方程组，得 y=2x+2 解得2， y=-5, y=x-3, .E(-2,-5) (2)号[解析]知图，连接OE, y↑ A C E 直线l1与x轴交于点B,直线L2与y轴交于点C, “B点的坐标为(-号，0)，C点的坐标为(0，-3)， S=Sae+SouE=号X号×5+合X3X 2=头. (3)<-2[解析]直线l与l2交于，点E(-2,-5), .当x<-2时，yh<y2. (4)3≤a≤6[解析]矩形MNPQ继续向右平移，当点Q 在l2上时，a的值为3， 矩形MNPQ继续向右平移，当点N在L2上时，x一3=1， 解得x=4,即点N(4,1), 此时，a的值为4十2=6， 综上所述，当3≤a≤6，矩形MNPQ与直线l2有交点. 3.解：(1)由题意，得75×(6+14)=1500(m), ,∴.a=6000-1500=4500(m), 即a的值为4500. (2)①设s*嘉与t的函数关系式为s=kt十b, 由图象可知，5嘉嘉与t的图象经过(6,6000)，(26,0)， ÷/600=6k+6, k=-300, 解得 0=26k+b, b=7800, .5嘉嘉与t的函数关系式为5来嘉=一300t十7800. ②6000-75×6=5550(m), 淇洪步行过程中，设5洪来与t的函数关系式为5珠来=t十n, .经过(0,5550)和(14,4500)， :/n=5550, 。解得 1m=-75, (14m十n=4500, n=5550, .5与t的函数关系式为5，=一75t+5550, .-300t+7800=-75t+5550, 解得t=10. .嘉嘉追上淇淇的时间为10min. (3)2min.提示：洪洪先到，点A处需要6min,洪洪的骑行 连度为是01=250(m/mm, ∴淇淇改为先步行去停放点A,然后骑共享单车去体育场 需要时间为6十62800=30(mim, ,.32-30=2(min). 答：与原来到达体育场相差的时间为2mi. 第11讲反比例函数及其应用 【河北中考·考点梳理】 ①y=是②kx③双曲线④>⑤<⑥减小 ⑦增大⑧原点⑨y=一x①0①接近@k1⑧ 2 【自主复习·方法提炼】 1.解：()八在反比例画数y=,图象的每一支上，y随x x 的增大而减小， .k-1>0,解得>1. (2):反比例函数y=1图象的一支位于第二象限， ,在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大 :点A(x1,y)与点B(x2,y)在该函数的第二象限的图象 上，且y>y2, .x1>x2. (3)在其图象上任取一点，向两坐标轴作垂线，得到的矩 形面积为6， .一1|=6，解得=7或k=一5. (4)由题意，设点P的坐标为(m,2). 点P在正比例函数y=x的图象上， .2=m,.点P的坐标为(2,2). :点P在反比例函数y=的图象上， x 2=号，解得=5