第12讲 二次函数的图象和性质-【夺冠百分百】2026年中考数学冲刺精讲册（河北专用）

通用通法 5h,每小时排水量最少增加多少立方米？ 比例系数的几何意义应用： (1)根据解析式，确定图形的面积； (2)根据图形的面积，确定的值或解 析式.确定的值时，注意要选取合适 的矩形或三角形，对于不能直接求得的 面积往往可分割为方便计算的三角形 面积进行相关转化，同时要注意由函数 图象的位置确定的符号， 3.某标准游泳池的尺寸为长50m,宽25m,深 3m,游泳池蓄水能游泳时，水深不低于1.8m. 变式：(2025河北唐山来城区二模)在压力不 (1)该游泳池能游泳时，最低蓄水量是多少 变的情况下，某物体所受到的压强p(Pa) 立方米？ 与它的受力面积S(m)之间成反比例函数 (2)游泳池的排水管每小时排水xm3,那么 关系，且当S=0.1时，p=1000.下列说法 将游泳池最低蓄水量排完用了yh. 中，错误的是…( ①写出y与x的函数关系式； A.力与S之间的函数表达式为力=10 S ②当x=225时，求y的值； B.当S=0.4时，p=250 ③如果增加排水管，使每小时排水量达到 C.当受力面积小于0.2m时，压强大于500Pa sm3,则时间y会（选填“增大”或 D.该物体所受到的压强随着它的受力面 “减小”)； 积的增大而增大 ④在②的情况下，如果最低蓄水量排完不超过 第12讲 二次函数的图象和性质 【2022课标要求】 1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义. 2.能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称 轴的关系 3.会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值. 4.知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近 似解。 4] 河北中考·考点梳理 考点一、二次函数的概念 1.形如y=ax2十bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分 别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项， 失分警示：利用三次函数的定义解题时，尤其是含有字母系数的函数，应特别留意二次项的 系数a是不是0. 2.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：y=ax2+bx十c(a,b,c是常数，a≠0) (2)顶点式：y=a(x一h)2十(a,h,k是常数，a≠0)，其中顶点坐标为① ,对称轴为 ② ,当x=h时，y有最值为③ (3)交点式：y=a(x一x1)(x一x2)(a,x1,x2为常数，a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴交点的 横坐标 考点二、二次函数y=ax2十bx十c的图象和性质☆重点 a>0 a<0 图象 0 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x=④ 顶点坐标 ⑤ 最值 当x= 时，y有最小值为⑥ 2a 当x=一 时，y有最大值为⑦ 2a 在对称轴的左侧，即x<一 时，y随无 在对称轴的左侧，即x<一 时，y随x 的增大而⑧ 的增大而⑩ 增减性 在对称轴的右侧，即x>一 时，y随工 在对称轴的右侧，即x> 名时，y随 的增大而⑨ 的增大而① 方法点拨：求抛物线的对称轴的方法 1.公式法：抛物线y=ax2十bx十c的对称轴为直线x=一 b 2a 2.配方法：将抛物线的解析式配方成顶，点式y=a(x一h)2十，对称轴为直线x=h. 3,根据对称性求解：若抛物线上两点的纵坐标相等，则说明这两点是关于抛物线的对称轴对 称的，对称轴是这两点连线的垂直平分线，即若抛物线过点(x1,n),(x2,n),则对称轴为直线 x=飞十x2 2 42 考点三、二次函数一般式中的系数与函数图象的关系 决定抛物线开口方向 a>0台→抛物线开口向上〉 a越大，开口越小 和开口大小 a<0台抛物线开口向下 b=0台对称轴为y轴 决定抛物线对称轴的 b,a ab>0(a,b同号)台对称轴在y轴左侧左同右异零中间 位置 ab<0(a,b异号)台对称轴在y轴右侧 c=0台抛物线过点(0,0)； 决定抛物线与y轴交 c>0台抛物线与y轴交于正半轴； 点的位置 c<0台抛物线与y轴交于负半轴 考点四、二次函数y=a(x一h)2十k的平移 平移前的解析式 方向和距离(m>0,n>0) 平移后 规律总结 向左平移m个单位长度 y=②@ x左加右减 y=a(x-h)2+ 向右平移m个单位长度 y=⑧ k(a≠0) 向上平移n个单位长度 y=④ 表达式右侧 向下平移n个单位长度 y=⑤ 整体上加下减 温馨提示：平移前后，抛物线的开口方向、开口大小不变，即Q的值不变，只是顶点坐标发生 了变化，因此可以用，点的平移来代替抛物线的平移 考点五、二次函数与一元二次方程、不等式的关系 1.二次函数与一元二次方程的关系 (1)二次函数y=ax2+bx十c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程ax2十 bx十c=0的两个根. (2)当△=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有⑥ 个公共点；当△=b2一4ac=0时，抛物线与 x轴有⑦个公共点；当△=b2一4ac<0时，抛物线与x轴①⑧ 公共点 2.二次函数与一元二次不等式的关系 设抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴交于(x1,0),(x2,0)两点(x1<x2),则不等式ax2十 bx十c>0的解集为x<x1或x>x2,不等式ax2十bx十c<0的解集是x1<x<x2, 温馨提示：一元二次方程与一元二次不等式是二次函数y=ax干bx干c当y=0或y>0 (y<0)时的特殊情况： 43 考点六、用待定系数法确定二次函数的解析式☆重点 1.若已知抛物线上三点坐标，可设出一般式© ,利用待定系数法求得a,b,c. 2.若已知抛物线的顶点坐标，则可设出顶点式@ ,其中顶点为(h,),对 称轴为直线x=h. 3.若已知抛物线与x轴的交点坐标，则可采用交点式@ ,其中与x轴的交点坐 标为(x1,0)和(x2,0). 温馨提示：如果抛物线的顶，点在原点，可直接设y=ax2;如果顶点在y轴，可直接设y= ax2十，如果顶点在x轴，可直接设y=a(x一h) 自主复习·方法提炼 1.已知二次函数y=x2一2x一3，回答下列问题： (1)该二次函数的图象开口向 ,对 称轴为 ;函数有最 (填 “大”或“小”)值，其值为 (2)二次函数图象与x轴的交点坐标为 A.D点 B.C点 ,与y轴的交点坐标为 C.B点 D.A点 变式2：（变换结论）(2025河北石家庄裕华区 (3)当一1≤x≤2时，y的最大值为 三模)点A(m,-98),B(n,一99)在函数 最小值为 y=一2x2一(k为常数)的图象上，则点A (4)已知点A(m,n)是抛物线上一点 与点B的位置描述正确的是…( ①若点A关于对称轴对称的点为B,且点B A.点A在点B的右侧 的坐标为(6,21)，则点A的坐标为 B.点A在点B的左侧 ②若点A到对称轴的距离为4，则点A的 C.点A离y轴远 坐标为 D.点B离y轴远 ③当n=3时，满足条件的点A有 个； 通用通法 (5)若点(-一√2，y),(W2,y2),(2,y)在该函数 二次函数的图象的顶点的横坐标 图象上，则My2y的大小关系为 为判断其增减性的界点，增减性可以包 (6)若(4，y1),(m,y2)是抛物线上不同的两 括横坐标，也可以不包括，顶点纵坐标 点，且y2=y1一8，则m的值为 为函数的最大值或最小值，但要注意顶 变式1：（变换条件）(2025河北邯郸模拟)在平 点横坐标必须在二次函数的自变量的 面直角坐标系中，二次函数y=mx2一m的 取值范围内，否则就要根据实际问题 图象如图所示，则坐标原点可能是() 求值， 44 2.二次函数y=ax2+bx+c y个X=1 (5)由图象上的点(1，a十b+c),(-1, (a≠0)的部分图象如图所 a-b+c),(2,4a+2b+c),(-2,4a- 示，其对称轴为直线x=1, 2b十c)等点的位置确定对应点的纵坐 且与x轴交于点(-1,0).分 F10 标的符号。 析判断下列结论，用“>”“<”或“=” (1)a0,b 0,c 0,abc 0; 3.已知抛物线C1:y=2x2 (2)b2-4ac 0;(3)2a+b 0; (1)若将抛物线C1先向右平移3个单位长 (4)a-b+c 0;(5)4a+2b+c 度，得到抛物线C2,请在图中画出抛物 0; 线C2; (6)9a+3b+c 0;(7)2c-a 0; (2)若将抛物线C先向上平移2个单位长 (8)3a十c 0;(9)8a+c 0 度，再向左平移1个单位长度，得到抛物线 变式：（变化设问）(2025河北邯郸摸拟)如图 C3,求抛物线C3的解析式； 所示的抛物线y=ax2+bx十c(a≠0)的对 (3)若将抛物线C1平移后得到的新抛物线 称轴为直线x=1,且经过点（一1,0），嘉嘉 C4的顶点坐标为（一2，一1），则平移方 和淇淇作出如下判断： 式为 嘉嘉：3a十c>0; (4)若将抛物线C1先向下平移3个单位长 淇淇：若m是实数，则b-bm≤a(m2-1). 度，再向右平移m(m>0)个单位长度，得 对于这两个判断，说法正确的是…() 到的新抛物线C经过点(1,5)，求m的值； (5)若将抛物线C1先向上平移1个单位长 度，再向右平移n(n>0)个单位长度，得到 抛物线C6,且抛物线C6的顶点在抛物线 C上，求n的值. A.两人都对 B.两人都不对 51 C.嘉嘉对 D.淇淇对 3 通用通法 抛物线的图象与系数的关系： (1)由抛物线开口方向确定a的符号； 4-3-2012343x (2)由对称轴的位置和a的符号确定b的 符号，若对称轴在y轴左侧，则a,b同号； 若对称轴在y轴右侧，则a,b异号： (3)由抛物线与y轴交点的位置确定c 的符号； (4)由抛物线与x轴的公共点个数确定 B2 -4ac的符号；(5)当一1<k<1时，在1≤x≤2范围内，y随x的增大而 增大， -十1=1，解得=-1，不特合题意，合去： 当k>1时，在1≤x≤2范周内，y随x的增大而减小， k-1-,-1,解得=3，符合题意. 2 综上所述，k的值为3. 变式：D2.B变式：7 3.解：(1)蓄水池的最低蓄水量是50×25×1.8=2250(m3). (2)①：xy=2250,y与x成反比例关系， 六y与x之间的函数关系式为y=2250 2250=10. ②当x=225时，y=225 ③减小 @y=2250≤5， x 解得x≥450， 即每小时的排水量至少为450m3, .450-225=225, .每小时排水量最少增加225m3 变式：D 第12讲二次函数的图象和性质 【河北中考·考点梳理】 ①(，)®直线x=h③k国-易 (-会如。) ⑥4ac-62 ⑦4ac-& Aa Aa ⑧减小⑨增大⑩增大①减小②a(x一h十m)2十k Ba(x-h-m)2+k 1a(x-h)2+k+n ⑤a(x一h)2+k-n⑤两⑦一⑧没有 ©y=ax2十bx十c(a≠0)@y=a(x-h)2十k(a≠0) ④y=a(x-x1)(x一x2)(a≠0) 【自主复习·方法提炼】 1.(1)上直线x=1小一4 (2)(-1,0),(3,0)(0,-3) (3)0-4 (4)①(-4,21)②(-3,12)或(5,12)③2 (5)y1>y9>y2 (6)m=0或m=2 变式1：B变式2：D 2.(1)<>>< (2)>(3)=(4)= (5)>(6)= (7)> (8)=(9)< 变式：D 3.解：(1)画出抛物线C2如图所示. 5↑ 4 3 2 4-3-2-1,012345x 2 (2)抛物线C3的解析式为y=2(x+1)2+2. (3)先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度 (4):C1的解析式为y=2x2, ∴.C1先向下平移3个单位长度，再向右平移m(m>0)个单 位长度，得到的新抛物线C为y=2(x-m)2-3, 将(1,5)代入，得5=2(1-m)2-3, 解得m=3,m=一1（不符合题意，舍去）. (5)C1的解析式为y=2x2, .C1先向上平移1个单位长度，再向右平移n(n>0)个单 位长度，得到的新抛物线C6为y=2(x一n)2+1, .其顶点坐标为(n,1), ,·抛物线C6的顶点在抛物线C1上， 1-2,解得用号-号不将合超意，合去) 2 第13讲二次函数的实际应用 【河北中考·考点梳理】 ①-品四如。龙@-会@如。 Aa 【自主复习·方法提炼】 1.解：(1)y=0.2x十1.8. 提示：通过观察可见4月份周数y与x的关系符合一次函 数解析式，设这个解析式为y=kx十b, k十b=2, 解得 k=0.2, 则 2k+b=2.2, b=1.8, ∴.4月份y与x的函数解析式为y=0.2x十1.8. (2)将(1,2.8)，(2,2.4)代入之= 品r+r+e, 2.8=-0+b+c, b=- 1 可得 解得 4, 2.4=-号+2+6 c=3.1, 即=动-子.1 (3)4月份一千克此种蔬莱的利润可表示为W1=y一m= (0.2x+1.8)-(x+1.2),脚W1=-0.05x+0.6; 由函数解析式可知，4月份一千克此种蔬莱的利润随周数 的增大而减小，在第1周的利润最大，最大为W=