第9讲 函数初步-【夺冠百分百】2026年中考数学冲刺精讲册（河北专用）

第三模块 函数及其图象 食块体系相图 位置 一般式 特殊形式 点的坐标特征 距离 系数的几何意义 平面直角坐标系 解析式 平移 点的坐标变换 待定系数法 对称 函数基础 概念 知识 形状 图象 自变量的 函数 位置（特殊点） 变换 解析式法 取值范围 图象 次函数 列表法 表示方法 二次函数 图象与系数的关系 图象法 反比例函数 增减性 求最值 性质 y,与，函数图象交点 对称性 比较大小 的横坐标 yy,的解 y,图象在y,图象上方 函数与方程、 方案选择 部分对应的x的范围 y>y,的解集 不等式的关系 利润最值· y,图象在，图象下方 实际应用 部分对应的x的范围 y<y,的解集 拋物线形问题 其他实际应用 第9讲 函数初步 【2022课标要求】 1.理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系在给定的直角坐标系中，能根据坐标描 出点的位置、由点的位置写出它的坐标. 2.在实际问题中，能建立适当的平面直角坐标系，描述物体的位置. 3.对给定的正方形，会选择合适的平面直角坐标系，写出它的顶点坐标，体会可以用坐标表达 简单图形 4.在平面上，运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置. 5.探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义；了解函数的概念和表示法， 能举出函数的实例. 6.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析， 7.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值 8.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义. 29 9.结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论 河北中考·考点梳理 考点一、平面直角坐标系内点的坐标特征 1.定义：在平面内画两条互相① 、原点② 的数轴，组成平面直角坐标系，坐标 平面内的点与有序实数对③ 对应. 2.点的坐标特征 点的位置 图示 坐标特征 ↑y 点P(x,y)在第一象限：x>0,y>0; 点在 (,+)(+,+) 点P(x,y)在第二象限：x④ 0,y⑤ 0; 象限内 Ox 点P(x,y)在第三象限：x⑥ 0,y⑦ 0 (,）(+,) 点P(x,y)在第四象限：x⑧ 0,y⑨ 0 ↑y 点P(x,y)在x轴上：y=0; 点在坐 0,y) x,0) 点P(x,y)在y轴上：x=0; 标轴上 0 点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上台x=y=0(原点) 点在平行 ty x=n 平行于x轴的直线上的点台⑩ 坐标相同， (x,m) ① 坐标为不相等的实数； 于坐标轴 y=m 平行于y轴的直线上的点台→② 坐标相同， 的直线上 (n,y) ⑧ 坐标为不相等的实数 点在各象 B(b,-b) 点P(x,y)在第一、三象限的角平分线上台y=x; 限的角平 点P(x,y)在第二、四象限的角平分线上台④ 分线上 温馨提示：(1)原，点既是x轴上的，点，又是y轴上的，点；(2)，点的横坐标或纵坐标为0，说明 点在y轴或x轴上 知识拓展：设A(x1,y1),B(x2,y2)为坐标系中任意两，点： 1.坐标平面内两点间距离的求法： (1)当AB∥x轴时，y1=y2,AB=x1一x2|； (2)当AB∥y轴时，x1=x2,AB=|y1一y2； (3)任意两，点间的距离为√(x1一x2)+(y1一y2)。 2线段AB的中点坐标公式为（士严，”吉严） 2 30 考点二、点的坐标变换 类型 变换前 变换 变换后 平移 P(x,y) 向左（或右）平移m(m>0)个单位长度 P'(x-m,y)[或(x+m,y)] 变换 P(x,y) 向上（或下）平移n(>0)个单位长度 P'(x,y+n)[或(x,y-n)] P(x,y) 关于x轴对称 P'(x,-y) 对称 P(x,y) 关于y轴对称 P'(-x,y) 变换 P(x,y) 关于原点对称 P'(-x,-y) 考点三、用坐标表示地理位置 利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下： (1)建立平面直角坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向； (2)根据具体问题确定单位长度； (3)在坐标平面内画出表示各个地点的点，写出各点的坐标和各个地点的名称. 考点四、函数及其图象 1.自变量与函数：一般地，在某个变化过程中有两个变量x和y,如果对于x的⑤ 确定 的值，y都有⑥ 确定的值与之对应，那么y是x的函数，其中x是自变量. 温馨提示：理解函数时要注意：在一个变化过程中只有两个变量，而且变量y有唯一的值与 江的值对应. 2.表示方法：列表法、解析式法和图象法. 3.函数的图象：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵 坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 4.画函数图象的步骤：列表、描点、连线， 5.函数自变量的取值范围 类型 示例 自变量取值范围 整式型 如y=x一1 全体实数 分式型 如y=1 +1 分母不为0(x⑦ -1) 根式型 如y=√x-1 被开平方数大于或等于0(x⑧ 1) 如y=a 同时满足：①被开平方数大于或等于0；②分母不为0 分式十根式型 (x⑨ 0) 零指数幂或负 如y=x1或y=x 底数不为0(x≠0) 整数指数幂型 31 自主复习·方法提炼 1.已知在平面直角坐标系中，点P(a一2,2a十8). 变式：（变换条件）(2025河北保定竞秀区一 (1)点P在x轴上时的坐标为 模)在平面直角坐标系中，一种走棋的游 (2)点P在y轴上时的坐标为 戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向 (3)点P到x轴、y轴的距离相等时的坐标 右走1个单位，第2步向右走2个单位，第 为 3步向上走1个单位，第4步向右走1个单 (4)点P在第二象限，则a的范围是 (5)点P在第二、四象限的角平分线上，则 位…以此类推，第n步的走法是：当n能 a= 被3整除时，则向上走1个单位；当n被3 (6)当a=1时， 除，余数为1时，则向右走1个单位；当n ①点P关于x轴的对称点P1的坐标 被3除，余数为2时，则向右走2个单位， 为 ； 当走完第50步时，棋子所处位置的坐标是 ②点P关于y轴的对称点P2的坐标 为 通用通法 ③点P关于原点的对称点P3的坐标 (1)平移：左减右加，上加下减： 为 (2)对称：点P(a,b)关于x轴的对称点 (7)若点P的纵坐标比横坐标大3，求点P 为P1(a,一b);关于y轴的对称点为 的坐标； (8)若点P到x轴的距离为2，且在第三象 P2(-一a,b)；关于原点的对称点为 限，求点P的坐标； P(一a,一b);关于y=x的对称点为 (9)若点P在过点A(一5,1)且与y轴平行 P4(b,a);关于y=一x的对称点为 的直线上，求点P的坐标； P(-b,-a). (10)将点P先向右平移5个单位长度，再 向下平移3个单位长度后得到点M,若点 2.一辆汽车油箱中现有汽油50L,它在高速 M在第三象限，且点M到y轴的距离为4， 公路上匀速行驶时每千米的耗油量固定不 求点M的坐标. 变.行驶了100km时，油箱中剩余汽油 40L.假设油箱中剩余的油量为y(单位： L),已行驶的里程为x(单位：km). (1)在这个变化过程中，y是x的函数吗？ (2)能写出表示y与x的函数关系的式 子吗？ (3)这个变化过程中，自变量x的取值范围 是什么？ 32 (4)汽车行驶了200km时，油箱中还剩余 3.星期天早上8时，小莹骑车到郊外游玩，她 多少汽油？行驶了320km呢？ 离家的距离(km)与时间（时）的关系如图 所示，请根据图象回答下列问题 (1)小莹到达离家最远的地方是什么时间？ (2)她何时开始第一次休息？休息了多长 时间？ (3)她可能在哪段时间休息，并吃午餐？ (4)她骑车速度最快是在什么时候？车速 是多少？ 距离/km 30 15 10 5H 10.5 089101112131415时间/时 变式：（逆向思维）(2025江苏扬州广陵区一 模)下列函数中，自变量的取值范围是x> 3的是 …………………( A.y=x-3 B.y=- 1 Γx-3 C.y=√x-3 1 D.y- √x-3 通用通法 确定函数自变量取值范围的方法： (1)解析式中有分式时，自变量要满足 分母不等于0； (2)解析式中有二次根式时，自变量要 满足被开方数大于等于0； (3)解析式中有零指数幂或负整数指数 幂时，自变量要满足幂的底数不等于O; (4)解析式中有多种情况时，要分别求 各个部分的范围，再求其公共部分 33@x<a⑤a<x<b⑥无解⑦≥⑧≤ 【自主复习·方法提炼】 1.解：(1)不等式两边减去同一个数，不等号的方向不变 不等式两边除以同一个负数，不等号的方向改变 (2)将a=1代入，得一2x+3≤1， -2x≤1-3， -2x≤-2， x≥1. -5-4-3-2-10123451 (3)-2x+3≤a, >32, :x>3满足不等式-2x十3≤a, 32≤3， .a≥-3. ≥3，， (4)解不等式组，得 2 x≤3. ”不等式组无解， 32>3,解得a<-3. (5)解不等式，得 公3e 2 x≤3. ,不等式组 一2x十3<a‘有三个正整数解， 2-x≤5-2x 0<322≤1,3>a≥1 变式：B 2.解：(1)115-100=15（点），110-115=-5（点）， 答：每关的奖励值为十15点，惩罚值为-5点. (2)设失败了n次， 根据题意，得100+4×15+（一5）n=145, 解得n=3. 答：一共失败了3次 (3)设嘉嘉失败了x次， 根据题意，得100+10×15+（一5）x≥220， 解得x≤6， x最大取6. 答：嘉嘉最多能失败6次 第三模块函数及其图象 第9讲 函数初步 【河北中考·考点梳理】 ①垂直②重合③一一④<⑤>⑥<⑦< ⑧>⑨<⑩纵①横@横⑧纵④y=一x ⑤每一个⑥唯一⑦≠⑧≥©> 【自主复习·方法提炼】 1.解：(1)(-6,0)(2)(0,12) (3)(-12,-12)或(-4,4) (4)-4<a<2(5)-2 (6)①(-1，-10)②(1,10)③(1，-10) (7)点P的纵坐标比横坐标大3， ∴.2a十8=a-2十3，解得a=-7. .a-2=一9,2a十8=一6.∴.点P的坐标为（一9，一6）. (8)点P到x轴的距离为2， .|2a十8|=2，解得a=-3或a=-5. 又点P在第三象限，.2a十8<0，即a<-4,.a=一5， .a-2=-7,2a+8=-2. 点P的坐标为（一7，一2） (9),点P在过点A(一5,1)且与y轴平行的直线上， 点P的横坐标为一5， .a-2=一5，解得a=-3, ∴.2a十8=2..点P的坐标为(-5,2). (10)由题意知，点M的坐标为(a-2+5,2a十8一3) ,点M在第三象限，且点M到y轴的距离为4， .点M的横坐标为一4，.a一2十5=一4，解得a=一7. .2a+8一3=一9，.点M的坐标为（一4，一9）. 变式：(51,16) 2.解：(1)在这个变化过程中，y是x的函数. (2)能.根据题意，得 y与x的画数关系式为y=50-0. 1 (3)-六x+50≥0且≥0， 自变量x的取值范围是0≤x≤500. (4)当x=200时，y=30; 当x=320时，y=18. 汽车行驶了200km时，油箱中还剩余30L汽油，行驶了 320km时，油箱中还剩余18L汽油. 变式：D 3.解：观察题图可知： (1)小莹到达离家最远的地方是在12时. (2)10时开始第一次休息；休息了0.5h. (3)她可能在12~13时休息，并吃午餐. (4)小莹郊游过程中，各时间段的速度分别为 8~10时，速度为15÷(10-8)=7.5（千米/时）； 10~10.5时，速度为0； 10.5~12时，速度约为(30-15)÷(12-10.5)=10（千米/时）： 12~13时，速度为0； 13~15时，速度为30÷(15-13)=15（千米/时）； 她骑车速度最快是在13~15时，车速是15千米/时.