第6讲 分式方程及其应用-【夺冠百分百】2026年中考数学冲刺精讲册（河北专用）

第6讲 分式方程及其应用 【2022课标要求】 1.能解可化为一元一次方程的分式方程. 2.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性 河北中考·考点梳理 考点一、分式方程及解法 1.定义：分母中含有① 的方程叫做分式方程. 2.解分式方程的基本思想：把分式方程转化为② 方程. 3.解分式方程的步骤 最简公 解整式 分母为0 →x=a不是分式方程的解 分式方程 去分母 乘③ →整式方程方程 t④ 最简公分X=a是分式方程的解 母不为0 失分警示：()去分母时不要漏乘整式的项.(2)解出分式方程的解后，不要忘记验根（解分式 方程必须验根的原因：去分母时，把分式方程转化为整式方程，把未知数的取值范围扩大 了)，同时要把验根的过程写出来 4.(1)分式方程的增根：分式方程的增根是在⑤ 时产生的，它会使分式方程的分母为 ⑥ ;分式方程的增根是去分母后所得整式方程的根，增根是使原方程中各分式的最简 公分母为⑦ 的未知数的值， (2)分式方程无解：分式方程化为整式方程后，整式方程无解，此时分式方程⑧ 分 式方程化为整式方程后，整式方程有解，但其解是分式方程的增根，此时分式方程 ⑨ 方法指导：()若要判断分式方程解的情况，化为整式方程求解后需验根，判断是不是无解或 有增根.(2)分式方程的增根与无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可 能是去分母后的整式方程无解；分式方程的增根不仅是去分母后的整式方程的根，也是使分 式方程分母为0的根 .-....22... 考点二、分式方程的实际应用 1.列分式方程解应用题与列整式方程解应用题步骤相同，都为：审题，设未知数，找等量关系， 列方程，解方程，检验，作答. 2.验根时要进行两次检验： (1)检验所求解是不是⑩ 的解. (2)检验所求解是否符合实际意义， 19 3.常见类型及关系式： 基本数量关系：时间=路程 速度 行程问题 常用等量关系： 相同路程_相同路程=时间差（注意时间单位统一） 慢速 快速 基本数量关系：工作时间= 工作总量 工作效率 工作总量 常用数量关系：原工作效率 工作总量 甲工作总量 工程问题 改进后工作效率 =时间差，甲工作效率 乙工作总量 乙工作效率 =时间差 当题干中没有给出具体的工作总量时，默认工作总量为“1” 销售问题 基本数量关系： 总价=数量 单价 自主复习，方法提炼 1.嘉淇准备完成题目： 变式：（变换设问方式）“若关于x的方程 解分式方程：兰日=2一写产发现数字◆ ax 12 3x-9 3是写十1无解，求a的值”尖尖 印刷不清楚， 和丹丹的做法如下： 1)他把“◆猜成5，请你解方程：z二3 尖尖： 丹丹： 去分母，得a.x= 去分母，得ax=12十3x-9, 2-3-x 12+3x-9, 移项、合并同类项，得 (2)若方程的解为0，则“◆”是几？ 移项，得ax一 (a-3)x=3, (3)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的 3x=12-9, 解得x= 3 正确答案是此分式方程无解.”通过计算说 a-3 合并同类项，得 明原题中“◆”是几？ 原方程无解， (a-3)x=3. x为增根， (④若这个方程二3=2一3”的解为正 原方程无解， ∴.3x一9=0，解得x=3, ∴.a-3=0, 数，求m的取值范围； ∴.a=3. : a-3=3,解得a=4. (5)关于x的方程m1+。1 x-22-x =2有整数解， 下列说法正确的是 直接写出整数m的值： A.尖尖对，丹丹错 B.尖尖错，丹丹对 C.两人的答案合起来也不对 D.两人的答案合起来才对 20 2.甲、乙两名同学分别从各自的家中出发，均 可列方程7500_7500-15.由此判断原 到距离家4千米的同一个文具城购买相同 1.2x 题中缺少的部分可能是 …() 价格的同一种商品，已知甲每小时走x千 A.甲组的步行速度是乙组的1.2倍，甲组 米，乙的速度是甲的1.5倍，最终乙比甲早 比乙组用时多15分钟 20分钟到达.甲用2400元购买的商品数 量比乙用3000元购买的商品数量少 B.甲组的步行速度是乙组的1.2倍，甲组 10件. 比乙组用时少15分钟 (1)求乙每小时走多少千米； C.乙组的步行速度是甲组的1.2倍，甲组 比乙组用时多15分钟 (2)求这种商品的单价； (3)甲、乙两人第二次又同时去购买该商 D.乙组的步行速度是甲组的1.2倍，甲组 比乙组用时少15分钟 品，发现该商品的单价有所变化，如果甲购 买该商品的总价与上次相同，乙购买该商 变式2：（变换设问）(2025河北张家口桥东区 品的数量与上次相同，结果甲两次购买的 模拟)我国古代数学著作《九章算术》中有 总件数与乙两次购买的总件数相同，那么 一道关于“驿站送信”的题目，其大意为：把 该商品的单价是如何变化的？请说明 一封信送到900里外的地方，若用慢马送， 理由. 则晚1天送达；若用快马送，则早3天送 达，已知快马的速度是慢马速度的2倍，问 规定的时间为多少天？马的速度为多少？ 下列说法错误的是 …() A.设规定的时间为x天，所列方程为 49×2=909 x-3 B.设慢马的速度为y里/天，所列方程为 900_900=2 y 2y C.快马用了4天送达 D.慢马用了8天送达 通用通法 列分式方程解应用题，应先弄清楚问 题中的已知量、未知量以及它们之间的数 量关系，用含未知数的式子表示相关量， 变式1：（变换条件）“A,B两地相距7500米， 列出分式方程求解，最后不要忘记检验， 甲、乙两个小组同时从A地出发匀速步行到 既要检验所得解是不是所列分式方程的 B地…”若设乙组的速度为x米/分，则 解，又要检验所得解是否符合题意.【自主复习·方法提炼】 1.解：(1)甲同学在去分母时，等号右侧没有乘6；乙同学在去 括号时，括号内的符号没有变号；戊同学将未知数系数化 为1时出现错误，方程两边应该同时除以一3. ,这个“接力游戏”中计算错误的同学有甲、乙、戊。 (2)1-23r=1, 2 3 去分母，得3(x十1)-2(2-3x)=6, 去括号，得3x十3一4+6x=6, 移项，得3x十6x=6一3十4， 合并同类项，得9x=7, 系数化为1，得。=日 变式1：A变式2：A 2.解：(1)加减 (2)x-y=4y=x-4☒x十y=-8 (3)/x-y=4,① 3x十y=-8,② ②十①，得4x=一4， 解得x=一1， 把x=一1代入①，得-1-y=4, 解得y=一5， 方程组的解是 /x=-1, y=-5. (4)设“☒”为a, x,y互为相反数， .把x=一y代入x-y=4,得-y-y=4, 解得y=-2, 则x=2, 方程组的解是 /x=2, y=-2, 代入ax十y=-8,得2a-2=-8, 解得a=一3， 即原题中“☒”是一3. 变式1：C 变式2：B 变式3：解：(1)5-3[解析]③×3-①×2，得y=-3, 把y=-3代入①，得3x-12=3, 解得x=5, (2)①+②，得4x+6y=5一3m, 即2(2x+3y）=5-3m,∴2x+3y=5-,3m, 2 2z十3y=1,5-,3m=1,解得m=1. 2 3.解：1)①210+x2110+x2110-x2110-2 106 105 ②根据题意，得210+工-210-二，解得x=10,这辆 106 105 货车的长度为10m. ③货车的平均速度为211010=20m/g,20m/s=72km/h 106 ,60<72<80,.这辆货车是按规定的速度行驶的. (2)①设A商品的标价为x元/件，B商品的标价为 y元/件. 6x+5y=980, 依题意，得{ 3x+7y=940, x=80, 解得 (y=100. 答：A商品的标价为80元/件，B商品的标价为100元/件. ②设商场是打m折出售这两种商品的. 依题意，得(80×9+100×8)×0-912，解得m=6. 答：商场是打六折出售这两种商品的 ③设购买A商品a件，B商品b件， 依题意，得(80a+106)X0.6=960,a=20-号6， 又a,b均为正整教心6=4 (a=15,.(a=10,,a=5, 或 或 b=8 b=12, 共有3种购买方案。 方案一：购买A商品15件，B商品4件； 方案二：购买A商品10件，B商品8件； 方案三：购买A商品5件，B商品12件， 第6讲分式方程及其应用 【河北中考·考点梳理】 ①未知数②整式③最简公分母④检验⑤去分母 ⑥0⑦0⑧无解⑨无解⑩所列分式方程 【自主复习·方法提炼】 1解：(1方程整理，得产=2+25去分#，得x=2(x 3)十5，解得x=1.经检验，当x=1时，x一3≠0. ∴.分式方程的解为x=1. (2)设原题中“◆”是a.方程整理，得0=2十”3去分母， 得0=一6十a,解得a=6,∴.“●”是6. (3)设原题中“◆”是b. 方程整理，得兰3=2十名 去分母，得x=2(x一3)十b,由分式方程无解，得x=3. 把x=3代入整式方程，得b=3,.原题中“◆”是3. (4)方程两边同乘x一3，得x=2(x一3)十m,解得x=6一m. :这个方程吾3=2-3的解为正数，6一m>0显 6-m卡3，解得m<6且m≠3. (5)3或4或0 变式：D 2.解：(1)设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为1.5x千 米/时，由题意可列方程： 44-20 x1.5x60 解得x=4,经检验，当x=4时，1.5x≠0， ∴.x=4是原方程的解且符合题意.1.5×4=6（千米）. .乙每小时走6千米 (2)设这种商品的单价为y元， 根据题意，得2400+10=3000 y y 解得y=60, 经检验可知y=60是所列分式方程的解，且满足题意. 答：这种商品的单价为60元. (3)该商品的单价为40元，比第一次购买的单价少了 20元. 理由如下：设第二次购买时，该商品的单价为(60十m)元， 则乙两次购买该商品的总件教为3000×2=100， 60 而甲第一次购买该商品的件教为2400=40， 60 ∴.甲第二次购买该商品的件数为100一40=60， 0060,解得m=-20,经检验，当n=二20时，60+ m≠0，∴.m=一20是原方程的解且符合题意.60十m=40, 故第二次购买时，该商品的单价为40元，比第一次购买的 单价少了20元. 变式1：B变式2：B 第7讲一元二次方程及其应用 【河北中考·考点梳理】 ①2②x=二b士-4ac③不相等④相等⑤没有 2a ⑥-名⑦÷⑧-p⑨g⑩a(1+m2=b①a1- a m)=6®(a-2x6-2）®6.2®(a-x06-z） 【自主复习·方法提炼】 1.解：(1)当t=3时，原方程化为x2一12x十32=0， 整理，得(x一8)(x一4)=0， x-8=0,或x-4=0,∴.x1=8,x2=4. (2)方程有两个实数根. 理由如下： b2-4ac=(-4t)2-4(3t2+2t-1)=16t2-12t2-8t+4= 4t2一8+4=4(t-1)2, 当t=1时，b2一4ac=0,方程有两个相等的实数根； 当t≠1时，b一4ac>0,方程有两个不相等的实数根， 综上所述，方程有两个实数根。 (3)将x=2代入x2-4tx+32+2t-1=0可得4-8t+ 3t2十2t一1=0，整理，得t-2t十1=0，解得t=1,将t=1 代入x2一4tx+3t2十2t-1=0,可得x2-4x十4=0，解得 x1=x2=2,故t的值为1，方程的另一个根也为2， (4)解方程，得x=3t-1,或x=t十1， ,x1=nx2,∴.3t-1=n(t+1),或t+1=n(3t-1), 当34-1=a+10时，n=3-A ,n,t为正整数， .当t+1=2时，n=1;当t+1=4时，n=2; 当t+1=n(3t-1)时，n=t=1. 综上所述，n的值为1或2. (5)对于关于x的一元二次方程x2-4tx十3t2十2t一1=0. 由一元二次方程根与系数的关系，可得x1十x2=4t, 1x2=3t+2t-1,∴.x+x2=(x十x2)2-2x1x2=102 4t+2,.3(x1+x号)=10x1x2,.3(10t-4t+2)= 10(3+2-1D,解得1=. 变式1：C变式2：C变式3：D 2.解：(1)设将要剪去的正方形的边长为xcm, 根据题意，列方程为(30一2x)(16一2x)=240, 解得x1=20,x2=3, 当x=20时，30-2x<0,16-2x<0, 不符合题意，舍去： 答：将要剪去正方形的边长为3cm. (2)①画出的图形如图所示； ◇ ②设剪去的正方形的边长为ycm. 根据题意可列方程为30×16-2y-2×0) 2y=412, 解得y1=一17（舍去），y2=2, 答：剪去的正方形的边长为2cm. (3)玩具机械狗不能完全放入该收纳盒.理由如下： 设剪去小长方形的长为bcm(b<15),则折成的有盖的长 方体收纳盒的底面长为(30-2b)cm,宽为(46-4b)cm, 根据题意，得(30一2b)(46一4b)=60, 整理，得2b2一53b+330=0, 解得b1=10,b2=16.5>15(不符合题意，舍去)， “30-2b=30-20=10,46-4h=46-4X10=6,30-10X2=5, 2 ∴.折成的有盖的长方体收纳盒的长为10m,宽为6m,高 为5cm. .10>8,6=6,5<7, ∴玩具机械狗不能完全放入该收纳盒。 (4)设销售单价为a元/个，则每天的销售量为[200十20× 10(10-a)]个，则 (a-4)[200+200(10-a)]=2400, 整理，得a2一15a十56=0， 解得a1=7,a2=8, 但是要尽可能减少库存，∴.a=8不符合题意，取a=7. 答：该厂家将销售单价定为7元/个时，每天的销售利润为 2400元. 第8讲一元一次不等式（组）及其应用 【河北中考·考点梳理】 ①不等②未知数③所有④集合⑤解集⑥> ⑦>⑧>⑨<⑩<①1@同一⑧x>b