第5讲 一次方程(组)及其应用-【夺冠百分百】2026年中考数学冲刺精讲册（河北专用）

第二模块 方程（组）与不等式（组） 食快体系框国 分式方程的解 检验 不等式的解集 代数式之间的大小关系 不7 的 分式方程 相等 不等 等 关系 关系 式质 去分母 一元一次不等式 二元一 消元 次方程组 一元一次方程 方程 不等式 转化 降次 元一 次不等式组 元二次方程 解 公 概念 解法 实际应用 分 不等式组的解集 根的判别式 根与系数的关系 第5讲 一次方程（组）及其应用 【2022课标要求】 1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计 方程解的过程. 2.掌握等式的基本性质；能解一元一次方程. 3.掌握消元法，能解二元一次方程组 4.·能解简单的三元一次方程组.（选学内容，不作为考试要求) 5.能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理， 河北中考，考点梳理 考点一、等式的基本性质 等式两边加（或减）同一个① ,结果仍相等. 性质1 即如果a=b,那么a土c=b士② 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为③ 的数，结果仍相等. 性质2 即如果a=b,那么ac=④ ;如果a=b(c⑤ ),那么4=b 失分警示：当等式两边同时除以一个字母时，一定要有条件保证这个字母不为Q. 考点二、一元一次方程的概念及解法 1.定义：如果方程中只含有⑥ 未知数（元），未知数的次数都是⑦，等号两边都是 15 ⑧ ,这样的方程叫做一元一次方程. 失分警示：注意在二元二次方程中二次项的系数不为0， 2.解一元一次方程的一般步骤 (1)去分母 方程两边乘各分母的⑨ (2)去括号 根据去括号法则，括号外面是负数的，去括号后括号内各项要⑩ (3)移项 把含未知数的项移到方程左边，常数项移到方程右边，注意移项要变号 (4)合并同类项 把方程化成① 的形式 (5)系数化为1 方程两边同除以未知数的② 失分警示：去分母时不要漏乘某一项，尤其是常数项， 考点三、二元一次方程（组） 1.二元一次方程：含有③ 个未知数，并且含有未知数的项的次数都是④ 2.二元一次方程组：方程中有两个未知数，含有每个未 知数的项的次数都是1，并且一共有⑤ 个方程，温馨提示：二元一次方程组中的每个 3.二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程 方程不一定都是二元一次方程，也可 的⑥ 以是一元一次方程。 4.二元一次方程组的基本解法 (1)基本思路是“⑦ ”,变“二元”为“一元” (2)两种基本解法：⑧ 消元法和⑨ 消元法 5.三元一次方程组的解法 方法点拨：心当方程中某个字 通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“四 ”,使母的系数为士1时，或常数项 解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为0时，选用代入消元法比较 为解一元一次方程. 简单：②当方程组中同一未知 考点四、一次方程（组）的实际应用 数的系数相等或互为相反数 1.列方程解应用题的步骤 时，选用加减消元法比较简单. 一审，二设，三列，四解，五验，六答， 2.常见等量关系 航行问题 顺水速度=船速十水速 逆水速度=船速一水速 工作量问题 工作量=工作效率X工作时间 利润问题 单件利润=售价一进价利润率=利润×100% 成本 总场数=胜场数十负场数十平场数 比赛积分问题 总积分=胜场积分十负场积分十平场积分 鸡的头数十兔的头数=总头数 鸡兔同笼问题 鸡脚的总数十兔脚的总数=脚数和 16 自主复习·方法提炼 1.(2025河北衡水摸拟)综合实践课上，同学 2.李明准备完成题目：解二元一次方程组 们玩“接力游戏”，由每组学生合作解一元 x-y=4, 发现系数“⑧”印刷不 一次方程.如图，老师将题目交给甲同学， ☒x+y=-8, 他完成一步解答后交给乙同学，依次进行， 清楚。 最后由戊同学完成求解，规则是每人只能 (1)解该方程组最适合的方法是 看到前一人传过来的式子. 消元法； 老师 甲 乙 (2)若该方程组用代入消元法来解，应将 x+12-3x 2 3c+1)-2(2-3x)=13x+3-4-6x=1 3 变形，变形结果为 ,再 代入方程 丙 -3x=2 3x-6x=1-3+4 (3)他把“☒”猜成3，请你用适当的方法解 x-y=4, (1)写出这个“接力游戏”中过程出错的 二元一次方程组 3x+y=-8; 同学； (4)张老师说：“你猜错了，我看到该题标准 (2)请你写出正确的求解过程. 答案的结果是x,y互为相反数.”通过计算 说明原题中的“⑧☒”是多少？ 变式1：（支换条件）如果3a十1与20.7互为 3 相反数，那么a=…（ 通用通法 A B.10 C.-4 3 D.-10 当两个方程中同一个未知数的系 变式2：（度热设问）方程号 2x一1=1可 数为1或一1，或者某个方程的常数项 0.7 为0时，一般采用代入消元法；当两个 变形为…( 方程中的同一个未知数的系数相同或 A.10x+10_20x-10=1 互为相反数，或者存在整数倍数关系 7 时，一般采用加减消元法。 B.10x,+1-20x-1=1 x=2y+1, c.10x+1_20x-1-10 变式1：（变换设问）解方程组① 和 3 7 6x-5y=13 2x+3y=10, D.10x+10_20x-10-10 方程组② 比较简便的方 3 2x-3y=-2, 17 法是 又不得高于80km/h, A.均用代入法 ①如果设这辆货车的长度为xm,填写下 B.均用加减法 表（不需要化简）： C.①用代入法，②用加减法 时间/s 路程/m 平均速度/(m/s) D.①用加减法，②用代入法 完全通 106 3x十z=6, 过隧道 变式2：（变换条件）解方程组4x一y十22=11，时， 整辆车 5x+2y-32=4 在隧 105 要使解法较为简便，应…( 道内 A.先消去x B.先消去y ②求这辆货车的长度； C.先消去之 D.先消去常数 ③这辆货车是按规定的速度行驶的吗？请 变式3：（变换条件）数学活动课上，小云和小 说明理由； 辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组 (2)小李妈妈在某商场购买A,B两种商品 的问题： 若干次（每次A,B都买），其中前两次按标 已知关于x,y的二元一次方程组 价购买，第三次购买时，A,B两种商品同时 3x+4y=3,① 打折，三次购买A,B商品的数量和费用情 的解满足2x+3y=1③， x+2y=2-3m② 况如表所示： 求m的值， 购买A商品购买B商品 购买总 将①③联立 哈哈！直接①+ 的数量/件 的数量/件 费用/元 可得一个新 ②可以更简便 的不含m的 地求出m的值. 第一次 6 5 980 小云 二元一次方 小辉 程组 第二次 3 7 940 (1)按照小云的方法，x的值为 第三次 9 8 912 y的值为 ①求A,B商品的标价 (2)请按照小辉的思路求出m的值， ②若小李妈妈第三次购买时，A,B商品的 折扣相同，则商场是打几折出售这两种商 品的？ 3.小李妈妈去市里商场买东西， ③在②的条件下打折，若小李妈妈第四次 (1)去的路上有一条长2110m的隧道.现 购买A,B商品共花去960元，则小李妈妈 小李妈妈开货车从隧道匀速通过，测得货 购买方案可能有哪几种？ 车从开始进入隧道到完全通过隧道共用了 106s(即从车头进入隧道口到车尾离开隧 道)，整辆车完全在隧道内的时间为105s. 隧道内平均行驶速度不得低于60km/h, 18第3讲整式及因式分解 【河北中考·考点梳理】 ①数②字母③数字④所有⑤最高项⑥相同 ⑦指数⑧相同⑨相反⑩a+n①amN②am ③abn④指数⑤ma+mb十mc⑥am十an十bm十bm ⑦a2-b2⑧a2士2ab十b2四同底数幂④相加④整式 的积②m(a+b+c)⑧(a+b)(a-b)@(a土b)2 【自主复习·方法提炼】 1.C2.C3.D4.D 5,解：1)2 5 (2)单项式：2y,8a,亭 1 多项式：x-2x3y+1,-a3b2+5ab-a,4x2十2xy,2x3y 4y3+5x2-1. (3)多项式2x3y-4y3+5x2-1的项依次为2x3y,-4y3, 5x2,-1. (4)4-4-1 (5)由题意，可知x十1=0，y一2=0， 解得x=一1，y=2, 把x=-1,y=2代入2x3y-4y3+5x2-1,得 2x3y-4y3+5x2-1 =2×(-1)3×2-4×23+5×(-1)2-1 =2×(-1)×2-4×8+5×1-1 =-4-32+5-1 =-32. (6):关于x,y的多项式x“y2一xy2十x2y一3的次数与多 项式2x3y-4y3十5x2一1的次数相同，故知关于x,y的多 项式xy2一xy2十x2y一3的次数为4， .a十2=4，则a=2. 多项式x“y2-xy2十xy一3的常数项为b, .b=-3. 关于x,y,之的单项式一2xy之的次数是c,系数为d, ∴.c=3+1+1=5,d=-2. '.b(a-c)+d =-3×(2-5)+(-2) =7. 变式：0或8 第4讲分式 【河北中考·考点梳理】 ①整式②字母③B≠0④B=0⑤A=0⑥B≠0 ⑦不等于0⑧公因式⑨公因式⑩同分母①最高次幂 心荒®号·B告装±架®号 【自主复习·方法提炼】 1.解：(1)B (2)一1不等于一1的全体实数 (3)由题意可得2m +7<0, :m>0,支 m<0, 解得-1<m<0. m+1<0m+1>0, 2224 (4)y=A m+1m+1' 2 ,'m为整数，.正整数y为4或2或1. (5)A一B≥0，理由如下： A-B=m寸1-2m=m+2m+1-4m-m-1》 2m+1 2(m+1) 2(m+1) 'm>0, ∴.m+1>0,(m-1)2≥0， Cm-1)2 “2(m+1≥0，即A-B≥0. 6原或=(n十n2）生2 2m+1 =4+2m.m+1_2m m+1 2m+1 =2十mm十1 2m =(m+2)(m+1)-2m m+1 =m2+3m+2-2m m+1 =m2+m+2 m+1 变式：A 2.解：原式=2-0÷a2-1-3 a-1 a-1 =2-a,a-1 a-1a2-4 =2 当a=3时，愿式=一中2=- 变式1：解：当a=0时，原式=一合（答案不唯-） 变式2：解：()由题意，得A=告·千+22z x2-1 奇+”+-出 x-1 ②当=5时，告-2中-号 4 第二模块方程（组）与不等式（组） 第5讲一次方程（组）及其应用 【河北中考·考点梳理】 ①数（或式子）②c③0④bc⑤≠0⑥一个⑦1 ⑧整式⑨最小公倍数⑩变号①ax=b(a≠0)②系数 B两④1⑤两⑥公共解⑦消元⑧代入©加减 ④二元 【自主复习·方法提炼】 1.解：(1)甲同学在去分母时，等号右侧没有乘6；乙同学在去 括号时，括号内的符号没有变号；戊同学将未知数系数化 为1时出现错误，方程两边应该同时除以一3. ,这个“接力游戏”中计算错误的同学有甲、乙、戊。 (2)1-23r=1, 2 3 去分母，得3(x十1)-2(2-3x)=6, 去括号，得3x十3一4+6x=6, 移项，得3x十6x=6一3十4， 合并同类项，得9x=7, 系数化为1，得。=日 变式1：A变式2：A 2.解：(1)加减 (2)x-y=4y=x-4☒x十y=-8 (3)/x-y=4,① 3x十y=-8,② ②十①，得4x=一4， 解得x=一1， 把x=一1代入①，得-1-y=4, 解得y=一5， 方程组的解是 /x=-1, y=-5. (4)设“☒”为a, x,y互为相反数， .把x=一y代入x-y=4,得-y-y=4, 解得y=-2, 则x=2, 方程组的解是 /x=2, y=-2, 代入ax十y=-8,得2a-2=-8, 解得a=一3， 即原题中“☒”是一3. 变式1：C 变式2：B 变式3：解：(1)5-3[解析]③×3-①×2，得y=-3, 把y=-3代入①，得3x-12=3, 解得x=5, (2)①+②，得4x+6y=5一3m, 即2(2x+3y）=5-3m,∴2x+3y=5-,3m, 2 2z十3y=1,5-,3m=1,解得m=1. 2 3.解：1)①210+x2110+x2110-x2110-2 106 105 ②根据题意，得210+工-210-二，解得x=10,这辆 106 105 货车的长度为10m. ③货车的平均速度为211010=20m/g,20m/s=72km/h 106 ,60<72<80,.这辆货车是按规定的速度行驶的. (2)①设A商品的标价为x元/件，B商品的标价为 y元/件. 6x+5y=980, 依题意，得{ 3x+7y=940, x=80, 解得 (y=100. 答：A商品的标价为80元/件，B商品的标价为100元/件. ②设商场是打m折出售这两种商品的. 依题意，得(80×9+100×8)×0-912，解得m=6. 答：商场是打六折出售这两种商品的 ③设购买A商品a件，B商品b件， 依题意，得(80a+106)X0.6=960,a=20-号6， 又a,b均为正整教心6=4 (a=15,.(a=10,,a=5, 或 或 b=8 b=12, 共有3种购买方案。 方案一：购买A商品15件，B商品4件； 方案二：购买A商品10件，B商品8件； 方案三：购买A商品5件，B商品12件， 第6讲分式方程及其应用 【河北中考·考点梳理】 ①未知数②整式③最简公分母④检验⑤去分母 ⑥0⑦0⑧无解⑨无解⑩所列分式方程 【自主复习·方法提炼】 1解：(1方程整理，得产=2+25去分#，得x=2(x 3)十5，解得x=1.经检验，当x=1时，x一3≠0. ∴.分式方程的解为x=1. (2)设原题中“◆”是a.方程整理，得0=2十”3去分母， 得0=一6十a,解得a=6,∴.“●”是6. (3)设原题中“◆”是b. 方程整理，得兰3=2十名 去分母，得x=2(x一3)十b,由分式方程无解，得x=3. 把x=3代入整式方程，得b=3,.原题中“◆”是3. (4)方程两边同乘x一3，得x=2(x一3)十m,解得x=6一m. :这个方程吾3=2-3的解为正数，6一m>0显 6-m卡3，解得m<6且m≠3. (5)3或4或0 变式：D 2.解：(1)设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为1.5x千 米/时，由题意可列方程： 44-20 x1.5x60 解得x=4,经检验，当x=4时，1.5x≠0， ∴.x=4是原方程的解且符合题意.1.5×4=6（千米）.