第3讲 整式及因式分解-【夺冠百分百】2026年中考数学冲刺精讲册（河北专用）

第3讲整式及因式分解 【河北中考·考点梳理】 ①数②字母③数字④所有⑤最高项⑥相同 ⑦指数⑧相同⑨相反⑩a+n①amN②am ③abn④指数⑤ma+mb十mc⑥am十an十bm十bm ⑦a2-b2⑧a2士2ab十b2四同底数幂④相加④整式 的积②m(a+b+c)⑧(a+b)(a-b)@(a土b)2 【自主复习·方法提炼】 1.C2.C3.D4.D 5,解：1)2 5 (2)单项式：2y,8a,亭 1 多项式：x-2x3y+1,-a3b2+5ab-a,4x2十2xy,2x3y 4y3+5x2-1. (3)多项式2x3y-4y3+5x2-1的项依次为2x3y,-4y3, 5x2,-1. (4)4-4-1 (5)由题意，可知x十1=0，y一2=0， 解得x=一1，y=2, 把x=-1,y=2代入2x3y-4y3+5x2-1,得 2x3y-4y3+5x2-1 =2×(-1)3×2-4×23+5×(-1)2-1 =2×(-1)×2-4×8+5×1-1 =-4-32+5-1 =-32. (6):关于x,y的多项式x“y2一xy2十x2y一3的次数与多 项式2x3y-4y3十5x2一1的次数相同，故知关于x,y的多 项式xy2一xy2十x2y一3的次数为4， .a十2=4，则a=2. 多项式x“y2-xy2十xy一3的常数项为b, .b=-3. 关于x,y,之的单项式一2xy之的次数是c,系数为d, ∴.c=3+1+1=5,d=-2. '.b(a-c)+d =-3×(2-5)+(-2) =7. 变式：0或8 第4讲分式 【河北中考·考点梳理】 ①整式②字母③B≠0④B=0⑤A=0⑥B≠0 ⑦不等于0⑧公因式⑨公因式⑩同分母①最高次幂 心荒®号·B告装±架®号 【自主复习·方法提炼】 1.解：(1)B (2)一1不等于一1的全体实数 (3)由题意可得2m +7<0, :m>0,支 m<0, 解得-1<m<0. m+1<0m+1>0, 2224 (4)y=A m+1m+1' 2 ,'m为整数，.正整数y为4或2或1. (5)A一B≥0，理由如下： A-B=m寸1-2m=m+2m+1-4m-m-1》 2m+1 2(m+1) 2(m+1) 'm>0, ∴.m+1>0,(m-1)2≥0， Cm-1)2 “2(m+1≥0，即A-B≥0. 6原或=(n十n2）生2 2m+1 =4+2m.m+1_2m m+1 2m+1 =2十mm十1 2m =(m+2)(m+1)-2m m+1 =m2+3m+2-2m m+1 =m2+m+2 m+1 变式：A 2.解：原式=2-0÷a2-1-3 a-1 a-1 =2-a,a-1 a-1a2-4 =2 当a=3时，愿式=一中2=- 变式1：解：当a=0时，原式=一合（答案不唯-） 变式2：解：()由题意，得A=告·千+22z x2-1 奇+”+-出 x-1 ②当=5时，告-2中-号 4 第二模块方程（组）与不等式（组） 第5讲一次方程（组）及其应用 【河北中考·考点梳理】 ①数（或式子）②c③0④bc⑤≠0⑥一个⑦1 ⑧整式⑨最小公倍数⑩变号①ax=b(a≠0)②系数 B两④1⑤两⑥公共解⑦消元⑧代入©加减 ④二元5.(2025河北保定二模)已知m=√3-2，n= (2)若二次根式√c一a有意义，则c与a的 √5+2，则√m2+n2+2= 大小关系为 6.先观察下列等式，再回答问题： (3)图中四边形CBOD和四边形EOAF均 为正方形，且面积分别为32和18. @1++-1+}-中1 ①OD= ,OE= ,DE- ②1+安+子=1+号2中1 ②矩形DEFG的面积为 ®1++0=1+号3=12 ③从矩形DEFG中，最多能截出几个长为 √5，宽为√2的矩形？ (1)请按照上面各等式反映的规律，试写出 C D 用n的式子表示的等式： 2+++++++ 0 +++ 7.如图所示，数轴上的点A,B,O对应的实数 分别为a,b,0. (1)化简：√a= = 第3讲 整式及因式分解 【2022课标要求】 1.借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义. 2.能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；能根据特定的问题查阅资料，找到所 需的公式. 3.会把具体数代入代数式进行计算. 4.了解整数指数幂的意义和基本性质. 5.理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则；能进行简单的整式加减运算，能进行简 单的整式乘法运算（多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法）. 6.理解乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2,(a土b)2=a士2ab+b,了解公式的几何背景，能利用 公式进行简单的计算和推理. 7.能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数为正整数）. 8.了解代数推理. 河北中考·考点梳理 考点一、代数式☆重点 1.代数式：用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连 接起来的式子，单独的一个①或一个② 也是代数式， 9 2.代数式的值：用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果. 3.代数式求值的方法：直接代入法和整体代入法， 考点二、整式的有关概念 定义：数或字母的积（单独的一个数或一个字母也是单项式） 单项式系数：单项式中的③ 因数 1.整式 次数：一个单项式中，④ 字母的指数的和 定义：几个单项式的和 多项式 (次数：多项式里，次数⑤ 的次数 2.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也⑥ 的项.几个常数项也是同类项， 温馨提示：(1)单项式的次数是指所有字母的指数的和，不包括系数中出现的指数，如2无y 的次数是6而不是9；(2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关 、 考点三、整式的有关运算☆重点 运算 性质或法则 合并同类项法则 把同类项的系数相加，字母连同它的⑦ 不变 括号外的因数是正数，去（添）括号后原括号内各项的符号与 整式的加减 去（添）括号法则 原来的符号⑧ :括号外的因数是负数，去（添）括号 后原括号内各项的符号与原来的符号⑨ 幂的运算 同底数幂的乘法 am·a"=⑩ 同底数幂的除法 am÷a”=① (a≠0) (m,n为正整 幂的乘方 (am)"=② 数，且m>n) 积的乘方 (ab)n=® 把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里 单项式乘单项式 含有的字母，则连同它的④ 作为积的一个因式 单项式乘多项式 m(a+b+c)=⑤ 整式的 (a+b)(m+n)=⑤ 乘法 平方差公式：(a十b)(a-b)=① 多项式乘多项式 完全平方公式：(a士b)2=①⑧ 常用的恒等变形：a2十=(a十b)2-2ab=(a一b)2十2ab;(a b)2=(a+b)2-4ab;(-a-b)2=(a+b)2;(-a十b)2=(a-b)2 单项式除 把系数与⑨ 分别相除作为商的因式，对于只在被除 整式的 以单项式 式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式 除法 多项式除 先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的 以单项式 商四 失分警示：(1)不要把同底数幂的乘法和整式的加减法混淆；(2)不要把(a)”和a”·a”混淆； 3)整式的加减运算，若括号前是“”，去括号时，一定要牢记括号里各项都要改变特号 10 考点四、因式分解☆重点 定义 把一个多项式化成几个@ 的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解 提公因式法 ma十mb+mc=@ 方法 a2-b2=⑧ 公式法 a2士2ab+b2=@ 两项且符 观察有提出公 观察 号相反平方差 检查 步骤 是否 因式 剩余项 公式 是否 有公 没有 观察 分解 因式 三项 完全平 多项式 方公式 彻底 温馨提示：因式分解的结果必须是以乘积的形式表示：①每个因式都必须是整式，每个因式的 次数不高于原来的多项式的次数；②每个因式中不能再有公因式；③因式分解与整式乘法是 互逆运算，可以用整式的乘法运算验证因式分解的正误， 自主复习·方法提炼 1.若飞为正整数，则(k2)3表示的是…( 平方差公式的有 A.3个相加 B.2个3相加 C.3个k相乘 D.5个k相乘 2.（2025河北石家庄二模)下列计算过程不 成立的是…（ 图① A.x+2x-3x=(1+2-3)x B.-2xy-(-2x+y)=-2xy+2x-y C.(x-y)2=x2-y2 D.2x·2x·2x·…·2x=2”x" 图② n个 3.（2025河北保定竞秀区一模)若算式 552×17一45×17的结果为整数，则整数 ①② ② b -a- n的值不可能是 ) 图③ A.100 B.50 C.17 D.3 h 4.如图，阴影部分是边长为a的大正方形中 剪去一个边长为b的小正方形后所得到的 图形，将阴影部分通过割、拼的方式形成新 图④ 的图形，给出四种割拼方法，其中能够验证 A.1个 B.2个C.3个D.4个 11 5.有以下代数式：2xy,x-2xy十1,8a, 的单项式一2x3y之的次数是c,系数为d,求 b(a-c)+d的值. a+ab-a4xx+2ty,2 4y3+5x2-1. (1)方x少的系数是 ,次数是 (2)将上面的代数式分别填入所属的圈中； 易错警示 多项式中次数最高的项的次数叫 做多项式的次数.切勿认为多项式的次 单项式 多项式 数是各项系数之和 (3)指出多项式2x3y-4y3+5x2-1的项； 变式：（逆向思维）若多项式xym-m十(n (4)(3)中多项式的次数是 ,三次 2)x2y2+1是关于x,y的三次多项式，则 项的系数是 ,常数项是 mn= (5)若|x+1|+|y一2=0，求(3)中多项式 通用通法 的值； 根据整式有关概念的内涵和外延 (6)已知关于x,y的多项式x“y2-xy2+ 进行命题的判断或根据定义列方程或 x2y-3的次数与多项式2x3y-4y3+5x2 不等式进行求解. 一1的次数相同，常数项为b,关于x,y,之 第4讲 分式 【2022课标要求】 1.了解分式和最简分式的概念， 2.能利用分式的基本性质进行约分和通分. 3.能对简单的分式进行加、减、乘、除运算. 河北中考，考点梳理 考点一、分式的概念 1.分式的定义：一般地，如果A,B表示两个① ,并且B中含有② ,那么式子合叫做 分式分式会中，A叫做分子，B叫做分母。 易错警示：判断一个代数式是不是分式要看化简前的式子，例如：正，工一 x2x2-1 都是分式 12