第2讲 二次根式-【夺冠百分百】2026年中考数学冲刺精讲册（河北专用）

第2讲 二次根式 【2022课标要求】 1.了解二次根式、最简二次根式的概念. 2.了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算. 3.能用有理数估计一个无理数的大致范围. 河北中考，考点梳理 考点一、二次根式的有关概念 1.二次根式：形如① 的式子. 2.二次根式有意义的条件是② 3.最简二次根式：(1)被开方数不含③ ;（2)被开方数中不含能开得尽方的 ④ 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中 不含⑤ 如5是最筒三次根式，V20,V2a,合，方都不是最简三次根式 考点二、二次根式的性质 (√a)2=⑥ (a≥0) 基本性质 (a(a≥0)， √a-lal= -a(a<0) 积的算术平方根 √ab=√a·√b(a≥0，b≥0) 商的算术平方根 a=(a≥0，b>0) 失分警示：化简a不要忽略a<0的情况，误认为√a三a. 考点三、二次根式的运算☆重点 二次根式的加减 先将各根式化成⑦ 二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并 二次根式的乘法 √a·√b=⑧ (a≥0，b≥0) 二次根式的除法 a=⑨ (a≥0，b>0) 二次根式的混合运算 先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的 温馨提示：()实数运算中的运算律（交换律、结合律、分配律）在三次根式的运算中仍然适 用；(2)进行二次根式的运算时，结果一定要化为最简二次根式或整式 7 拓展：1. (a>0). aa·a a a+6 2 a士 (a≥0，b≥0，且a≠b) a(a (aB) a-b 考点四、二次根式的估算 1.一般先对根式进行平方，如(7)2=7. 2.找出平方后所得数相邻的两个完全平方数，如4<7<9. 3.对以上两个整数开方，如√4=2，√9=3. 4.这个根式的值在这两个相邻整数之间，如2<√7<3， 自主复习·方法提炼 1.(2025河北秦皇岛一摸)若a=√13，b=3, 3.函数y= xo 有意义，则x…( 估计2的值在 √x+I ……( A.有最小值 B.有最大值 A.0和1之间 B.1和2之间 C.可为0 D.不可为一1 C.2和3之间 D.3和4之间 变式：（变换题设)(1)若x,y为实数，且x2 变式：（变化设问方式）如果5一√5的小数部 √y-5+√5-y+9,则x十y的值为 分为a,5一√5的整数部分为b,则a= (2)若实数a满足|99-a|+√a-100=a, ,b= 则a十99的值为 通用通法 (3)已知实数a,b满足a= 二次根式的估算 √B-9+V9-F+6,则1a-2b-√12a6 找出与平方后 b-3 先对二次 所得的数字相 的值为 根式进行 通用通法 邻的两个开得 平方运算 二次根式的被开方数必须是非负数， 方法 尽方的整数 若代数式中含有多个二次根式，则每一个 对这两个 确定二次根式在 二次根式的被开方数都要满足这一条件； 整数进行→哪两个连续整数 若是分式与二次根式结合的形式，不但要 开方运算 之间 保证二次根式的被开方数是非负数还要 满足分式的分母不等于0；若式子中含有 2.(2025河北邢台内丘县摸拟)下列计算正 零指数暴或负整数指数幂，还要保证零指 确的是…( 数幂或负整数指数幂的底数不等于O. A.2√3+2√2=25 B.√18÷√2=3 4.(2025河北石家庄桥西区一模)已知k √2(7+√)(7一√)，则的值为…( ) C.5√3×23=10√3 A.3√2 B.4 D- C.7√2 D.42 5.(2025河北保定二模)已知m=√3-2，n= (2)若二次根式√c一a有意义，则c与a的 √5+2，则√m2+n2+2= 大小关系为 6.先观察下列等式，再回答问题： (3)图中四边形CBOD和四边形EOAF均 为正方形，且面积分别为32和18. @1++-1+}-中1 ①OD= ,OE= ,DE- ②1+安+子=1+号2中1 ②矩形DEFG的面积为 ®1++0=1+号3=12 ③从矩形DEFG中，最多能截出几个长为 √5，宽为√2的矩形？ (1)请按照上面各等式反映的规律，试写出 C D 用n的式子表示的等式： 2+++++++ 0 +++ 7.如图所示，数轴上的点A,B,O对应的实数 分别为a,b,0. (1)化简：√a= = 第3讲 整式及因式分解 【2022课标要求】 1.借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义. 2.能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；能根据特定的问题查阅资料，找到所 需的公式. 3.会把具体数代入代数式进行计算. 4.了解整数指数幂的意义和基本性质. 5.理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则；能进行简单的整式加减运算，能进行简 单的整式乘法运算（多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法）. 6.理解乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2,(a土b)2=a士2ab+b,了解公式的几何背景，能利用 公式进行简单的计算和推理. 7.能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数为正整数）. 8.了解代数推理. 河北中考·考点梳理 考点一、代数式☆重点 1.代数式：用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连 接起来的式子，单独的一个①或一个② 也是代数式， 92026中考冲刺·数 (夹页部分)精讲册 第一模块数与式 第1讲实数 【河北中考·考点梳理】 ①有②无③不④原点⑤正方向⑥单位长度 ⑦-一⑧大于⑨符号⑩0①a②0⑧-a④>≥ ⑤1，⑥1⑦士1®0©1@10@原数的整数位数减 1②非零数⑧右四左⑤四舍五人西0⑦0,1 ⑧0，士1四士4团4①4②右3左④小5加 ©大⑦大⑧小国0国正④负®0国1国 用-1®1®号®竖⑧汽@5 2 @1®/3 【自主复习·方法提炼】 1.C2.D变式：D3.B 4解：)若被手选挡的数是2， 则原式=-18×(3-2)-(2) =-18×号-18×(-合）-2 =-6+9-2 =1, 这个算式的值为1. (2)设被遮挡的数为x, 由题意，得-18×（号-x)-(2)>0, 解得>音， 被遮挡的数的最小整数值为1. 5.解：(1)-14 (2)-√2 DA C B 43-202345678 (3)-√2<-1<√2<4(d<a<c<b). (4)-√2 (6)-aw+6+(合）厂+csin45-d =-(-1)2s++(）+2sin45-1(-②)到 =1+2+16+1-2 =18. (6)8≈0.06=6X10. 学参考答案（配赠） 第2讲二次根式 【河北中考·考点梳理】 ①√a(a≥0)②被开方数大于等于0③分母④因数或 因式⑤二次根式⑤a⑦最简⑧V瓜⑨√号 【自主复习·方法提炼】 1.A变式：3-√522.B3.D 变式：(1)8或2(2)10000(3)-1 解析：(1)x2=√y-5+√5-y+9, 由二次根式有意义，可知y一5≥0且5一y≥0， y≥5且y≤5， ∴.y=5, .x2=9, x=士3 当x=3时，x十y=3+5=8; 当x=一3时，x十y=一3十5=2. (2),|99-a+√/a-100=a, ∴.a-100≥0， .a≥100， ∴.方程99-a+√Ja-100=a可化为a-99+√a-100=a, ∴.√/a-100=99, .a-100=992, 解得a=9901, ∴.a+99=9901+99=10000. (3》要使4=√+9=万+6有意义，必须-9≥0 b-3 且9-b≥0且b-3≠0， 解得b=一3， a=0+0+6=-1, -3-3 则|a-2bl-√12ab =|-1-2×(-3)|-√/12×(-1)×(-3) =|-1+61-√36 =5-6 =-1. 4.D5.4 6.+京+a十1a中而 1 1 28 7.解：(1)a-b (2)c≥a (3)①4√23√2√2②6 ③.3√2÷√3=√6,2<√/6<3， .最多能截出2个长为√3，宽为√2的矩形. 第3讲整式及因式分解 【河北中考·考点梳理】 ①数②字母③数字④所有⑤最高项⑥相同 ⑦指数⑧相同⑨相反⑩a+n①amN②am ③abn④指数⑤ma+mb十mc⑥am十an十bm十bm ⑦a2-b2⑧a2士2ab十b2四同底数幂④相加④整式 的积②m(a+b+c)⑧(a+b)(a-b)@(a土b)2 【自主复习·方法提炼】 1.C2.C3.D4.D 5,解：1)2 5 (2)单项式：2y,8a,亭 1 多项式：x-2x3y+1,-a3b2+5ab-a,4x2十2xy,2x3y 4y3+5x2-1. (3)多项式2x3y-4y3+5x2-1的项依次为2x3y,-4y3, 5x2,-1. (4)4-4-1 (5)由题意，可知x十1=0，y一2=0， 解得x=一1，y=2, 把x=-1,y=2代入2x3y-4y3+5x2-1,得 2x3y-4y3+5x2-1 =2×(-1)3×2-4×23+5×(-1)2-1 =2×(-1)×2-4×8+5×1-1 =-4-32+5-1 =-32. (6):关于x,y的多项式x“y2一xy2十x2y一3的次数与多 项式2x3y-4y3十5x2一1的次数相同，故知关于x,y的多 项式xy2一xy2十x2y一3的次数为4， .a十2=4，则a=2. 多项式x“y2-xy2十xy一3的常数项为b, .b=-3. 关于x,y,之的单项式一2xy之的次数是c,系数为d, ∴.c=3+1+1=5,d=-2. '.b(a-c)+d =-3×(2-5)+(-2) =7. 变式：0或8 第4讲分式 【河北中考·考点梳理】 ①整式②字母③B≠0④B=0⑤A=0⑥B≠0 ⑦不等于0⑧公因式⑨公因式⑩同分母①最高次幂 心荒®号·B告装±架®号 【自主复习·方法提炼】 1.解：(1)B (2)一1不等于一1的全体实数 (3)由题意可得2m +7<0, :m>0,支 m<0, 解得-1<m<0. m+1<0m+1>0, 2224 (4)y=A m+1m+1' 2 ,'m为整数，.正整数y为4或2或1. (5)A一B≥0，理由如下： A-B=m寸1-2m=m+2m+1-4m-m-1》 2m+1 2(m+1) 2(m+1) 'm>0, ∴.m+1>0,(m-1)2≥0， Cm-1)2 “2(m+1≥0，即A-B≥0. 6原或=(n十n2）生2 2m+1 =4+2m.m+1_2m m+1 2m+1 =2十mm十1 2m =(m+2)(m+1)-2m m+1 =m2+3m+2-2m m+1 =m2+m+2 m+1 变式：A 2.解：原式=2-0÷a2-1-3 a-1 a-1 =2-a,a-1 a-1a2-4 =2 当a=3时，愿式=一中2=- 变式1：解：当a=0时，原式=一合（答案不唯-） 变式2：解：()由题意，得A=告·千+22z x2-1 奇+”+-出 x-1 ②当=5时，告-2中-号 4 第二模块方程（组）与不等式（组） 第5讲一次方程（组）及其应用 【河北中考·考点梳理】 ①数（或式子）②c③0④bc⑤≠0⑥一个⑦1 ⑧整式⑨最小公倍数⑩变号①ax=b(a≠0)②系数 B两④1⑤两⑥公共解⑦消元⑧代入©加减 ④二元