第1讲 实数-【夺冠百分百】2026年中考数学冲刺精讲册（河北专用）

第一模块 数与式 食块体系相国 按定义分 有理数、无理数 分类 按性质分正实数、0、负实数 实数 相关概念 数轴、相反数、绝对值、倒数 加法运算 减法运算 运算 乘法运算 除法运算 乘方运算 开平方平方根、算术平方根 开方运算 应用 开立立方根 科学记数法 概念单项式、多项式 合并同类项 整式 加减运算 去括号 幂的运算 运算 提公因式法 乘法运算日 乘法公式因式分解 公式法 除法运算 概念 代数式 分式 性质 应用 约分、通分 运算 加减乘除 二次根式 概念（双重非负性）、运算 第1讲 实数 【2022课标要求】 1.有理数 (1)理解负数的意义；理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小. (2)借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数和绝对值的方法. (3)理解乘方的意义， (4)掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）；理解有理数的运算 律，能运用运算律简化运算， (5)能运用有理数的运算解决简单问题. 2.实数 (1)了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实数与数轴上的点一一对应. (2)能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小. (3)能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值. (4)了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根： 1 (5)了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算 求千以内完全立方数（及对应的负整数）的立方根，会用计算器计算平方根和立方根， (6)了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近 似计算. (7)会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）， 河北中考·考点梳理 考点一、实数的分类及正负数的意义 1.实数的分类 (1)按实数的定义分类 (2)按实数的性质分类 整数)总可以写成①限 正有理数 正实数 有理数 小数或② 限循环 正无理数 实数 分数小数的形式 实数{零 无理数：无限③ 循环小数 负有理数 负实数 负无理数 方法：无理数的判断 (1)判断一个数是不是无理数，不要只看形式，而要看其化简结果是不是无限不循环小数， (2)常见的几种无理数.①根号型：如√2,5等开方开不尽的数；②三角函数型：如si60°， tan30°等；③构造型：如0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）等；④化简后 含π的数：如π1等 2.正负数的意义：一般地，对于具有相反意义的量，若规定其中一个量为正，并在表示这个量的 前面加上符号“十”，则把与它意义相反的量规定为负，并在表示这个量的前面加上符号 “一”.如规定向东为“十”，则向西为“一”。 考点二、实数的有关概念和性质☆重点 1.数轴：规定了④ 、⑤ 和⑥ 的直线： (1)三要素：原点、正方向和单位长度， 失分警示：(1)求数轴上两点间的距 (2)实数与数轴上的点⑦ 对应 离，且有动点时，要分情况讨论 (3)数轴上右边点表示的数⑧ 左边点表示的数。 (2)到数轴上某一点距离相等的点 (4)数轴上两点间的距离：AB=|a一b. 有两个，分别位于该点两侧。 原点正方向 ↑B -3a-2-1061234 单位长度 2.相反数：只有⑨ 不同的两个数叫做互为相反数 性质：(1)一般地，a和一a互为相反数.特别地，0的相反数是0. (2)若a,b互为相反数，则a十b=⑩ 一8=-10≠0. 2— 3.绝对值：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值. ① (a是正数)， 温馨提示：绝对值等于其本 性质：(1)川a=@ (a是0)， 身的数是非负数；绝对值等 ⑧ (a是负数) 于其相反数的数是非正数. (2)绝对值具有非负性，即|a④ 0. (3)相反数与绝对值的关系：①互为相反数的两个数的绝对值相等； lal 161 ②若a=|bl,则a=b或a=-b. a 0b 4.倒数：乘积是⑤的两个数互为倒数 (1)性质：若a,b互为倒数，则ab=⑥ (2)特殊情况：倒数是其本身的数是⑦ ,⑧ 没有倒数. 5.科学记数法：把一个数表示成a×10的形式（其中a|大于或等于⑨ ,且|a小于@ n 为整数)，使用的是科学记数法. (1)n的确定（设原数为x):当|x|≥10时，n等于① ;当0<|x|<1 时，n为负整数，n等于原数左起第一个② 前所有零的个数（包含小数点前的零）. (2)科学记数法的还原：当n>0时，a的小数点向图移动n位；当n<0时，a的小数点向 四移动|n位，不够的数位用0补齐 温馨提示：(1)用科学记数法表示含有计数单位的数字时，应先把计数单位转换为数字再用 科学记数法表示，常用的计数单位有1亿=1×108；1万=1×104等. (2)将分数表示成科学记数法的形式：先将分数化成小数，再表示成科学记数法的形式，例： 1 10000=0.0001=1×104 6.近似数：接近实际的数或在计算中按要求所取的与某个准确数接近的数，常采用⑤ 法得到一个数的近似数.一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到那一位. 7.平方根、算术平方根、立方根 平方根 算术平方根 立方根 实数a(a≥0)的算术 定义 实数(a≥0)的平方根为士√a 平方根为√a,0的算 实数a的立方根为a 术平方根为0 被开方数 大于或等于0 任意实数 正数的平方根有两个，且互 只有一个，符号与被开方 个数 为相反数；负数没有平方根； 只有一个（非负数） 数相同 0的平方根是0 平方根等于本身的数是 算术平方根等于其本 立方根等于其本身的数是 特殊情况 西 身的数是⑦ ⑧ 16的算术平方根为 举例 16的平方根为②四 64的立方根为@ ③0 温馨提示：正数a的平方根是土a,算术平方根是a. 8.非负数：在实数范围内，正数和0统称为非负数，常见的非负数有： (l)任意实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0； (2)任意实数a的偶次方是非负数，即a2m≥0，n为正整数； (3)任意非负数a的算术平方根是非负数，即√a≥0(a≥0). 考点三、实数的大小比较 1.数轴比较法：数轴上两个点表示的数，②边点表示的数总比③边点表示的数大. 2.性质比较法：(1)正数>0>负数；(2)两个负数比较大小，绝对值大的反而④ 3.差值比较法：设a,b是任意两个实数，则a一b>0时，得a>b;a一b<0时，得a<b;a一b=0 时，得a=b. 4.平方比较法：a2>b台→a>b(a>0,b>0)(主要应用于无理数估值及含无理数的数的大小 比较). 5.立方比较法：a3>b3台a>b. 6.作商法：若a>0,b>0,则①号>1台a>b:②号=1台a=b;③号<1台a<b. 温馨提示：()若一组数据中有正数、0和负数，判断最大的数直接在正数中寻找，判断最小 的数直接在负数中寻找；(2)实数比较大小时，若涉及运算，则先计算再比较 考点四、实数的运算☆重点 1.运算法则 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相⑤ 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较® 的加数的符号，并用较 加法法则 团 的绝对值减去较⑧的绝对值；互为相反数的两个数相加得四 个数同0相加，仍得这个数 减法法则 减去一个数，等于加这个数的相反数：a一b=a十（一b) 两数相乘（除），同号得④①，异号得④，并把绝对值相乘（除）；任何数 乘除法则 与0相乘，都得@；0除以任何一个不等于0的数，都得0 温馨提示：几个不是0的数相乘，当负因数的个数是奇数时，积为负数；当负因数的个数是偶 数时，积为正数 2.实数的运算律 (1)加法交换律：a十b=b+a. (2)加法结合律：(a十b)十c=a十(b+c). 失分警示：(b-c)÷a=b÷a-c÷a(a≠0) (3)乘法交换律：ab=ba. 的本质是乘法对加法的分配律，是正确的； (4)乘法结合律：(ab)c=a(bc). a立(b一c)不能用分配律， (5)分配律：a(b十c)=ab十ac. 3.常见实数运算 乘方 a·a·…·a=a”表示n个a相乘（注意a十a十…十a=na表示n个a相加） n个 n个 (1)a°=③ (a≠0)；a1=④ （a0)a=是a0,为正 幂的运算 整数)； (2)一1的奇次方为一1，一1的偶次方为1， 即(-1)2m+1=⑤ ;(-1)2m=⑥ sin30°=cos60°=4⑩ ,sin45°=cos45°=④⑧ ,sin60°= 特殊角的三 c0s30°=④⑨ ,tan30°=⑤@ ,tan45°=① 角函数值 tan60°=⑤@ 4.实数的运算顺序 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的. 5.简便运算 (1)凑整法：利用交换律、结合律和分配律把算式中的合适小数或分数凑成整数. 凑整 8×号×0,125×是=8x0.12阿×修×星上3 凑整 99×3-99×3-99×(G-3)99 凑整 (2)凑十、凑百法：应用平方差公式或完全平方公式把个位不为0的整数凑成整十、整百、整 千数等. 凑整 凑整 1007×993=(1000+71000-7)=999951 101=(100+1=1002+2×100×1+1=10201 凑整 5 自主复习·方法提炼 1.（2025讨北邯郸校级三模)下列四个数中， (2)已知这个算式的结果是正数，求被遮挡 最小的数是 的数的最小整数值 A.-3 B.-(-2) c.(-) D.5 2.（2025河北邯郸武安市三模)墨迹覆盖了 等式“一4○2=一2”中的运算符号，则覆 盖的是 …… ) A.+ B.- 5.如图，在数轴上A,B,C三点对应的数分别 C.-或× D.十或÷ 为a,b,c,其中c=√2. 变式：（变换设问）下列算式中，与有理数 A CB 2相等的是四 -4-3-2-1012345678 (1)点A表示的数是 ,点B表示 A(-2)×号 B-(2x) 的数是 (2)若c+d=0,则d= ,在数轴上 C-2+号 D.-(2+) 找到表示数d的点D(保留作图痕迹)； 通用通法 (3)将a,b,c,d用“<”连接起来； 新课标要求“能运用有理数的运算 (4)在(1)(2)横线上填写的所有实数中，属 解决简单问题”，题目可以补充运算符号， 于无理数的是 考查运算过程、运算法则等来进行考查运 (5)在(2)的条件下，计算：-a225+√b+ 算能力，推理、分析问题的能力.一定要按 (分)2+csin45-d1; 照实数运算法则这一解题规律， (6)将(5)的计算结果的倒数精确到百分 3.（2025河北廊坊三河市一摸)若√99= 位，并用科学记数法表示。 m√11，√/100=n,则mn-m=…( A.-3 B.3 C.3√3 D.9 4.(2025河北邮郸摸拟)李老师在黑板上出 示了如图所示的一个算式：但是老师用手 遮挡了其中的一个数. (1)若被手遮挡的数是2，求这个算式 的值；2026中考冲刺·数 (夹页部分)精讲册 第一模块数与式 第1讲实数 【河北中考·考点梳理】 ①有②无③不④原点⑤正方向⑥单位长度 ⑦-一⑧大于⑨符号⑩0①a②0⑧-a④>≥ ⑤1，⑥1⑦士1®0©1@10@原数的整数位数减 1②非零数⑧右四左⑤四舍五人西0⑦0,1 ⑧0，士1四士4团4①4②右3左④小5加 ©大⑦大⑧小国0国正④负®0国1国 用-1®1®号®竖⑧汽@5 2 @1®/3 【自主复习·方法提炼】 1.C2.D变式：D3.B 4解：)若被手选挡的数是2， 则原式=-18×(3-2)-(2) =-18×号-18×(-合）-2 =-6+9-2 =1, 这个算式的值为1. (2)设被遮挡的数为x, 由题意，得-18×（号-x)-(2)>0, 解得>音， 被遮挡的数的最小整数值为1. 5.解：(1)-14 (2)-√2 DA C B 43-202345678 (3)-√2<-1<√2<4(d<a<c<b). (4)-√2 (6)-aw+6+(合）厂+csin45-d =-(-1)2s++(）+2sin45-1(-②)到 =1+2+16+1-2 =18. (6)8≈0.06=6X10. 学参考答案（配赠） 第2讲二次根式 【河北中考·考点梳理】 ①√a(a≥0)②被开方数大于等于0③分母④因数或 因式⑤二次根式⑤a⑦最简⑧V瓜⑨√号 【自主复习·方法提炼】 1.A变式：3-√522.B3.D 变式：(1)8或2(2)10000(3)-1 解析：(1)x2=√y-5+√5-y+9, 由二次根式有意义，可知y一5≥0且5一y≥0， y≥5且y≤5， ∴.y=5, .x2=9, x=士3 当x=3时，x十y=3+5=8; 当x=一3时，x十y=一3十5=2. (2),|99-a+√/a-100=a, ∴.a-100≥0， .a≥100， ∴.方程99-a+√Ja-100=a可化为a-99+√a-100=a, ∴.√/a-100=99, .a-100=992, 解得a=9901, ∴.a+99=9901+99=10000. (3》要使4=√+9=万+6有意义，必须-9≥0 b-3 且9-b≥0且b-3≠0， 解得b=一3， a=0+0+6=-1, -3-3 则|a-2bl-√12ab =|-1-2×(-3)|-√/12×(-1)×(-3) =|-1+61-√36 =5-6 =-1. 4.D5.4 6.+京+a十1a中而 1 1 28 7.解：(1)a-b (2)c≥a (3)①4√23√2√2②6 ③.3√2÷√3=√6,2<√/6<3， .最多能截出2个长为√3，宽为√2的矩形.