专项攻略六 三角形、四边形实线探究-【夺冠百分百】2026年中考数学冲刺精练册（河北专用）

中考冲刺数学 专项攻略六」 三角形、！ 类型1旋转问题 1.（2025江苏苏州)综合与实践 小明同学用一副三角板进行自主探究.如 图，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,在 △CDE中，∠DCE=90°，∠E=30°，AB= CE=12 cm. 【观察感知】 (1)如图1，将这副三角板的直角顶点和两条 直角边分别重合，AB,DE交于点F,求 ∠AFD的度数和线段AD的长；（结果保留 根号) 【探索发现】 (2)在图1的基础上，保持△CDE不动，把 △ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角 度，使得点A落在边DE上（如图2）： ①求线段AD的长；（结果保留根号） ②判断AB与DE的位置关系，并说明 理由. 图2 194 四边形实践探究10年6考) 2.(2024河北邯郸摸拟)如图1，已知D是等边 △ABC内一点，且BD=3,AD=4,CD=5. (1)求∠ADB的度数； 以下是甲、乙、丙三名同学的谈话： 甲：我认为这道题的解决思路是借助旋转， 我选择将△BCD绕点B顺时针旋转60°或 绕A逆时针旋转60°. 乙：我也赞成旋转，不过我是将△ABD进行 旋转。 丙：我是将△ACD进行旋转. 请你借助甲、乙、丙三名同学的提示，选择适 当的方法求∠ADB的度数； (2)若改成BD=6,AD=8,CD=10, ∠ADB= °，点A到BD的距离 为 类比迁移： (3)如图2，已知∠ABC=90°，AB=BC, BE=1,CE=√3，AE=√5，求∠BEC的 度数. 图2 第二部分河北日 类型2动点问题 3.（2024河北邯郸广平摸拟)在△ABC中， ∠ACB=45°.D(与点B,C不重合)为射线 BC上一动点，连接AD,以AD为一边且在 AD的右侧作正方形ADEF, (1)如果AB=AC,如图1，且点D在线段 BC上运动，试判断线段CF与BD之间的 位置关系，并证明你的结论 (2)如果AB>AC,如图2，且点D在线段 BC上运动，(1)中结论是否还成立，为什么？ (3)若正方形ADEF的边DE所在直线与 线段CF所在直线相交于点P,设AC= 4√2，BC=3,CD=x,求线段CP的长.（用 含x的式子表示)》 图2 4.(2025甘肃)四边形ABCD是正方形，E是 边AD上一动点（点D除外），△EFG是直 角三角形，EG=EF,点G在CD的延长 线上. (1)如图1，当点E与点A重合，且点F在边 BC上时，写出BF和DG的数量关系，并说 明理由； (2)如图2，当点E与点A不重合，且点F在 正方形ABCD内部时，FE的延长线与BA 考·专项攻略 中考冲刺数学 的延长线交于点P,如果EF=EP,写出AE 和DG的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在(2)的条件下，连接BF,写出 BF和DG的数量关系，并说明理由. G A(E 图1 图2 D 图3 类型3折叠问题 5.(2025山东)【图形感知】 如图1，在四边形ABCD中，已知∠BAD= ∠ABC=∠BDC=90°，AD=2,AB=4. (1)求CD的长； 【探究发现】 老师指导同学们对图1所示的纸片进行了 折叠探究。 在线段CD上取一点E,连接BE.将四边形 ABED沿BE翻折得到四边形A'BED',其 中点A',D'分别是点A,D的对应点， (2)其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点D'恰好落在边BC上，延长A'D'交 CD于点F,如图2，判断四边形DBA'F的 形状，并说明理由； 195 中考冲刺数学 ②乙：点A'恰好落在边BC上，如图3，求 DE的长； (3)如图4，连接DD'交BE于点P,连接 CP.当点E在线段CD上运动时，线段CP 是否存在最小值？若存在，直接写出；若不 存在，请说明理由 D A B 图1 图2 A 图3 图4 6.（2025四川眉山)综合与实践 【问题情境】下面是某校数学社团在一次折 纸活动中的探究过程. 【操作实践】如图1，将矩形纸片ABCD沿过 点C的直线折叠，使点B落在AD边上的点 B处，折痕交AB于点E,再沿着过点B的 直线折叠，使点D落在B'C边上的点D处， 折痕交CD于点F,将纸片展平，画出对应 点B',D'及折痕CE,B'F,连接B'E,B'C, D'F. 【初步猜想】(1)确定CE和B'F的位置关系 及线段BE和CF的数量关系； 创新小组经过探究，发现CE∥B'F,证明过 196 程如下： 由折叠可知∠DBF=∠CBF=号∠DBC, ∠ECB'=∠ECB=?∠BCB.由矩形的性 质，可知AD∥BC,∴.∠DBC=∠BCB', .① ,∴.CE∥B'F 智慧小组先测量BE和CF的长度，猜想其 关系为② 经过探究，发现验证BE和CF数量关系的 方法不唯一： 方法一：证明△AB'E≌△DCF,得到B'E= CF,再由BE=BE可得结论. 方法二：过点B'作AB的平行线交CE于点 G,构造平行四边形CFB'G,然后证B'G= BE可得结论. 请补充上述过程中横线上的内容； 【推理证明】(2)请你结合智慧小组的探究思 路，选择一种方法验证BE和CF的数量关 系，写出证明过程； 【尝试运用】(3)如图2，在矩形ABCD中， AB=6,按上述操作折叠并展开后，过点B 作B'G∥AB交CE于点G,连接D'G,当 △BDG为直角三角形时，求出BE的长. B B D D E 图1 图2(3)由条件可得≤分(80-.∴<9 在y=4x+1280中，y随x的增大而增大， x为整数， .当x=26时，该文具店获得利润最大，最大利润为1384元. 5.解：(1)设A型客车每辆载客量为x人，则B型客车每辆 载客量为(x一15)人， 根据题意，得600=450 xx-15,解得x=60, 经检验，x=60是所列方程的解，且符合题意， .x-15=60-15=45(人). 答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为 45人. (2)设租用A型客车m辆，则租用B型客车(10一m)辆， 根据题意，得60m+45(10一m)≥530， 解得m>≥9， 设本次研学活动学校的租车总费用为w元，则w=(3200 50m)m+3000×0.8(10-m)=一50m2+800m十24000， 800 “抛物线的对称轴为直线m=一2X二50=8， ∴.m≤8时，w随着m的增大而增大. m取正整数，且m≥， .当m=6时，0取得最小值，最小值为一50×62十800× 6+24000=27000(元). 答：本次研学活动学校的最少租车费用是27000元. 6解：1)由题意得，预点为（号8），即(6,8。 设抛物线的解析式为y=a(x-6)2+8(a≠0)， 代入，点(12,0)，得a(12-6)2+8=0, 解得a=一9， 2 抛物线的每折式为y=一号（红一6+80≤<12)。 (2)能安全通过，理由如下： 如图， 甲 A车 -12 由题意，得-号-号-3=2。 将x=2代入y=一 (x-6+8, 得y=-号×2-6加+8=智. 9-3.5=8>0.5 能安全通过. 7.解：(1)由题意得，抛物线的对称轴为直线x=80,顶点纵 坐标为60，.顶点坐标为(80,60). 设抛物线的函数解析式为y=a(x一80)2+60(a≠0)， 图象过原点， a(0-80)2+60=0,解得a=一320' 3 ÷y=品（x-80)2+60. (2)抛物线的形状不变，点(0,75)， 故第二次的函数图象可以看作由(1)的抛物线向上平移75 个单位长度得到的， 新的鹅物线的解桥式为y=一写品（红一80)十60+75 -30(x-80)+135, 当y=0时，品高x-802+135=0, 解得x1=200,x2=一40（舍去）， 故起跳点P与落地，点Q的水平距离OQ的长为200cm. (3)6cm.提示：设该平台的高度为kcm,由题意，设新的函 数解新式为y=一高x一80)P+60十， .'AB=57cm,BC=40cm,CD=48cm,仿青蛙机器人从 距离AB左侧80cm处的地面起跳， 由题意，仿青蛙机器人经过CD正上方3cm处，即抛物线 经过点(80十40,48十3)，即(120,51)， 3 把(128,51)代入y=320x-802+60+, 得51=一写品0（120-80)+60+，解得=6， 故该平台的高度为6cm. 专项攻略六三角形、四边形实践探究 1.解：(1)：在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB, .∠BAC=∠ABC=45. :在△CDE中，∠DCE=90°，∠E=30°， .∠CDE=60, ∴.∠AFD=∠CDE-∠A=60°-45°=15°. 在R△ABC中，AC=AB·sin∠ABC=12X5=6V2(cm, 2 在R△CDE中，CD=CE,anBE=12x9=45(cm, .AD=AC-CD=(6√2-4√3)cm. (2)①如图，过，点C作CG⊥DE,垂足为G. B A 在△CDG中，∠CGD=90°，∠CDE=60°，CD=4√3cm, ∴.DG=CD·cos∠CDE=2V3cm,CG=CD·sin∠CDE= 6 cm. 在△CGA中，∠CGA=90°，CA=6√2cm,CG=6cm, ∴.AG=√AC-CG=6cm, ∴.AD=AG+DG=(6+2√3)cm. ②AB⊥DE,理由如下： :在Rt△CGA中，∠CGA=90°，AG=CG=6cm, .∠CAG=∠ACG=45. 又.∠BAC=45°， .∠DAB=∠CAG+∠BAC=45°+45°=90°， .AB⊥DE. 2.解：(1)如图1，将△ABD绕点A逆时 针旋转60°，得到△CD'A, ..D'A=AD=4,BD=CD=3, ∠DAD=60°， .△ADD是等边三角形， .DD'=AD=4,∠ADD=60. 图 .'DD2+CD/2=42+32=52=CD2, .∠DD'C=90°， .∠ADB=∠AD'C=60°+90°=150. (2)1504[解析]如图1，将△ABD绕点A逆时针旋转 60°，得到△CD'A, .D'A=AD=8,BD=CD=6,∠DAD'=60°， ∴.△ADD'是等边三角形， '.DD'=AD=8,∠AD'D=60° :DD2+CD2=82+62=102=CD, .∠DD'C=90°， ./ADB=∠ADC=60°+90°=150°； 过点A作AH⊥BD交BD的延长线于点H, .∠AHB=90. ∠ADB=150°，∴∠ADH=30, AH=号AD=4,故点A到BD的距离为4， (3)如图2，把△CBE绕着点B逆 时针旋转90°，得到△BAE,连 接EE, ∴∠EBE是直角，BE=BE=1, AE=CE=√3， ∠AE'B=∠CEB, 图2 .EE2=12+12=2,∠BEE=∠BEE=45°. EE2=2,AE2=3,EA2=5, .EA2=EA2十EE2,△EEA是直角三角形， ∴.∠EEA=90°，.∠BEC=∠AEB=135°. 3.解：(1)CF⊥BD.证明如下： AB=AC,∠ACB=45°，∴.∠ABC=45°，∠BAC=90°. 由四边形ADEF为正方形，得AD=AF .'∠DAF=∠BAC=90°，.∠DAB=∠FAC, .△DAB≌△FAC(SAS),.∠ACF=∠ABD=45°， .∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°， .CF⊥BC,∴.CF⊥BD (2)AB>AC时，CF⊥BD的结论成主.理由如下： 如图1，过点A作GA⊥AC交BC于点G, ,∠ACB=45°，∴.∠AGD=45°，∴AC=AG 同理可证：△GAD≌△CAF. .∠ACF=∠AGD=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90°，即CF⊥BD. 图1 (3)过点A作AQ⊥BC,交CB的延长线于点Q. ①如图2，点D在线段BC上运动时， :∠BCA=45°，可求出AQ=CQ=4. .DQ=4-x,△AQD△DCP, 阳阳P0即-著+ QB C/D OBD 图2 图3 ②如图3，点D在线段BC的延长线上运动时， ∠BCA=45°，.AQ=CQ=4,.DQ=4+x. :CF⊥BD,∴∠P+∠PDC=90°. :∠PDC+∠ADQ=90°，∴.∠ADQ=∠P. :∠Q=∠PCD=90°，△AQD△DCP, 调0咒=7c=苦+红 4.解：(1)BF=DG,理由如下： "四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD,∠BAD=90 :△EFG是直角三角形，EG=EF, .∠FEG=90°， 当点E与点A重合时， 则∠FAG=90°=∠BAD, ∴.∠DAG=∠BAF=90°-∠DAF. 又.AB=AD,AG=AF, .△ADG≌△ABF(SAS),.BF=DG. (2)AE=DG,理由如下：四边形ABCD是正方形， .∠ADC=∠DAB=90°. :点G在CD的延长线上，FE的延长线与BA的延长线 交于点P, .∠PAE=∠EDG=90°， ∴.∠P+∠AEP=90° :∠FEG=∠DEF+∠DEG=9O°，∠AEP=∠DEF, 6 ∴∠P=∠DEG .EG=EF,EF=EP .'EG=EP. ∠PAE=∠EDG=90°， 在△APE和△DEG中，∠P=∠DEG, EP-GE, .△PAE≌△EDG(AAS), ∴.AE=DG. (3)BF=√5DG,理由如下： 由(2)可知：△PAE≌△EDG, ∴.AE=DG,AP=DE 作FH⊥AB于，点H, 则∠FHB=∠FHA=9O°=∠PAE, ∴.AE∥FH, 路 =1, .'PA=AH. PE=EF, .AE为△PHF的中位线， .'HF=2AE. .'AP=DE,PA=AH, .'DE=AH 又，AD=AB, ∴.AE=BH. 在Rt△BHF中，由勾股定理，得BF=√JHIF十B=√5AE, 又.AE=DG .BF=√5DG. 5.解：(1).∠BAD=∠ABC=∠BDC=90°， .AD∥BC, .∠ADB=∠DBC, '.△ADB∽△DBC, 品8 ∠BAD=90°，AD=2,AB=4, .BD=√22+4=2√5， 24 2√5CD' CD=45. (2)①四边形DBA'F是矩形，理由如下， 由折叠的性质，得∠A=∠A'=90°，∠ABD=∠A'BD'. '∠ABD+∠DBC=∠ABC=90°， .∠A'BD=∠A'BD'+∠DBC=90°. 又∠BDF=90°，BD>A'B, .四边形DBA'F是矩形. ②延长AD和A'D'相交于点Q,连接BQ, A 图1 由折叠的性质，得∠A=∠BA'D'=90°，∠ABD= ∠A'BD',∠EBD=∠EBD', ,点A恰好落在边BC上， .AB=A'B=4,∠ABA'=90°， ∴四边形ABA'Q是矩形 .AB=A'B=4, .四边形ABA'Q是正方形， :∠ABE=∠ABD+∠EBD=∠A'BD'+∠EBD= ∠ABE=合×90=45， 点E在对角线BQ上， ..DQ=AQ-AD=2, BC=BD+CD2=√/(2√5)2+(45)2=10. 四边形ABA'Q是正方形， .AQ∥CB, .△DQE∽△CBE, 器-器品=， DE-吉cD-2 3· (3)存在，线段CP的最小值为√85-√5.提示：由折叠的 性质，得∠EBD=∠EBD',BD=BD, BE是线段DD'的垂直平分线， ∴.∠BPD=90°， .点P在以BD为直径的⊙O上.连接OC,OP,如图2， D 4 图2 .CP≥OC-OP,即点P在OC上时，线段CP存在最 小值： OC=√OD+CD=√/(W5)2+(4√5)2=√85， 线段CP的最小值为√85-√5. 6.解：(I)①∠ECB=∠FB'C②BE=CF[解析]由折叠 可知∠DBF=∠CBF=号∠DBC,∠ECB=∠ECB= ∠Bcg. 由矩形的性质，可知AD∥BC,.∠DB'C=∠BCB. .①∠ECB'=∠FB'C. .CE∥BF. 智慧小组先测量BE和CF的长度，猜想其关系为②BE=CF (2)法一：四边形ABCD是矩形， .∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°，BC=AD 由折叠可知∠EB'C=∠B=90°，BD=BD',BC=B'C= AD,∠D=∠B'D'F=90°，BE=B'E, ∴.AD-B'D=BC-CD,即AB=CD,∠CDF=90°=∠A 由(I)知：∠CB'D=∠BCB', 又.∠ABE+∠CB'D=180°-∠EBC=90°，∠BCB'+ ∠B'CF=∠BCD=90°， ∴∠AB'E=∠FCD'. 又：∠A=∠CD'F,AB'=CD, .△ABE≌△DCF, ..B'E=CF. BE=BE,∴.BE=CF 法二：作B'G∥AB交CE于点G,则B'G∥AB∥CD ,CE∥B'F, .四边形CFB'G为平行四边形， ..B'G=CF. ,四边形ABCD是矩形， .AB∥CD, AB∥B'G, ∴.∠B'GE=∠BEC. 由折叠可知∠BEC=∠B'EC,BE=B'E, .∠B'GE=∠B'EC, .B'E=B'G, .BE=B'E=B'G=CF. (3).B'G∥AB, ∴∠A=∠GB'D=90°. 由(2)可知：BG=B'E=BE=CF,CD'=AB',△AB'E≌ △D'CF, ∴DF=AE 设BE=x,则B'G=BE=CF=x,DF=AE=AB-BE= 6一x, ∴.CD=AB=√x2-(6-x)2=√12x-36, 如图，当△BD'G为直角三角形时，则∠B'GD'=90°， ∴.∠GB'D+∠B'GD'=180°， .GD'∥AD∥BC, ∴.∠D'GC=∠ECB. 又，∠GCD=∠ECB, .∠CGD=∠GCD', ∴.DG=D'C=√12x-36. B'G∥AB∥CD, .∠GB'D'=∠FCD', ∴.在Rt△BGD'和Rt△CDF中，tan/GB'D'=tan∠FCD, 部器西兰 x V12x-36 .x(6-x)=12x-36, 解得x=3√5一3或x=一3√5-3（舍去）； .BE=3√5-3. 当∠GDB'=90°时， A B ∠B'D'F=∠D=90°， .∠GD'B'+∠B'D'F=180°， .G,D',F三点共线，.BC⊥GF ,四边形BGCF是平行四边形， .四边形B'GCF是菱形， .∠GCD'=∠FCD' :∠GCD'=∠GCB, ∴.∠GCD'=∠GCB=∠FCD'=30° 设CF=a,则DF=D'F=6-a, :D'p C=sin30°=1 29 即6-0=1 a 2,解得a=4, ..BE=CF=4. 综上所述，BE=3√5-3或4. 专项攻略七圆的综合题 1.解：(1)由题意，得AM=2tcm,CN=3tcm, 在Rt△ABC中，AC=√AB+BC=√6+8=10(cm), .'.AN=AC-CN=(10-3t)cm. ,AB=6cm,动点M的速度为2cm/s, “.动点M的最长运动时间为2 ,AC=10cm,动点N的速度为3cm/s, “动点N的最长运功时间为9。， .t的取值范围为0<t≤3. (2)若MN与⊙O相切，则AB⊥MN,即∠AMN=90°. :∠ABC=90°，.∠AMN=∠ABC, △MMN△MBC2C,中号-0。， 610